函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换[A级 基础巩固]1．若函数y＝sin2x的图象向左平移个单位长度得到y＝f(x)的图象，则( )A．f(x)＝cos2x B．f(x)＝sin2xC．f(x)＝－cos2xD．f(x)＝－sin2x解析：选A 依题意得f(x)＝sin＝sin＝cos2x.故选A.2．函数y＝cosx图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为y＝cosωx，则ω的值为( )A．2B.C．4D.解析：选B 由题意可知得到图象的解析式为y＝cosx，所以ω＝.3．将函数y＝sin的图象上所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，再将所得函数的图象向左平移个单位长度，则最终所得函数图象对应的解析式为( )A．y＝cosx B．y＝sin2xC．y＝sinxD．y＝cos2x解析：选D 函数y＝sin的图象上所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，得到y＝sin的图象，再将所得函数的图象向左平移个单位长度，得到y＝sin＝sin＝cos2x的图象．4．(2021·北京一零一中学高一月考)已知函数f(x)＝sin(x∈R，ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数f(x)的图象，只需将函数g(x)＝sinωx的图象( )A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度7
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度解析：选A 由f(x)的最小正周期是π，得ω＝2，即f(x)＝sin＝sin，因此它的图象可由g(x)＝sin2x的图象向左平移个单位长度得到．故选A.5．如果两个函数的图象经过平移后能够重合，那么这两个函数称为“和谐”函数．下列函数中与g(x)＝sin能构成“和谐”函数的是( )A．f(x)＝sinB．f(x)＝2sinC．f(x)＝sinD．f(x)＝sin＋2解析：选D 将函数g(x)图象上的所有的点向上平移2个单位长度，即得到函数f(x)＝sin＋2的图象，故选D.6．将y＝sin2x的图象向左平移个单位长度，得到的曲线对应的解析式为________．解析：y＝sin2xy＝sin2.答案：y＝sin7．将函数y＝sin的图象上所有点的横坐标保持不变，纵坐标________(填“伸长”或“缩短”)为原来的________倍，将会得到函数y＝3sin的图象．解析：A＝3>1，故将函数y＝sin图象上所有点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的3倍，即可得到函数y＝3sin的图象．答案：伸长 37
8．已知函数f(x)＝Asinωx(A>0，ω>0)的最小正周期为π，将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为y＝g(x)．若g＝，则f的值为________．解析：∵f(x)的最小正周期为π，∴＝π，∴ω＝2，∴f(x)＝Asin2x.将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x)＝Asinx.∵g＝，∴g＝Asin＝A＝，∴A＝2，∴f(x)＝2sin2x.∴f＝2sin＝2sin＝2×＝.答案：9．已知函数y＝f(x)的图象上的每一点的纵坐标扩大到原来的4倍，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图象沿x轴向左平移个单位，这样得到的曲线和y＝2sinx的图象相同，求函数y＝f(x)的解析式．解：y＝2sinx的图象即f(x)＝－cos2x.10．用“五点法”作出函数y＝2sin＋3的图象，并指出它的最小正周期、最值及单调区间．解：①列表如下：xππππx－0ππ2πy353137
②描点．③连线成图，将这个函数在一个周期内的图象向左、右两边扩展即得y＝2sin＋3的图象．如图所示．函数的最小正周期T＝2π，最大值为5，最小值为1，函数的减区间为，k∈Z，增区间为，k∈Z.[B级 综合运用]11．为了得到函数g(x)＝cos的图象，只需将函数f(x)＝sin图象上所有的点( )A．横坐标缩短到原来的B．横坐标伸长到原来的倍C．横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度D．横坐标伸长到原来的倍，再向右平移个单位长度解析：选A 由题可得f(x)＝sin＝sin＝cos，故只需将其图象上所有点的横坐标缩短到原来的，即可得到函数g(x)＝cos的图象．故选A.12．(多选)已知曲线C1：y＝2sinx，C2：y＝2sin，则下列结论正确的是( )A．把C1上所有的点向右平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到曲线C27
B．把C1上所有的点向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再把所得图象上所有的点向左平移个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)，再把所得图象上所有的点向左平移个单位长度，得到曲线C2解析：选BD 先平移变换后伸缩变换：先把C1上所有的点向左平移个单位长度，得到y＝2sin的图象，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)，得到曲线C2，B选项正确．先伸缩变换后平移变换：C2：y＝2sin，所以先将C1上各点的横坐标伸长为原来的3倍(纵坐标不变)，得到y＝2sin的图象，再把所得图象上所有的点向左平移个单位长度，即可得到C2，D选项正确．13．给出下列六种图象变换的方法：①图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的；②图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍；③图象向右平移个单位长度；④图象向左平移个单位长度；⑤图象向右平移个单位长度；⑥图象向左平移个单位长度．请用上述变换中的两种变换，将函数y＝sinx的图象变换为函数y＝sin的图象，那么这两种变换正确的序号是________．(按变换先后顺序填上一种你认为正确的序号即可)解析：y＝sinx的图象y＝sin的图象y＝sin7
的图象，或y＝sinx的图象y＝sin的图象y＝sin＝sin的图象．答案：④②或②⑥14．已知函数f(x)＝sin.(1)请用“五点法”画出函数f(x)在一个周期的闭区间上的简图；(2)试问f(x)是由g(x)＝sinx经过怎样变换得到？解：(1)列表如下：2x－0π2πxf(x)010－10描点连线，图象如图所示．(2)先将g(x)向右平移个单位长度，再将所得函数图象的横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变)，即可得到f(x)的图象．[C级 拓展探究]15．已知函数f(x)＝2sinωx，其中常数ω＞0.(1)若y＝f(x)在上单调递增，求ω的取值范围；(2)令ω＝2，将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，区间[a，b](a，b∈R且a＜b)满足：y＝g(x)在[a，b]上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[a，b]中，求b－a的最小值．解：(1)因为ω＞0，根据题意有⇒0＜ω≤.所以ω的取值范围是.7
(2)由f(x)＝2sin2x可得，g(x)＝2sin＋1＝2sin＋1，g(x)＝0⇒sin＝－⇒x＝kπ－或x＝kπ－π，k∈Z，即g(x)的零点相离间隔依次为和，故若y＝g(x)在[a，b]上至少含有30个零点，则b－a的最小值为14×＋15×＝.7
