第2课时 函数单调性的综合应用基础过关练题组一 利用函数的单调性比较大小1.设(a,b),(c,d)都是函数f(x)的单调增区间,若x1∈(a,b),x2∈(c,d),x1<x2,则f(x1)与f(x2)的大小关系是( ) A.f(x1)<f(x2)B.f(x1)>f(x2)C.f(x1)=f(x2)D.不能确定2.(2021江西上饶横峰中学高一上月考)已知对任意的0<x1<x2,都有f(x1)-f(x2)x2-x1>0,设a=f(π),b=f(2),则( )A.a>bB.a=bC.a<bD.a,b的大小关系不能确定3.若函数f(x)在(-∞,+∞)上为减函数,则( )A.f(a)>f(2a)B.f(a2)<f(a)C.f(a2+a)<f(a)D.f(a2+1)<f(a)4.已知函数f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,若a,b∈R且a+b>0,则( )A.f(a)+f(b)>-f(a)-f(b)B.f(a)+f(b)<-f(a)-f(b)C.f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b)D.f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b)题组二 利用函数的单调性解不等式或求参数的取值范围5.已知函数f(x)=2x2-mx+3,当x∈(-∞,-2]时f(x)是减函数,当x∈[-2,+∞)时f(x)是增函数,则f(1)=( )A.-3B.13C.7D.由m而定的常数6.(2021江西南昌第二中学高一上月考)已知函数f(x)=x+1-1-x,则不等式f(x+1)>f(2x)的解集为( )A.(-∞,1)B.(-∞,1]14
C.-12,0D.-12,17.(2021河南焦作十一中高一月考)已知函数f(x)是定义在区间(-5,1)上的减函数,若f(2m-4)<f(3-4m),则实数m的取值范围是 . 8.若在[1,+∞)上函数y=(a-1)x2+1与y=ax都单调递减,则实数a的取值范围是 . 9.函数f(x)在定义域上是减函数,且图像过点(-3,2)和(1,-2),则使|f(x)|<2的自变量x的取值范围是 . 题组三 抽象函数和复合函数的单调性10.下列有关函数单调性的说法,不正确的是( )A.若f(x)为增函数,g(x)为增函数,则f(x)+g(x)为增函数B.若f(x)为减函数,g(x)为减函数,则f(x)+g(x)为减函数C.若f(x)为增函数,g(x)为减函数,则f(x)+g(x)为增函数D.若f(x)为减函数,g(x)为增函数,则f(x)-g(x)为减函数11.(2021重庆巴蜀中学高一上月考)函数y=-x2+4x+12的单调递减区间为( )A.(-∞,2]B.[2,+∞)C.[2,6]D.[-2,2]12.求函数y=4x2-4x+6的单调区间.13.已知f(x)在(0,+∞)上是增函数,且f(x)>0,f(3)=1.判断g(x)=f(x)+1f(x)在(0,3]上是增函数还是减函数,并加以证明.14
能力提升练一、单项选择题1.()如果函数f(x)是R上的增函数,A(0,-1),B(3,1)是其图像上的两点,那么-1<f(x)<1的解集是( ) A.(-3,0)B.(0,3)C.(-∞,-1]∪[3,+∞)D.(-∞,0]∪[1,+∞)2.(2020黑龙江省实验中学高一上月考,)若函数f(x)=ax+1x+2在区间(-2,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围是( )A.0,12B.12,+∞C.(-2,+∞)D.(-∞,-1)∪(1,+∞)3.(2020广东佛山一中高一上第一次段考,)函数f(x)是定义在[0,+∞)上的减函数,若f(2)=-1,则满足f(2x-4)>-1的实数x的取值范围是( )A.(3,+∞)B.(-∞,3)C.[2,3)D.[0,3)4.(2021宁夏六盘山高级中学高一上月考,)已知函数f(x)=2x-1,则下列说法正确的是( )A.函数f(x)的图像关于点(1,0)对称B.函数f(x)在(1,+∞)上单调递增C.函数f(x)的图像关于直线x=1对称D.函数f(x)在(2,6)上的最大值为25.()若f(x)=-x2+2ax与g(x)=ax+1在区间[1,2]上都是减函数,则实数a的取值范围是( )14
A.(-1,0)∪(0,1)B.(-1,0)∪(0,1]C.(0,1)D.(0,1]6.(2021江西南昌八一中学度高一月考,)已知函数f(x)=(a-3)x+5,x≤1,2ax,x>1,若对R上的任意实数x1,x2(x1≠x2),恒有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0成立,那么a的取值范围是( )A.(0,3)B.(0,3]C.[2,3)D.(0,2]二、多项选择题7.()已知函数f(x)=2ax2+4(a-3)x+5,下列关于函数f(x)的单调性说法正确的有( )A.当a=1时,f(x)在(-∞,0)上单调递减B.若f(x)的单调递减区间是(-∞,-4],则a的值为-1C.若f(x)在区间(-∞,3)上是减函数,则a的取值范围是0,34D.f(x)在区间(3,+∞)上不可能是减函数8.()已知函数f(x)=x2-2x+2,关于f(x)的最值有以下结论,其中正确的有( )A.f(x)在区间[-1,0]上的最小值为1B.f(x)在区间[-1,2]上既有最小值,又有最大值C.f(x)在区间[2,3]上有最小值2,最大值5D.当0<a<1时,f(x)在区间[0,a]上的最小值为f(a);当a>1时,f(x)在区间[0,a]上的最小值为1三、填空题9.()若函数f(x)=x2,x≥t,x,0<x<t(t>0)是定义在区间(0,+∞)上的增函数,则实数t的取值范围是 . 10.()若函数f(x)=|2x+c|是区间(-∞,1]上的单调函数,则实数c的取值范围是 . 11.()若函数f(x)=x2+(2m+3)|x|+1的定义域被分成了四个单调区间,则实数m的取值范围是 . 四、解答题12.()已知函数f(x)=1a-1x(a>0,x>0).(1)用定义证明f(x)在(0,+∞)上是增函数;14
(2)若f(x)在区间12,4上取得的最大值为5,求实数a的值.13.(2021四川泸县第一中学高一上月考,)已知函数f(x)=2x2+mx-1,m为实数.(1)若函数f(x)在区间[1,3]上是单调函数,求实数m的取值范围;(2)若对任意x∈R,都有f(1+x)=f(1-x)成立,求实数m的值;(3)若x∈[-1,1],求函数f(x)的最小值.14
14.(2020江西临川一中高一上月考,)已知函数f(x)=x2+2ax-1,x∈[-1,1].(1)若a=12,求函数f(x)的最值;(2)若a∈R,记函数f(x)的最小值为g(a),求g(a)关于a的解析式.15.(2020广西南宁三中高一上月考,)定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y),f13=1,当x>1时,f(x)<0.(1)求f(1)的值;(2)判断函数f(x)的单调性;(3)解关于x的不等式f(x)+f(x-2)>-1.14
16.()已知函数f(x)=x+1x,x∈[-2,-1),-2,x∈-1,12,x-1x,x∈12,2.(1)求f(x)的值域;(2)设函数g(x)=ax-2,x∈[-2,2],若对于任意x1∈[-2,2],总存在x0∈[-2,2],使得g(x0)=f(x1)成立,求实数a的取值范围.答案全解全析第三章 函数3.1 函数的概念与性质3.1.2 函数的单调性第2课时 函数单调性的综合应用基础过关练1.D2.C3.D4.C5.B6.C10.C11.C1.D 根据单调性的定义,所取两个自变量是同一单调区间内的任意两个变量,才能由该区间上的函数单调性来比较函数值的大小.故选D.14
2.C ∵f(x1)-f(x2)x2-x1>0,0<x1<x2,∴函数f(x)在(0,+∞)上单调递减,∵π>2>0,∴f(π)<f(2),即a<b.3.D 因为a2+1-a=a-122+34>0,所以a2+1>a,又因为函数f(x)在(-∞,+∞)上为减函数,所以f(a2+1)<f(a).故选D.4.C 因为a+b>0,所以a>-b,b>-a.由函数的单调性可知,f(a)>f(-b),f(b)>f(-a),两式相加得选项C正确.故选C.5.B 由题意知m4=-2,所以m=-8,所以f(x)=2x2+8x+3,f(1)=2+8+3=13.故选B.6.C 由f(x)=x+1-1-x,得x+1≥0,1-x≥0,解得-1≤x≤1.因为f1(x)=x+1是单调递增函数,f2(x)=-1-x是单调递增函数,所以f(x)=x+1-1-x是[-1,1]上的单调递增函数,由不等式f(x+1)>f(2x),得-1≤x+1≤1,-1≤2x≤1,x+1>2x,解得-12≤x≤0.7.答案 76,2解析 函数f(x)是定义在区间(-5,1)上的减函数,若f(2m-4)<f(3-4m),则有-5<2m-4<1,-5<3-4m<1,2m-4>3-4m,解得76<m<2,即m的取值范围为76,2.8.答案 0<a<1解析 两个函数在[1,+∞)上均单调递减应满足a-1<0,a>0,所以0<a<1.9.答案 (-3,1)解析 ∵f(x)是定义域上的减函数,且f(-3)=2,f(1)=-2,∴当x>-3时,f(x)<2,当x<1时,f(x)>-2,则当-3<x<1时,|f(x)|<2.10.C 若f(x)为增函数,g(x)为减函数,则f(x)+g(x)的增减性不确定.例如:f(x)=x+2为R上的增函数,当g(x)=-12x时,f(x)+g(x)=x2+2在R上为增函数;当g(x)=-3x时,f(x)+g(x)=-2x+2在R上为减函数.所以不能确定f(x)+g(x)的单调性.故选C.11.C 对于函数y=-x2+4x+12,有-x2+4x+12≥0,即x2-4x-12≤0,解得-2≤x≤6.14
所以函数y=-x2+4x+12的定义域为[-2,6].内层函数u=-x2+4x+12在区间[-2,2]上单调递增,在区间[2,6]上单调递减,外层函数y=u为定义域上的增函数,因此,函数y=-x2+4x+12的单调递减区间为[2,6].12.解析 函数y=4x2-4x+6=4(x-2)2+2的定义域为R,令f(u)=4u,u=x2-4x+6,f(u)=4u在(-∞,0),(0,+∞)上单调递减,u=x2-4x+6=(x-2)2+2的值域为[2,+∞),且u=x2-4x+6=(x-2)2+2在(-∞,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,所以函数y=4x2-4x+6的单调增区间为(-∞,2),单调减区间为(2,+∞).13.解析 函数g(x)在(0,3]上是减函数.证明如下:任取x1,x2∈(0,3],且x1<x2,则g(x1)-g(x2)=f(x1)+1f(x1)-f(x2)+1f(x2)=[f(x1)-f(x2)]1-1f(x1)f(x2).因为f(x)在(0,+∞)上是增函数,所以f(x1)-f(x2)<0.又因为f(x)>0,f(3)=1,所以0<f(x1)<f(x2)≤f(3)=1,则0<f(x1)f(x2)<1,1f(x1)f(x2)>1,即1-1f(x1)f(x2)<0,所以g(x1)-g(x2)>0,即g(x1)>g(x2).故g(x)=f(x)+1f(x)在(0,3]上是减函数.能力提升练1.B2.B3.C4.A5.D6.D7.AC8.BCD一、单项选择题1.B 根据题意有f(0)=-1,f(3)=1,又因为f(x)是R上的增函数,且-1<f(x)<1,所以f(0)<f(x)<f(3),故0<x<3.故选B.14
2.B f(x)=ax+1x+2=a(x+2)-2a+1x+2=a+1-2ax+2,依题意有1-2a<0,即a>12,故选B.3.C ∵f(2)=-1,且f(2x-4)>-1,∴f(2x-4)>f(2),又∵f(x)是定义在[0,+∞)上的减函数,∴0≤2x-4<2,解得2≤x<3,即实数x的取值范围是[2,3),故选C.4.A f(x)=2x-1的图像可以看作是由函数y=2x的图像向右平移1个单位得到的,因为y=2x的图像关于点(0,0)对称,所以f(x)=2x-1的图像关于点(1,0)对称,A正确;函数f(x)在(1,+∞)上单调递减,B错误;函数f(x)的图像不关于直线x=1对称,C错误;函数f(x)在(2,6)上没有最大值,D错误.5.D 依题意知f(x)=-x2+2ax的图像开口向下,在[1,2]上单调递减,所以a≤1.又因为g(x)=ax+1在[1,2]上单调递减,所以a>0.所以0<a≤1,故选D.6.D 因为对任意x1,x2∈R,且x1≠x2,都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0成立,所以函数f(x)为R上的减函数,所以a-3<0,2a>0,(a-3)+5≥2a,解得0<a≤2,所以实数a的取值范围是(0,2].二、多项选择题7.AC 当a=1时,f(x)=2x2-8x+5,其单调递减区间是(-∞,2],因此f(x)在(-∞,0)上单调递减,A正确;由f(x)的单调递减区间是(-∞,-4],得2a>0,-4(a-3)4a=-4,此时a的值不存在,B错误;当a=0时,f(x)=-12x+5,在(-∞,3)上是减函数;当a≠0时,由2a>0,-4(a-3)4a≥3,得0<a≤34,综上,a的取值范围是0,34,C正确;当a=0时,易得f(x)在(3,+∞)上单调递减,当a≠0时,由f(x)在区间(3,+∞)上是减函数得2a<0,-4(a-3)4a≤3,解得a<0,因此当a≤0时,f(x)在区间(3,+∞)上是减函数,D错误.故选AC.14
8.BCD 函数f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1的图像开口向上,对称轴为直线x=1.在选项A中,因为f(x)在区间[-1,0]上单调递减,所以f(x)在区间[-1,0]上的最小值为f(0)=2,A错误;在选项B中,因为f(x)在区间[-1,1]上单调递减,在[1,2]上单调递增,所以f(x)在区间[-1,2]上的最小值为f(1)=1,又因为f(-1)=5,f(2)=2,f(-1)>f(2),所以f(x)在区间[-1,2]上的最大值为f(-1)=5,B正确;在选项C中,因为f(x)在区间[2,3]上单调递增,所以f(x)在区间[2,3]上的最小值为f(2)=2,最大值为f(3)=5,C正确;在选项D中,当0<a<1时,f(x)在区间[0,a]上是减函数,所以f(x)的最小值为f(a),当a>1时,因为f(x)在区间[0,1]上单调递减,在[1,a]上单调递增,所以f(x)在区间[0,a]上的最小值为f(1)=1,D正确.因此选BCD.三、填空题9.答案 t≥1解析 函数f(x)=x2,x≥t,x,0<x<t(t>0)的图像如图.由图像可知要使函数f(x)=x2,x≥t,x,0<x<t(t>0)是区间(0,+∞)上的增函数,则t≥1.10.答案 c≤-2解析 由函数f(x)=|2x+c|=2x+c,x≥-c2,-2x-c,x<-c2得函数f(x)=|2x+c|在-∞,-c2上单调递减,在-c2,+∞上单调递增,所以-c2≥1,解得c≤-2.11.答案 m<-32解析 f(x)=x2+(2m+3)|x|+1的图像是由函数f(x)=x2+(2m+3)x+1的图像变换得到的,先保留y轴右侧的图像,再作关于y轴对称的图像.因为定义域被分成四个单调区间,所以f(x)=x2+(2m+3)x+1的图像的对称轴在y轴的右侧,使它在(0,+∞)上有两个单调区间,在(-∞,0)上也有两个单调区间,所以-2m+32>0,即m<-32.四、解答题12.解析 (1)证明:任取x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=x1-x2x1·x2,∵0<x1<x2,∴x1-x2<0,x1·x2>0,∴f(x1)-f(x2)<0,14
即f(x1)<f(x2),故f(x)在(0,+∞)上是增函数.(2)由(1)可知,f(x)=1a-1x在区间12,4上是增函数,∴f(x)max=f(4)=5,即1a-14=5,解得a=421.13.解析 (1)函数f(x)=2x2+mx-1图像的对称轴为直线x=-m4,因为函数f(x)在区间[1,3]上是单调函数,所以-m4≥3或-m4≤1,解得m≤-12或m≥-4.故实数m的取值范围是(-∞,-12]∪[-4,+∞).(2)因为函数f(x)对任意x∈R,都有f(1+x)=f(1-x)成立,所以f(x)的图像关于直线x=1对称,所以-m4=1,所以m=-4.(3)①若-m4≤-1,即m≥4,函数f(x)在[-1,1]上单调递增,故f(x)min=f(-1)=1-m.②若-m4≥1,即m≤-4,函数f(x)在[-1,1]上单调递减,故f(x)min=f(1)=1+m.③若-1<-m4<1,即-4<m<4,函数f(x)在-1,-m4上单调递减,在-m4,1上单调递增,故f(x)min=f-m4=-m28-1.综上,当m≥4时,f(x)min=1-m;当-4<m<4时,f(x)min=-m28-1;当m≤-4时,f(x)min=1+m.14.解析 (1)当a=12时,f(x)=x2+x-1,x∈[-1,1],其图像开口向上,且关于直线x=-12对称,∴函数f(x)在-1,-12上单调递减,在-12,1上单调递增,14
∴f(x)的最小值为f-12=-54,∵f(-1)=-1,f(1)=1,∴f(x)的最大值为f(1)=1.(2)函数f(x)=x2+2ax-1的图像开口向上,且关于直线x=-a对称,当-a≤-1,即a≥1时,f(x)在[-1,1]上单调递增,∴f(x)min=g(a)=f(-1)=-2a;当-1<-a<1,即-1<a<1时,f(x)在[-1,-a]上单调递减,在[-a,1]上单调递增,∴f(x)min=f(-a)=-a2-1=g(a);当-a≥1,即a≤-1时,f(x)在[-1,1]上单调递减,∴f(x)min=f(1)=2a=g(a).综上可得,g(a)=-2a,a≥1,-a2-1,-1<a<1,2a,a≤-1.15.解析 (1)令x=y=1,则f(1)=2f(1),可得f(1)=0.(2)取y=1x,则f(x)+f(y)=f(x)+f1x=fx·1x=f(1)=0,则f1x=-f(x),任取x1>x2>0,则fx1x2=f(x1·1x2)=f(x1)+f1x2=f(x1)-f(x2),∵x1>x2>0,∴x1x2>1,则f(x1)-f(x2)=fx1x2<0,即f(x1)<f(x2).因此,函数f(x)在(0,+∞)上为减函数.(3)由(2)知,f(3)=-f13=-1.由f(x)+f(x-2)>-1,可得f[x(x-2)]>f(3),即f(x2-2x)>f(3).由(2)知,函数f(x)在(0,+∞)上为减函数,则x2-2x<3,x>0,x-2>0,解得2<x<3.因此不等式f(x)+f(x-2)>-1的解集为(2,3).16.解析 (1)任取x1,x2∈[-2,-1),且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=x1+1x1-x2+1x2=(x1-x2)1-1x1x2.因为-2≤x1<x2<-1,所以x1-x2<0,1-1x1x2>0,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x)在[-2,-1)上单调递增.同理,可证f(x)在12,2上单调递增.14
所以当x∈[-2,-1)时,f(x)∈-52,-2;当x∈12,2时,f(x)∈-32,32.故f(x)的值域为-52,-2∪-32,32.(2)设g(x)的值域为B,当a>0时,g(x)在[-2,2]上单调递增,此时,值域B为[-2a-2,2a-2],依题意得-2a-2≤-52,2a-2≥32,解得a≥74;当a<0时,g(x)在[-2,2]上单调递减,此时,值域B为[2a-2,-2a-2],依题意得2a-2≤-52,-2a-2≥32,解得a≤-74;当a=0时,不符合题意.综上,a的取值范围是-∞,-74∪74,+∞.14
