第2课时 函数的表示方法基础过关练题组一 函数的三种表示法1.观察下表:x-3-2-1123f(x)51-1-335g(x)1423-2-4则f(f(-1)-g(3))=( ) A.-4B.-3C.3D.52.一旅社有100间相同的客房,经过一段时间的经营实践,发现每间客房每天的定价与住房率有如下关系:每间客房定价100元90元80元60元住房率65%75%85%95%假设不考虑其他因素,要使每天的收入最高,每间客房的定价应为( )A.100元B.90元C.80元D.60元3.已知函数y=f(x)的图像如图所示,则f(x)的定义域是( )A.RB.(-∞,1)∪(1,+∞)C.(-∞,0)∪(0,+∞)D.(-1,0)4.如图所示的四个容器高度都相同.从容器顶部一个孔中以相同的速度将水注入其中,注满为止.用下面对应的图像显示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系,其中不正确的有( )15
A.1个B.2个C.3个D.4个5.某企业生产某种产品时的能耗y与产品件数x之间的关系式为y=ax+bx.当x=2时,y=100;当x=7时,y=35.已知此产品生产件数不超过20件.(1)写出函数y关于x的解析式;(2)用列表法表示此函数(保留一位小数),并画出图像.题组二 函数解析式的求法6.已知f(x)是一次函数,且f(x-1)=3x-5,则f(x)的解析式为( )A.f(x)=3x+2B.f(x)=3x-2C.f(x)=2x+3D.f(x)=2x-37.(2021河南南阳六校高一上联考)已知函数f(x+2)=x+4x+5,则f(x)的解析式为( )A.f(x)=x2+1B.f(x)=x2+1(x≥2)C.f(x)=x2D.f(x)=x2(x≥2)8.已知f(x)=2x+3,g(x)=4x-5,若f(h(x))=g(x),则h(x)=( )A.2x+3B.2x-11C.2x-4D.4x-59.已知函数F(x)=f(x)+g(x),其中f(x)是x的正比例函数,g(x)是x的反比例函数,且F13=16,F(1)=8,则F(x)的解析式为 . 15
10.(2021黑龙江哈尔滨师范大学附属中学高一月考)已知函数f(2x-1)=x2-x+14,则f(x)= . 11.已知函数y=f(x)满足f(x)=2f1x+x,则f(x)的解析式为 . 12.(2021四川泸县第一中学高一上月考)(1)已知f1x=x1-x2,求f(x)的解析式;(2)已知g(x)是二次函数,且满足g(0)=1,g(x+1)-g(x)=2x,求g(x)的解析式.题组三 分段函数13.(2021山东滕州一中高一月考)已知函数f(x)=x2,x<1,f(x-1)-1,x≥1,则f(2020)=( )A.-1B.-2020C.1D.202014.已知函数f(x)=2x2,0≤x<1,2,1≤x<2,3,x≥2,则f(x)的值域是( )A.RB.[0,+∞)C.[0,3]D.[0,2]∪{3}15.(2021河南郑州巩义第四高级中学高三第一次测试)设函数f(x)=-x,x≤0,x2,x>0,若f(a)=4,则实数a的值为( )A.-4或-2B.-4或2C.-2或4D.-2或216.已知函数f(x)=1+x-|x|4.(1)用分段函数的形式表示函数f(x);(2)在平面直角坐标系中画出函数f(x)的图像;(3)在同一平面直角坐标系中,直接画出函数g(x)=1x(x>0)的图像,通过观察图像,直接写出当x>0时不等式f(x)>1x的解集.15
17.已知函数f(x)的图像如图所示,求f(x)的解析式.题组四 函数的图像18.已知函数f(x)=x+1,x∈[-1,0],x2+1,x∈(0,1],则其图像是( )19.f(x)=|x-1|的图像是( )15
20.函数y=-1x+1的大致图像是( )能力提升练一、单项选择题1.()若函数f(x)=3-x2,-1≤x≤2,x-3,2<x≤5,则使f(x)=1成立的x的值是( ) A.2或2B.2或3C.2或4D.±2或42.(2021贵州遵义航天高级中学高一上学期第一次月考,)设函数f(x)定义在整数集上,且f(x)=x-3,x≥1000,x∈Z,f(f(x+5)),x<1000,x∈Z,则f(999)=( )A.996B.997C.998D.9993.(2021福建厦门第一中学高一上入学测试,)如图,△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,AB=16,点P是斜边AB上任意一点,过点P作PQ⊥AB,垂足为P,交边AC(或边CB)于点Q,设AP=x,△APQ的面积为y,则y与x之间的函数图像大致是( )15
4.(2021黑龙江哈尔滨师范大学青冈实验中学高一月考,)为更好实施乡村振兴战略,加强村民对本村事务的参与和监督,根据《村委会组织法》,某乡镇准备在各村推选村民代表.规定各村每15户推选1人,当全村户数除以15所得的余数大于10时再增选1人.那么,各村可推选的人数y与该村户数x之间的函数关系用取整函数y=[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为( )A.y=x+1115B.y=x+415C.y=x+1015D.y=x+5155.(2020黑龙江哈三中高一上第一次阶段性验收,)若函数f(x)满足f(0)=1,且对任意x,y∈R都有f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2,则f(2019)=( )A.0B.1C.2019D.20206.()设函数f(x)=x2+x+a(a>0),若f(m)<0,则f(m-1)( )A.是正数B.是负数C.是非负数D.正负不确定二、多项选择题7.()若x∈R,f(x)是y=2-x2,y=x这两个函数中的较小者,则f(x)( )A.无最小值B.最大值为1C.无最大值D.最小值为-18.()已知函数f(x)=x+2,x≤-1,x2,-1<x<2,则关于函数f(x)的结论正确的是( )A.f(x)的值域为(-∞,4)B.f(1)=3C.若f(x)=3,则x的值是3D.f(x)<1的解集为(-1,1)三、填空题15
9.()19世纪德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就卓著,函数f(x)=1,x∈Q,0,x∈∁ RQ被称为狄利克雷函数,其中R为实数集,Q为有理数集.狄利克雷函数是无法画出函数图像的,但是它的函数图像却客观存在,如果A(0,f(0)),B(3,f(3))在其图像上,那么f(3)= ,A,B两点间的距离为 . 10.()已知函数f(x),g(x)由下表给出:x123f(x)131g(x)321则满足不等式f(g(x))>g(f(x))的解集是 . 四、解答题11.()若二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0,a,b,c∈R)满足f(x+1)-f(x)=4x+1,且f(0)=3.(1)求f(x)的解析式;(2)若在区间[-1,1]上,不等式f(x)>6x+m恒成立,求实数m的取值范围.12.()如图所示,函数f(x)的图像是折线段ABC,其中A,B,C三点的坐标分别为(0,4),(2,0),(6,4).(1)求f(f(0))的值;(2)求函数f(x)的解析式.15
13.(2021山西平陆中学高一上月考,)已知f(x)=2x+3,x∈(-∞,0),2x2+1,x∈[0,+∞).(1)求f(0),f(f(-1))的值;(2)若f(x)=2,求x的值;(3)试画出函数y=f(x)的图像.14.()在边长为4的正方形ABCD的边上有一点P由点B(起点)沿着折线BCDA向点A(终点)运动.设点P运动的路程为x,△ABP的面积为y.(1)求y与x之间的解析式;(2)画出y=f(x)的图像.15
15.(2020湖北武汉期末,)某市出租车的收费标准是3千米以内(含3千米),收起步价8元;3千米至8千米(含8千米),超出3千米的部分按1.5元/千米收取;8千米以上,超出8千米的部分按2元/千米收取.(1)计算某乘客搭乘出租车行驶7千米应付的车费;(2)试写出车费y(元)与里程x(千米)之间的函数解析式并画出图像;(3)小陈周末外出,行程为10千米,他设计了两种方案.方案一:分两段乘车,乘一辆车行驶5千米,下车换乘另一辆车行驶5千米至目的地;方案二:只乘一辆车至目的地.试问:哪种方案更省钱?请说明理由.答案全解全析第三章 函数3.1 函数的概念与性质3.1.1 函数及其表示方法第2课时 函数的表示方法基础过关练1.D2.C3.C4.A6.B7.B8.C13.B14.D15.B15
18.A19.B20.B1.D 由题中表格得f(-1)=-1,g(3)=-4,f(3)=5,∴f(f(-1)-g(3))=f(-1-(-4))=f(3)=5,故选D.2.C 不同的房价对应着不同的住房率,也对应着不同的收入,因此求出4个不同房价对应的收入,然后找出最大值对应的房价即可,故选C.3.C 由题图知x≠0,即x∈(-∞,0)∪(0,+∞),故选C.4.A 对于第一个容器,水面的高度h的增加应是匀速的,因此不正确,其他均正确,故选A.5.解析 (1)将x=2,y=100,x=7,y=35分别代入y=ax+bx,得2a+b2=100,7a+b7=35,即4a+b=200,49a+b=245,解得a=1,b=196.所以所求函数解析式为y=x+196x(x∈N,0<x≤20).(2)当x∈{1,2,3,4,5,…,20}时,列表:x12345678910y19710068.35344.238.73532.530.829.6x11121314151617181920y28.828.328.12828.128.628.528.929.329.8依据上表,画出函数的图像如图所示.6.B ∵f(x)是一次函数,∴设f(x)=kx+b(k≠0),可得f(x-1)=k(x-1)+b=kx-k+b,∵f(x-1)=3x-5,∴k=3,-k+b=-5,解得k=3,b=-2.因此,f(x)的解析式为f(x)=3x-2,故选B.7.B 令x+2=t,则t≥2,x=t-2,x=(t-2)2,所以f(t)=(t-2)2+4(t-2)+5=t2+1(t≥2),所以f(x)=x2+1(x≥2).8.C 由f(x)=2x+3,得f(h(x))=2h(x)+3,则f(h(x))=g(x)可化为2h(x)+3=4x-5,所以h(x)=2x-4,故选C.9.答案 F(x)=3x+5x15
解析 设f(x)=kx(k≠0),g(x)=mx(m≠0),则F(x)=kx+mx(k≠0,m≠0).由F13=16,F(1)=8,得13k+3m=16,k+m=8,解得k=3,m=5,所以F(x)=3x+5x.10.答案 x24解析 令t=2x-1,则x=t+12,所以f(t)=t+122-t+12+14=t24,所以f(x)=x24.11.答案 f(x)=-x2+23x(x≠0)解析 ∵f(x)=2f1x+x,①∴将x换成1x,得f1x=2f(x)+1x.②由①②消去f1x,得f(x)=-23x-x3,即f(x)=-x2+23x(x≠0).12.解析 (1)设t=1x,则x=1t(t≠0),代入f1x=x1-x2,得f(t)=1t1-1t2=tt2-1,故f(x)=xx2-1(x≠0且x≠±1).(2)设所求的二次函数为g(x)=ax2+bx+c(a≠0).∵g(0)=1,∴c=1,∴g(x)=ax2+bx+1.又∵g(x+1)-g(x)=2x,∴a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x,整理,得2ax+a+b=2x,即(2a-2)x+a+b=0,∴2a-2=0,a+b=0,∴a=1,b=-1.∴所求函数解析式为g(x)=x2-x+1.13.B ∵f(x)=x2,x<1,f(x-1)-1,x≥1,∴f(2020)=f(2019)-1=f(2018)-2=…=f(0)-2020=0-2020=-2020.14.D 当x∈[0,1)时,f(x)∈[0,2);当x∈[1,2)时,f(x)∈{2};当x∈[2,+∞)时,f(x)∈{3},所以f(x)的值域为[0,2]∪{3}.故选D.15.B 当a≤0时,令f(a)=-a=4,解得a=-4;当a>0时,令f(a)=a2=4,解得a=±2,因为a>0,所以a=2.综上,a的值为-4或2.15
16.解析 (1)当x≥0时,f(x)=1+x-x4=1;当x<0时,f(x)=1+x+x4=12x+1.所以f(x)=1,x≥0,12x+1,x<0.(2)函数f(x)的图像如图所示.(3)函数g(x)=1x(x>0)的图像如(2)中所示,当f(x)>1x时,f(x)的图像在g(x)的图像的上方,所以由(2)中图像可知f(x)>1x的解集是{x|x>1}.17.解析 当x≤-2时,函数f(x)的图像为一条射线,且经过点(-2,0)与点(-4,3),设f(x)=ax+b(a≠0),将两点的坐标代入,得-2a+b=0,-4a+b=3,解得a=-32,b=-3,所以此时函数f(x)的解析式为f(x)=-32x-3(x≤-2);当-2<x<2时,函数f(x)的图像为一条平行于x轴的线段(不包括端点),且经过点(0,2),所以此时函数f(x)的解析式为f(x)=2(-2<x<2);当x≥2时,函数f(x)的图像为一条射线,且经过点(2,2)与点(3,3),设f(x)=cx+d(c≠0),将两点的坐标代入,得2c+d=2,3c+d=3,解得c=1,d=0,所以此时函数f(x)的解析式为f(x)=x(x≥2).综上,f(x)=-32x-3,x≤-2,2,-2<x<2,x,x≥2.18.A 当x=-1时,f(-1)=0,即图像过点(-1,0),显然D错;当x=0时,f(0)=1,即图像过点(0,1),C错;当x=1时,f(1)=2,即图像过点(1,2),B错.故选A.19.B ∵f(x)=|x-1|=x-1,x≥1,1-x,x<1,∴当x=1时,f(1)=0,排除A、C,又当x=-1时,f(-1)=2,排除D.故选B.20.B 函数y=-1x+1的图像是由函数y=-1x的图像向左平移1个单位得到的,而函数y=-1x的图像在第二、四象限,结合所给的四个图像,只有B符合,故选B.能力提升练1.C2.C3.D4.B5.D6.A7.AB8.AC一、单项选择题1.C 当-1≤x≤2时,令3-x2=1,得x=±2,而-2∉[-1,2],故舍去;当2<x≤5时,令x-3=1,得x=4,满足题意.15
综上,x=2或4,故选C.2.C 因为f(x)=x-3,x≥1000,x∈Z,f(f(x+5)),x<1000,x∈Z,所以f(999)=f(f(1004))=f(1001)=998.3.D 过点C作CD⊥AB,垂足为D,因为∠ACB=90°,∠A=30°,AB=16,所以BC=8,∠B=60°,所以BD=12BC=4,AD=AB-BD=12.如图1,当0≤x≤12时,PQ=AP·tan30°=33x,所以y=12x·33x=36x2(0≤x≤12),其图像为开口向上的抛物线的一部分.如图2,当12<x≤16时,BP=AB-AP=16-x,所以PQ=BP·tan60°=3(16-x),所以y=12x·3(16-x)=-32x2+83x(12<x≤16),其图像为开口向下的抛物线的一部分.分析各选项中图像,可知选D.4.B 根据规定,各村每15户推选1人,当全村户数除以15所得的余数大于10时再增选1人,即余数为11,12,13,14时可以增加1个代表,也就是y的值加1,所以x应该加4,因此利用取整函数可表示为y=x+415.5.D f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2,f(0)=1,当x=0时,f(1)=f(0)f(y)-f(y)+2=2,当y=0时,f(1)=f(x)f(0)-f(0)-x+2=2,因此f(x)=x+1,则f(2019)=2020,故选D.6.A ∵f(x)=x2+x+a(a>0),f(m)<0,∴f(m)=m2+m+a<0,∴-m>m2+a,∴f(m-1)=(m-1)2+(m-1)+a=m2-m+a>2m2+2a>0,故选A.二、多项选择题7.AB 在同一平面直角坐标系中画出函数y=2-x2,y=x的图像,如图.15
根据题意,图中实线部分即为函数f(x)的图像.故当x=1时,f(x)取得最大值,且f(x)max=1,由图像知f(x)无最小值,故选AB.8.AC 当x≤-1时,f(x)的取值范围是(-∞,1],当-1<x<2时,f(x)的取值范围是[0,4),因此f(x)的值域为(-∞,4),故A正确;当x=1时,f(1)=12=1,故B错误;当x≤-1时,由x+2=3,解得x=1(舍去),当-1<x<2时,由x2=3,解得x=3或x=-3(舍去),故C正确;当x≤-1时,由x+2<1,解得x<-1,当-1<x<2时,由x2<1,解得-1<x<1,因此f(x)<1的解集为(-∞,-1)∪(-1,1),故D错误.故选AC.三、填空题9.答案 0;2解析 根据函数的解析式得f(0)=1,f(3)=0,所以A(0,1),B(3,0)两点间的距离为(3-0)2+(0-1)2=2.10.答案 {2}解析 若x=1,则f(g(1))=f(3)=1,g(f(1))=g(1)=3,此时f(g(x))>g(f(x))不成立;若x=2,则f(g(2))=f(2)=3,g(f(2))=g(3)=1,此时f(g(x))>g(f(x))成立;若x=3,则f(g(3))=f(1)=1,g(f(3))=g(1)=3,此时f(g(x))>g(f(x))不成立.故不等式f(g(x))>g(f(x))的解集为{2}.四、解答题11.解析 (1)由f(0)=3得c=3,∴f(x)=ax2+bx+3.又∵f(x+1)-f(x)=4x+1,∴a(x+1)2+b(x+1)+3-(ax2+bx+3)=4x+1,即2ax+a+b=4x+1,∴2a=4,a+b=1,∴a=2,b=-1,∴f(x)=2x2-x+3.(2)f(x)>6x+m等价于2x2-x+3>6x+m,即2x2-7x+3>m在[-1,1]上恒成立,令g(x)=2x2-7x+3,则g(x)min=g(1)=-2,则m<-2.故实数m的取值范围是(-∞,-2).12.解析 (1)直接由题图观察,可得f[f(0)]=f(4)=2.(2)设线段AB所对应的函数解析式为y=kx+b(k≠0)(0≤x≤2),将x=0,y=4与x=2,y=0代入y=kx+b,得4=b,0=2k+b,解得b=4,k=-2.15
故y=-2x+4(0≤x≤2).同理,线段BC所对应的函数解析式为y=x-2(2≤x≤6).故f(x)=-2x+4,0≤x≤2,x-2,2<x≤6.13.解析 (1)f(0)=2×0+1=1.∵f(-1)=-2+3=1,∴f(f(-1))=f(1)=2+1=3.(2)若x<0,则2x+3=2,可得x=-12;若x≥0,则2x2+1=2,可得x=22或x=-22(舍去).综上所述,x的值为-12或22.(3)函数y=f(x)的图像如图所示.14.解析 (1)当0≤x≤4时,S△ABP=12·4x=2x;当4<x≤8时,S△ABP=12×4×4=8;当8<x≤12时,S△ABP=12×4×(12-x)=24-2x.所以y=2x,0≤x≤4,8,4<x≤8,24-2x,8<x≤12.(2)画出y=f(x)的图像,如图所示:15.解析 (1)由题意知,乘客搭乘出租车行驶7千米应付车费为8+(7-3)×1.5=14(元).(2)y=8,0<x≤3,1.5x+3.5,3<x≤8,2x-0.5,x>8.(3)方案二更省钱.理由如下:方案一的费用为(1.5×5+3.5)×2=22(元).方案二的费用为2×10-0.5=19.5(元).∵19.5<22,∴方案二更省钱.15
