指数函数的图象和性质[A级 基础巩固]1．函数f(x)＝的定义域为( )A．[－1，0)∪(0，＋∞) B．(－1，＋∞)C．[－1，＋∞)D．(0，＋∞)解析：选A 依题意得即故函数f(x)的定义域为[－1，0)∪(0，＋∞)，故选A.2．已知a>0且a≠1，则函数y＝a的值域为( )A．(0，＋∞)B．(－∞，1)∪(1，＋∞)C．(0，1)∪(1，＋∞)D．(1，＋∞)解析：选C 设t＝，则y＝at，其中t≠0.∵t≠0，∴at≠a0，即at≠1，又at>0，∴y>0且y≠1，即函数y＝a的值域为(0，1)∪(1，＋∞)，故选C.3．在同一坐标系中，函数y＝ax＋a与y＝ax的图象大致是( )解析：选B 函数y＝ax＋a的图象经过(－1，0)和(0，a)两点，选项D错误；在图A中，由指数函数y＝ax的图象得a>1，由y＝ax＋a的图象得0<a<1，选项A错误；在图B中，由指数函数y＝ax的图象得a>1，由y＝ax＋a的图象得a>1，选项B正确；在图C中，由指数函数y＝ax的图象得0<a<1，由y＝ax＋a的图象得a>1，选项C错误．故选B.4．(多选)下列说法正确的是( )A．函数y＝3x与y＝的图象关于y轴对称B．函数y＝3x与y＝的图象关于x轴对称C．函数y＝3x与y＝－的图象关于原点对称D．函数y＝3x与y＝－3x的图象关于x轴对称解析：选ACD 易知函数y＝ax与y＝＝a－x的图象关于y轴对称，且函数y＝5
ax与y＝－ax的图象关于x轴对称，所以函数y＝ax与y＝－的图象关于原点对称，所以B说法错误．5．(2021·湖南衡阳八中高一月考)设a，b，c，d均大于0，且均不等于1，y＝ax，y＝bx，y＝cx，y＝dx在同一坐标系中的图象如图，则a，b，c，d的大小顺序为( )A．a<b<c<dB．a<b<d<cC．b<a<d<cD．b<a<c<d解析：选C 作出直线x＝1，如图所示．直线x＝1与四个函数图象的交点从下到上依次为(1，b)，(1，a)，(1，d)，(1，c)，因此a，b，c，d的大小顺序是b<a<d<c，故选C.6．已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a＞b)的图象如图所示，则函数g(x)＝ax＋b的图象是( )解析：选C 由函数f(x)的图象可知，－1＜b＜0，a＞1，则g(x)＝ax＋b为增函数，当x＝0时，g(0)＝1＋b＞0，故选C.7．函数y＝ax－3＋3(a＞0，且a≠1)的图象过定点________．解析：因为指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象过定点(0，1)，所以在函数y＝ax－3＋3中，令x－3＝0，得x＝3，此时y＝1＋3＝4，即函数y＝ax－3＋3的图象过定点(3，4)．答案：(3，4)5
8．若函数f(x)＝则函数f(x)的值域是________．解析：由x＜0，得0＜2x＜1；∵x＞0，∴－x＜0，0＜2－x＜1，∴－1＜－2－x＜0.∴函数f(x)的值域为(－1，0)∪(0，1)．答案：(－1，0)∪(0，1)9．求下列函数的定义域、值域：(1)y＝0.3；(2)y＝3.解：(1)由x－1≠0得x≠1，所以函数定义域为{x|x≠1}．由≠0得y≠1，所以函数值域为{y|y>0且y≠1}．(2)由5x－1≥0得x≥，所以函数定义域为.由≥0得y≥1，所以函数值域为{y|y≥1}．10．已知函数f(x)＝ax－1(x≥0)的图象经过点，其中a＞0且a≠1.(1)求a的值；(2)求函数y＝f(x)(x≥0)的值域．解：(1)函数图象经过点，所以a2－1＝，则a＝.(2)由(1)知函数为f(x)＝(x≥0)，由x≥0，得x－1≥－1.于是0＜≤＝2，所以函数的值域为(0，2]．[B级 综合运用]11．(2021·广东珠海高一月考)已知函数f(x)满足f(x＋1)的定义域是[0，31)，则f(2x)的定义域是( )A．[1，32)B．[－1，30)C．[0，5)D．(－∞，30]解析：选C ∵f(x＋1)的定义域是[0，31)，即0≤x<31，∴1≤x＋1<32，∴f(x)的定义域是[1，32)，∴f(2x)有意义必须满足20＝1≤2x<32＝25，∴0≤x<5.12．(多选)下列说法正确的是( )A．函数f(x)＝在定义域上是减函数5
B．函数f(x)＝2x－x2与x轴有且只有两个交点C．函数y＝2|x|的最小值是1D．在同一坐标系中函数y＝2x与y＝2－x的图象关于y轴对称解析：选CD 对于A，f(x)＝在定义域上不具有单调性；对于B，在同一坐标系中，画出y＝2x与y＝x2的图象，有三个交点，故函数f(x)＝2x－x2与x轴有三个交点，一个负值，两个正值；对于C，因为|x|≥0，所以2|x|≥20＝1，所以函数y＝2|x|的最小值是1，正确；对于D，在同一坐标系中，函数y＝2x与y＝2－x的图象关于y轴对称，正确．故选C、D.13．若函数y＝＋m的图象与x轴有公共点，则m的取值范围是________．解析：作出函数g(x)＝＝的图象如图所示．由图象可知0<g(x)≤1，则m<g(x)＋m≤1＋m，即m<f(x)≤1＋m，要使函数y＝＋m的图象与x轴有公共点，则解得－1≤m<0.答案：[－1，0)14．已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，a≠1)．(1)若f(x)的图象如图所示，求a，b的值；(2)在(1)的条件下，作出g(x)＝|f(x)|的草图；(3)在(2)的条件下，若方程g(x)－m＝0有一个实数根，写出m的取值范围．解：(1)由图可得：f(0)＝1＋b＝－2，且f(2)＝a2＋b＝0，解得：a＝，b＝－3.(2)g(x)＝|f(x)|图象如图所示：5
(3)若方程g(x)－m＝0有一个实数根，则g(x)的图象与直线y＝m只有一个交点，由(2)中函数图象可得m＝0或m≥3.[C级 拓展探究]15．设f(x)＝3x，g(x)＝.(1)在同一平面直角坐标系中作出f(x)，g(x)的图象；(2)计算f(1)与g(－1)，f(π)与g(－π)，f(m)与g(－m)的值，从中你能得到什么结论？解：(1)函数f(x)，g(x)的图象如图所示：(2)f(1)＝31＝3，g(－1)＝＝3；f(π)＝3π，g(－π)＝＝3π；f(m)＝3m，g(－m)＝＝3m.从以上计算的结果看，两个函数当自变量取值互为相反数时，其函数值相等，即当指数函数的底数互为倒数时，它们的图象关于y轴对称．5
