对数函数的图象和性质[A级 基础巩固]1．函数y＝与y＝logbx互为反函数，则a与b的关系是( )A．ab＝1 B．a＋b＝1C．a＝bD．a－b＝1解析：选A 由函数y＝与y＝logbx互为反函数得＝b，化简得ab＝1，故选A.2．(多选)函数f(x)＝loga(x＋2)(0<a<1)的图象过( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选BCD 作出函数f(x)＝loga(x＋2)(0<a<1)的大致图象如图所示，则函数f(x)的图象过第二、三、四象限．3．函数f(x)＝logax(0<a<1)的图象大致为( )解析：选B 在logax中x>0，∴y＝logax＝logax(0<a<1)，故选B.4．已知a＝log23，b＝log2e，c＝ln2，则a，b，c的大小关系是( )A．a>b>cB．b>a>cC．c>b>aD．c>a>b解析：选A a＝log23>b＝log2e>log22＝1，c＝ln2<lne＝1，∴a，b，c的大小关系为a>b>c.5．已知a＞1，b＜－1，则函数y＝loga(x－b)的图象不经过( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5
解析：选D ∵a＞1，∴函数y＝logax的图象如图所示，函数y＝loga(x－b)(b＜－1)的图象就是把函数y＝logax的图象向左平移|b|(|b|＞1)个单位长度，如图．由图可知函数y＝loga(x－b)的图象不经过第四象限．6．比较大小：(1)log22________log2；(2)log8π________logπ8.解析：(1)因为函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，且2>，所以log22>log2.(2)因为函数y＝log8x为增函数，且π<8，所以log8π<log88＝1.同理1＝logππ<logπ8，所以log8π<logπ8.答案：(1)> (2)<7．若函数y＝loga(x＋b)＋c(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点(3，2)，则实数b，c的值分别为________．解析：∵函数的图象恒过定点(3，2)，∴将(3，2)代入y＝loga(x＋b)＋c，得2＝loga(3＋b)＋c.又当a＞0，且a≠1时，loga1＝0恒成立，∴c＝2，3＋b＝1，∴b＝－2，c＝2.答案：－2，28．不等式log(5＋x)＜log(1－x)的解集为__________．解析：因为函数y＝logx在(0，＋∞)上是减函数，所以解得－2＜x＜1.答案：(－2，1)9．比较下列各组数的大小：(1)log0.13与log0.1π；(2)log45与log65；(3)loga(a＋2)与loga(a＋3)(a>0且a≠1)．解：(1)∵函数y＝log0.1x是减函数，π>3，∴log0.13>log0.1π.(2)∵函数y＝log4x和y＝log6x都是增函数，∴log45>log44＝1，log65<log66＝1.∴log45>log65.5
(3)∵a＋2<a＋3，故①当a>1时，loga(a＋2)<loga(a＋3)；②当0<a<1时，loga(a＋2)>loga(a＋3)．10．已知f(x)＝|log3x|.(1)画出这个函数的图象；(2)当0<a<2时f(a)>f(2)，利用函数图象求出a的取值范围．解：(1)图象如图：(2)令f(a)＝f(2)，即|log3a|＝|log32|，解得a＝或a＝2.从图象可知，当0<a<时，满足f(a)>f(2)，所以a的取值范围是.[B级 综合运用]11．已知a，b均为不等于1的正数，且满足lga＋lgb＝0，则函数f(x)＝ax与函数g(x)＝－logbx的图象可能是( )解析：选B 法一：∵lga＋lgb＝0，∴ab＝1.∵g(x)＝－logbx的定义域是(0，＋∞)，∴排除A.若a>1，则0<b<1，此时f(x)＝ax是增函数，g(x)＝－logbx是增函数；若0<a<1，则b>1，此时f(x)＝ax是减函数，g(x)＝－logbx是减函数．结合图象知选B.法二：∵lga＋lgb＝0，∴ab＝1，即b＝，∴g(x)＝－logx＝logax，∴f(x)与g(x5
)互为反函数，图象关于y＝x对称，故选B.12．已知a＝2－，b＝log2，c＝log，则( )A．a＞b＞cB．a＞c＞bC．c＞b＞aD．c＞a＞b解析：选D ∵0＜a＝2－＜20＝1，b＝log2＜log21＝0，c＝log＞log＝1，∴c＞a＞b.故选D.13．已知实数a，b满足等式log2a＝log3b，给出下列五个关系式：①a>b>1；②b>a>1；③a<b<1；④b<a<1；⑤a＝b.其中可能成立的关系式是________．(填序号)解析：实数a，b满足等式log2a＝log3b，即y＝log2x在x＝a处的函数值和y＝log3x在x＝b处的函数值相等，当a＝b＝1时，log2a＝log3b＝0，此时⑤成立；令log2a＝log3b＝1，可得a＝2，b＝3，由此知②成立，①不成立；令log2a＝log3b＝－1，可得a＝，b＝，由此知④成立，③不成立．综上可知，可能成立的关系式为②④⑤.答案：②④⑤14．(2020·安徽淮北第一中学高一月考)已知函数f(x)＝loga(ax－1)(a>0，且a≠1)．(1)当a＝时，求函数f(x)的定义域；(2)当a>1时，求关于x的不等式f(x)<f(1)的解集．解：(1)当a＝时，f(x)＝log，故－1>0，解得x<0，故函数f(x)的定义域为(－∞，0)．(2)由题意知，f(x)＝loga(ax－1)(a>1)，其定义域为(0，＋∞)，易知f(x)为(0，＋∞)上的增函数，由f(x)<f(1)得∴不等式的解集为(0，1)．[C级 拓展探究]15．(1)函数y＝log2(x－1)的图象是由y＝log2x的图象如何变化得到的？(2)如图，在直角坐标系中作出y＝|log2(x－1)|的图象(不要求写作法)；5
(3)设函数y＝与函数y＝|log2(x－1)|的图象的两个交点的横坐标分别为x1，x2，设M＝(x1－2)(x2－2)，请判断M的符号．解：(1)函数y＝log2(x－1)的图象是由y＝log2x的图象向右平移1个单位得到的．(2)在直角坐标系中作出y＝|log2(x－1)|的图象，如图所示．(3)不妨设x1<x2，作出y＝的图象，如图，由图知1<x1<2，2<x2<3.∴M＝(x1－2)(x2－2)<0，故M的符号为负．5
