综合拔高练五年高考练考点 函数的模型与应用1.(北京高考,8,5分,)某辆汽车每次加油都把油箱加满,下表记录了该车相邻两次加油时的情况.加油时间加油量(升)加油时的累计里程(千米)2015年5月1日12350002015年5月15日4835600注:“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程.在这段时间内,该车每100千米平均耗油量为( ) A.6升B.8升C.10升D.12升2.(2018上海,19,14分,)某群体的人均通勤时间,是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时.某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤.分析显示:当S中x%(0<x<100)的成员自驾时,自驾群体的人均通勤时间为f(x)=30,0<x≤30,2x+1800x-90,30<x<100(单位:分钟),而公交群体的人均通勤时间不受x影响,恒为40分钟,试根据上述分析结果回答下列问题:(1)当x在什么范围内时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间?(2)求该地上班族S的人均通勤时间g(x)的表达式;讨论g(x)的单调性,并说明其实际意义.三年模拟练应用实践 7
1.()某种新药服用x小时后血液中的残留量为y毫克,如图所示为函数y=f(x)的图像,当血液中药物残留量不小于240毫克时,治疗有效.设某人上午8:00第一次服药,为保证疗效,则第二次服药最迟的时间应为当日( )A.上午10:00B.中午12:00C.下午4:00D.下午6:002.()我们定义函数y=[x]([x]表示不大于x的最大整数)为“下整函数”,定义函数y={x}({x}表示不小于x的最小整数)为“上整函数”,例如[4.3]=4,[5]=5;{4.3}=5,{5}=5.某停车场收费标准为每小时2元,即不超过1小时(包括1小时)收费2元,超过一小时,不超过2小时(包括2小时)收费4元,以此类推.若李刚停车时间为x小时,则李刚应付费(单位:元)( )A.2[x+1]B.2([x]+1)C.2{x}D.{2x}3.()某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,采用新工艺把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨,最多为600吨,月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y=12x2-200x+80000,为使每吨的平均处理成本最低,该单位每月处理量应为( )A.200吨B.300吨C.400吨D.600吨4.()某公司生产一种产品,每年投入固定成本0.5万元,此外每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元,经预测可知,市场对这种产品的年需求量为500件,当出售的这种产品的数量为t(单位:百件)时,销售收入约为(5t-0.5t2)万元.(1)若该公司的年产量为x(单位:百件),试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润f(x)(单位:万元)表示为年产量x的函数;(2)当这种产品的年产量为多少时,销售这种产品所得的年利润最大?5.()某厂家拟举行促销活动,经调查测算,该产品的年销售量(即该厂的年产量)x(万件)与年促销费用m(万元)(m≥0)满足x=3-km+1(k为常数),若不搞促销活动,则该产品的年销售量为1万件.已知生产该产品的固定年投入为8万元,每生产一万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金).(1)将该产品的年利润y(万元)表示为年促销费用m(万元)的函数;(2)该厂家的年促销费用为多少万元时,利润最大?7
迁移创新6.(2021山东临沂高一上月考,)某地某路无人驾驶公交车发车时间间隔t(单位:分钟)满足5≤t≤20,t∈N.经测算,该路无人驾驶公交车载客量p(t)与发车时间间隔t满足:p(t)=60-(t-10)2,5≤t<10,60,10≤t≤20,其中t∈N.(1)求p(5),并说明p(5)的实际意义;(2)若该路公交车每分钟的净收益y=6p(t)+24t-10(元),问当发车时间间隔为多少时,该路公交车每分钟的净收益最大?并求每分钟的最大净收益.7.()某公司研发出一款新产品,批量生产前先同时在甲、乙两城市销售30天进行市场调查.调查结果发现:甲城市的日销售量f(t)(件)与时间t(天)的对应关系服从图①所示的函数关系;乙城市的日销售量g(t)(件)与时间t(天)的对应关系服从图②所示的函数关系;每件产品的销售利润h(t)(元/件)与时间t(天)的对应关系服从图③所示的函数关系,其中图①是抛物线的一部分.(1)设该产品的销售时间为t(天)(0≤t≤30,t∈N),日销售利润为Q(t)(元),求Q(t)的解析式;7
(2)若在30天的销售中,日销售利润至少有一天超过2万元,则可以投入批量生产,请判断该产品是否可以投入批量生产,并说明理由.答案全解全析第三章 函数3.3综合拔高练五年高考练1.B 由两次加油可以看出耗油48升,行驶600千米,所以该车每100千米平均耗油量为48÷600×100=8(升).故选B.2.解析 (1)由题意知,当30<x<100时,f(x)=2x+1800x-90,令2x+1800x-90>40,7
即x2-65x+900>0,解得x<20(舍去)或x>45,∴x∈(45,100)时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间.(2)当0<x≤30时,g(x)=30·x%+40(1-x%)=40-x10;当30<x<100时,g(x)=2x+1800x-90·x%+40(1-x%)=x250-1310x+58.∴g(x)=40-x10,0<x≤30,x250-1310x+58,30<x<100.当0<x<32.5时,g(x)单调递减;当32.5<x<100时,g(x)单调递增.说明该地上班族S中有小于32.5%的人自驾时,人均通勤时间是递减的;有大于32.5%的人自驾时,人均通勤时间是递增的;当自驾人数为32.5%时,人均通勤时间最少.三年模拟练1.C 当x∈[0,4]时,设y=k1x(k1≠0),把(4,320)代入,得k1=80,所以y=80x.同理可得,当x∈(4,20]时,y=400-20x.所以y=f(x)=80x,0≤x≤4,400-20x,4<x≤20.要使y≥240,则有0≤x≤4,80x≥240或4<x≤20,400-20x≥240,解得3≤x≤4或4<x≤8,所以3≤x≤8.故第二次服药最迟的时间应为当日下午4:00.故选C.2.C 当x=1时,应付费2元,此时2[x+1]=4,2([x]+1)=4,排除A,B;当x=0.5时,应付费2元,此时{2x}=1,排除D.故选C.3.C 由题意可知,二氧化碳每吨的平均处理成本为yx=12x+80000x-200≥212x·80000x-200=200,当且仅当12x=80000x,即x=400时,等号成立,故该单位每月处理量为400吨时,可使每吨的平均处理成本最低.4.解析 (1)当0<x≤5时,产品全部售出,当x>5时,产品只能售出500件.所以f(x)=5x-0.5x2-(0.5+0.25x),0<x≤5,5×5-0.5×52-(0.5+0.25x),x>5=-0.5x2+4.75x-0.5,0<x≤5,12-0.25x,x>5.7
(2)当0<x≤5时,f(x)=-0.5x2+4.75x-0.5,所以当x=-4.752×(-0.5)=4.75时,f(x)有最大值,f(x)max=10.78125.当x>5时,f(x)<12-0.25×5=10.75.故当年产量为475件时,销售这种产品所得的年利润最大.5.解析 (1)由题意知,当m=0时,x=1,∴1=3-k,解得k=2,∴x=3-2m+1,又∵每件产品的销售价格为1.5×8+16xx(万元),∴年利润y=1.5x×8+16xx-8-16x-m=-16m+1+(m+1)+29(m≥0).(2)∵m≥0时,16m+1+(m+1)≥216=8,当且仅当16m+1=m+1,即m=3时,等号成立,∴y≤-8+29=21,当且仅当m=3时,等号成立,此时y取得最大值.故该厂家的年促销费用为3万元时,利润最大.6.解析 (1)p(5)=60-(5-10)2=35.实际意义为:发车时间间隔为5分钟时,载客量为35.(2)∵y=6p(t)+24t-10,∴当5≤t<10,t∈N时,y=360-6(t-10)2+24t-10=110-6t+36t≤110-6×2t×36t=38,当且仅当t=36t,即t=6(负值舍去)时,等号成立,∴y的最大值为38.当10≤t≤20,t∈N时,y=6×60+24t-10=384t-10,该函数在区间[10,20]上单调递减,则当t=10时,y取得最大值28.4.综上,当发车时间间隔为6分钟时,该路公交车每分钟的净收益最大,每分钟的最大净收益为38元.7.解析 (1)由题图得f(t)=-110t2+4t,0≤t≤30,t∈N;g(t)=4t,0≤t≤15,t∈N,-2t+90,15<t≤30,t∈N;h(t)=20t,0≤t≤10,t∈N,200,10<t≤30,t∈N.因为日销售利润Q(t)(元)与时间t(天)的函数为Q(t)=[f(t)+g(t)]·h(t),所以当0≤t≤10,t∈N时,Q(t)=-110t2+4t+4t×20t=-2t3+160t2;7
当10<t≤15,t∈N时,Q(t)=-110t2+4t+4t×200=-20t2+1600t;当15<t≤30,t∈N时,Q(t)=-110t2+4t-2t+90×200=-20t2+400t+18000.故Q(t)=-2t3+160t2,0≤t≤10,-20t2+1600t,10<t≤15,-20t2+400t+18000,15<t≤30(t∈N).(2)该产品不可以投入批量生产,理由如下:当0≤t≤10时,利用计算机画出函数图像(图像略),由图像知Q(t)max=Q(10)=14000,当10<t≤15时,Q(t)max=Q(15)=19500,当15<t≤30时,Q(t)max<Q(15)=19500,所以Q(t)的最大值为Q(15)=19500<20000,即在30天的销售中,没有一天的日销售利润超过2万元,故不可以投入批量生产.7
