函数y＝Asin(ωx＋φ)图象与性质的应用(习题课)[A级 基础巩固]1．设点P是函数f(x)＝sinωx的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴的距离的最小值为，则f(x)的最小正周期为( )A．2π B．πC.D.解析：选B 函数f(x)＝sinωx与f(x)＝sinx的图象形状相同，观察图象可知对称中心与对称轴最近距离为T.由题意得T＝，所以T＝π.2．(多选)已知函数f(x)＝Asinωx(A>0，ω>0)与g(x)＝cosωx的部分图象如图所示，则( )A．A＝1B．A＝2C．ω＝D．ω＝解析：选BC 由题图可得过点(0，1)的图象对应的函数解析式为g(x)＝cosωx，即＝1，A＝2.过原点的图象对应函数f(x)＝Asinωx.由f(x)的图象可知，T＝＝1.5×4，可得ω＝.3．若函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)对任意x都有f＝f，则有f等于( )A．3或0 B．－3或0C．0D．－3或3解析：选D 由f＝f知，x＝是函数的对称轴，解得f＝－3或3.故选D.4．函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位长度后，9
所得到的图象关于原点对称，则φ等于( )A. B．－C.D．－解析：选D 函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位长度后，得到函数y＝sin的图象．由于平移后的图象关于原点对称，∴＋φ＝kπ(k∈Z)，由|φ|<得φ＝－.5.为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针指向位置P(x，y)，若初始位置为P0，秒针从P0(注：此时t＝0)开始沿顺时针方向走动，同点P的纵坐标y与时间t的函数关系为( )A．y＝sinB．y＝sinC．y＝sinD．y＝sin解析：选C ∵秒针是顺时针旋转，∴角速度ω<0.又由每60秒转一周，∴ω＝－＝－(弧度/秒)，由P0，得cosφ＝，sinφ＝.解得φ＝.∴y＝sin，故选C.6．已知函数y＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，则φ的值为________．解析：由题意可得sin＝±1，解得＋φ＝＋kπ(k∈Z)，即φ＝－＋kπ(k∈Z)．因为－<φ<，所以k＝0，φ＝－.答案：－9
7．函数y＝2sin的对称轴方程是________．解析：对于函数y＝2sin，令2x－＝kπ＋(k∈Z)时，x＝＋(k∈Z)．答案：x＝＋(k∈Z)8．某同学利用描点法画函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，列出的部分数据如表：x01234y101－1－2经检查，发现表格中恰有一组数据计算错误，请你根据上述信息推断函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式应是________．解析：在平面直角坐标系中描出这五个点，如图所示．根据函数图象的大致走势，可知点(1，0)不符合题意；又∵0<A≤2，函数图象过(4，－2)，∴A＝2.∵函数图象过(0，1)，∴2sinφ＝1，又∵－<φ<，∴φ＝，由(0，1)，(2，1)关于直线x＝1对称，知x＝1时函数取得最大值2，因此函数的最小正周期为6.∴ω＝.故y＝2sin.9
答案：y＝2sin9．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－π<φ<0)图象上的一个最低点为Q，且f(x)的图象与x轴的两个相邻交点之间的距离为2π.(1)求函数f(x)的解析式；(2)将函数f(x)的图象沿x轴向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在上的值域．解：(1)由题意知A＝2，＝2π，故T＝4π＝，∴ω＝，又函数f(x)的图象过点Q，∴2sin＝－2，∴＋φ＝2kπ＋，k∈Z，即φ＝2kπ＋，k∈Z，又－π<φ<0，∴φ＝－.则f(x)＝2sin.(2)将函数f(x)＝2sin的图象向左平移个单位长度后，得到函数y＝2sin＝2sin的图象，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，可得到函数y＝2sin的图象，9
∴g(x)＝2sin.若x∈，则x－∈，∴sin∈，则g(x)的值域为[－2，)．10．已知函数f(x)＝sin＋.(1)求f(x)的图象的对称轴方程和对称中心；(2)求f(x)的最小值及取得最小值时x的取值集合．解：(1)令2x＋＝kπ＋(k∈Z)，则x＝＋(k∈Z)，所以对称轴方程为x＝＋(k∈Z)；令2x＋＝kπ(k∈Z)，则x＝－(k∈Z)，所以对称中心为(k∈Z)．(2)sin＝－1，即2x＋＝－＋2kπ(k∈Z)，x＝－＋kπ(k∈Z)时，f(x)取得最小值为，此时x的取值集合是.[B级 综合运用]11．(多选)对于函数f(x)＝cos，下列选项正确的是( )A．y＝f(x)的图象是由f(x)＝cosπx的图象向右平移个单位长度而得到的B．y＝f(x)的图象过点C．y＝f(x)的图象关于点对称D．y＝f(x)的图象关于直线x＝－对称9
解析：选CD f(x)＝cosπx的图象向右平移个单位长度，所得函数的解析式为f(x)＝cosπ＝cos，故选项A错误；当x＝1时，f(1)＝cos＝－，故选项B错误；当x＝时，f＝cos＝0，y＝f(x)的图象关于点对称，故选项C正确；当x＝－时，f＝cos＝－1，所以y＝f(x)的图象关于直线x＝－对称，故选项D正确．综上，正确的选项为C、D.12．(多选)已知函数f(x)＝2sin，把函数f(x)的图象沿x轴向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，关于函数g(x)，下列说法不正确的是( )A．函数g(x)是奇函数B．函数g(x)的图象关于直线x＝－对称C．当x∈时，函数g(x)的值域是[－1，2]D．函数g(x)在上是增函数解析：选ABD 依题意得g(x)＝f＝2sin＝2cos2x.g(x)是偶函数，A错误；又g＝2cos＝0≠±2，B错误；由0≤x≤得0≤2x≤，从而－1≤2cos2x≤2，C正确；由≤x≤得≤2x≤π，因此g(x)在上单调递减，故D错误．故选A、B、D.13．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的图象如图所示，则函数f(x)图象的对称中心的坐标可以为________．9
解析：由题图可知A＝＝2，B＝＝1，T＝2＝π，所以ω＝2.故f(x)＝2sin(2x＋φ)＋1.由×2＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，且|φ|<，得φ＝，故f(x)＝2sin＋1.令2x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝－(k∈Z)，当k＝0时，x＝－.所以函数f(x)的图象的一个对称中心的坐标可以为.答案：(答案不唯一)14．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)(0<φ<π)．(1)若函数f(x)＝sin(2x＋φ)为偶函数，求φ的值；(2)若函数f(x)＝sin(2x＋φ)关于x＝对称，求出φ的值及f(x)的对称轴方程及对称中心．解：(1)因为f(x)为偶函数，所以φ＝kπ＋，k∈Z，又φ∈(0，π)，所以φ＝.(2)因为f(x)＝sin(2x＋φ)关于x＝对称，所以f(0)＝f，9
即sinφ＝sin＝cosφ，所以tanφ＝1，φ＝kπ＋(k∈Z)．又φ∈(0，π)，所以φ＝，所以f(x)＝sin.由2x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，由2x＋＝kπ，得x＝－(k∈Z)，所以f(x)的对称轴方程为x＝＋(k∈Z)，对称中心为(k∈Z)．[C级 拓展探究]15．将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y＝sinx的图象．(1)求函数f(x)的解析式；(2)当x∈[0，3π]时，方程f(x)＝m有唯一实数根，求m的取值范围．解：(1)将y＝sinx的图象向左平移个单位长度得到y＝sin的图象，保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，可得y＝f(x)＝sin的图象．所以函数y＝f(x)的解析式为f(x)＝sin.(2)因为x∈[0，3π]，令t＝x＋，所以t∈，sin∈[－1，1]，因为当x∈[0，3π]时，方程f(x)＝m有唯一实数根，所以函数f(x)的图象和直线y＝m只有一个交点，如图所示．故方程f(x)＝m有唯一实数根m9
的取值范围为∪{1，－1}．9
