两角差的余弦公式[A级 基础巩固]1．sin460°sin(－160°)＋cos560°cos(－280°)＝( )A．－ B．－C．D．解析：选B 原式＝－sin100°sin160°＋cos200°·cos280°＝－sin80°sin20°－cos20°cos80°＝－(cos80°cos20°＋sin80°sin20°)＝－cos60°＝－.2．已知cosα＝－，α∈，sinβ＝－，β是第三象限角，则cos(β－α)的值是( )A．－B．C．D．－解析：选A 因为α∈，所以sinα＝，因为β是第三象限角，所以cosβ＝－，所以cos(β－α)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝－.3．若α∈[0，π]，sinsin＋coscos＝0，则α的值是( )A.B.C.D.解析：选D 因为coscos＋sinsin＝0，所以cos＝0，所以cosα＝0.又α∈[0，π]，所以α＝，故选D.4．(2021·黑龙江漠河高中高一月考)已知cos(α－β)cosα＋sin(α－β)sinα6
＝－，β∈，则sinβ的值是( )A．B．－C．－D．解析：选C ∵cos(α－β)cosα＋sin(α－β)sinα＝cos(α－β－α)＝cos(－β)＝cosβ＝－，β∈，∴sinβ＝－＝－.故选C.5．已知cos＝－，则cosx＋cos＝( )A．－ B．±C．－1D．±1解析：选C cosx＋cos＝cosx＋cosx＋sinx＝cosx＋sinx＝＝cos＝－1.6．已知cos＝－，sin＝，且α∈，β∈，则cos的值为________．解析：∵<α<π，0<β<，∴<<，－<－<0，<α＋β<，∴<α－<π，－<－β<，<<.又cos＝－，sin＝，∴sin＝，cos＝.∴cos＝cos＝coscos＋sinsin6
＝－×＋×＝－＋＝.答案：7．已知cos＝cosα，则tanα＝________．解析：cos＝cosαcos＋sinαsin＝cosα＋sinα＝cosα，∴sinα＝cosα，∴＝，即tanα＝. 答案：8．在△ABC中，sinA＝，cosB＝－，则cos(A－B)＝________．解析：因为cosB＝－，且0<B<π，所以<B<π.所以sinB＝＝＝，且0<A<，所以cosA＝＝＝，所以cos(A－B)＝cosAcosB＋sinAsinB＝×＋×＝－.答案：－9．若0<α<，－<β<0，cosα＝，cos＝，求cos的值．解：由cosα＝，0<α<，所以sinα＝.由cos＝，－<<0，所以sin＝－，所以cos＝cosαcos＋sinαsin＝×＋×＝－.6
10．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，以Ox为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B两点的横坐标分别为，.求cos(α－β)的值．解：依题意，得cosα＝，cosβ＝.因为α，β为锐角，所以sinα＝，sinβ＝，所以cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝×＋×＝.[B级 综合运用]11．(多选)已知α，β，γ∈，sinα＋sinγ＝sinβ，cosβ＋cosγ＝cosα，则下列说法正确的是( )A．cos(β－α)＝B．cos(β－α)＝－C．β－α＝D．β－α＝－解析：选AC 由已知，得sinγ＝sinβ－sinα，cosγ＝cosα－cosβ.两式分别平方相加，得(sinβ－sinα)2＋(cosα－cosβ)2＝1.∴－2cos(β－α)＝－1，∴cos(β－α)＝，∴A正确，B错误．∵sinγ＝sinβ－sinα>0，∴β>α，∴β－α＝，∴C正确，D错误，故选A、C.12．若cos(α－β)＝，则(sinα＋sinβ)2＋(cosα＋cosβ)2＝________．解析：原式＝2＋2(sinαsinβ＋cosαcosβ)＝2＋2cos(α－β)＝2＋2×＝.答案：13．已知α∈，且cos＝－，则sin＝________，cosα＝________．6
解析：∵α∈，∴α＋∈，∴sin＝＝，∴cosα＝cos＝coscos＋sinsin＝×＋×＝.答案： 14．已知α，β为锐角且＝.(1)求cos(α－β)的值；(2)若cosα＝，求cosβ的值．解：(1)∵＝，∴2－2(cosαcosβ＋sinαsinβ)＝，∴cos(α－β)＝.(2)∵cosα＝，cos(α－β)＝，α，β为锐角，∴sinα＝，sin(α－β)＝±.当sin(α－β)＝时，cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝；当sin(α－β)＝－时，cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝0.∵β为锐角，∴cosβ＝.[C级 拓展探究]15．如图，已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，6
它的终边过点P.(1)求cos(α＋π)的值；(2)将点P与原点距离保持不变，逆时针旋转β(0<β<π)角到点Q(－3，4)，求cosβ的值．解：(1)因为α的终边过P，所以|OP|＝＝5，由三角函数的定义得cosα＝＝，所以cos(α＋π)＝－cosα＝－.(2)由题意知cos(α＋β)＝－，sin(α＋β)＝，由(1)知sinα＝＝，所以cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)·cosα＋sin(α＋β)sinα＝×＋×＝－.6
