综合拔高练五年高考练考点 函数与方程的综合应用1.(2020浙江,9,4分,)已知a,b∈R且ab≠0,对于任意x≥0均有(x-a)(x-b)(x-2a-b)≥0,则( ) A.a<0B.a>0C.b<0D.b>02.(2017山东,10改编,5分,)已知当x∈[0,1]时,函数y=(mx-1)2的图像与y=x+m的图像有且只有一个交点,则正实数m的取值范围是( )A.(0,1]∪[23,+∞)B.(0,1]∪[3,+∞)C.(0,2]∪[23,+∞)D.(0,2]∪[3,+∞)3.(2020天津,9,5分,)已知函数f(x)=x3,x≥0,-x,x<0.若函数g(x)=f(x)-|kx2-2x|(k∈R)恰有4个零点,则k的取值范围是( )A.-∞,-12∪(22,+∞)B.-∞,-12∪(0,22)C.(-∞,0)∪(0,22)D.(-∞,0)∪(22,+∞)4.(2018浙江,15,6分,)已知λ∈R,函数f(x)=x-4,x≥λ,x2-4x+3,x<λ.当λ=2时,不等式f(x)<0的解集是 .若函数f(x)恰有2个零点,则λ的取值范围是 . 5.(2018天津,14,5分,)已知a>0,函数f(x)=x2+2ax+a,x≤0,-x2+2ax-2a,x>0.若关于x的方程f(x)=ax恰有2个互异的实数解,则a的取值范围是 . 6.(2016山东,15,5分,)已知函数f(x)=|x|,x≤m,x2-2mx+4m,x>m,其中m>0.若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,则m的取值范围是 . 三年模拟练应用实践1.()函数f(x)=x3+2x-5的零点所在的一个区间是( ) 12
A.(-2,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,2)2.(2020贵州铜仁思南中学高二上月考,)函数f(x)=x2-1x-1在区间(k,k+1)(k∈N)内有零点,则k=( )A.1B.2C.3D.03.()已知函数f(x)=ax2-x+2,函数g(x)=-2,x≤-2,x,-2<x<2,2,x≥2,若函数y=f(x)-g(x)恰好有2个不同的零点,则实数a的取值范围是( )A.(-∞,0)B.(-∞,0)∪0,12C.(-∞,0)∪13,1D.(-∞,0)∪(1,+∞)4.()如果函数f(x)为偶函数,当x≥0时,f(x)=2x-x2,那么函数g(x)=f[f(x)]-12的零点个数为( )A.2B.4C.6D.85.()定义在R上的函数f(x)=1|x-2|,x≠2,1,x=2,若关于x的方程[f(x)]2-mf(x)+m-1=0(其中m>2)有n个不同的实数根x1,x2,…,xn,则f(x1+x2+…+xn)=( )A.10B.8C.18D.166.()已知函数f(x)=-x2+3x,x≥0,x2-3x,x<0,若关于x的不等式[f(x)]2-af(x)-b2<0恰有一个整数解,则实数a的最小值是( )A.-10B.-8C.-7D.-57.()已知函数f(x)=2-|x|,x≤2,(x-2)2,x>2,函数g(x)=b-f(2-x),其中b∈R.若函数y=f(x)-g(x)恰有4个零点,则b的取值范围是( )A.74,+∞B.-∞,74C.0,74D.74,28.()已知函数f(x)=x4+ax2+bx+c(c<0),若函数f(x)是偶函数,且f(f(0))=c4+c,则函数f(x)有 个零点. 9.()设函数f(x)=x2-4x,x≥0,2x,x<0.12
(1)画出函数y=f(x)的图像;(2)讨论方程|f(x)|=a的实数解的个数.(只写明结果,无须过程)10.()对于函数f(x),若存在x0,使f(x0)=x0成立,则称x0为函数f(x)的不动点.已知f(x)=x2+bx+c.(1)若f(x)有两个不动点-3,2,求函数f(x)的零点;(2)若c=b24时,函数f(x)没有不动点,求实数b的取值范围.11.()已知函数f(x)=x2-3mx+n的两个零点分别为1和2.(1)求实数m、n的值;(2)若不等式f(x)-k>0在x∈[0,5]上恒成立,求实数k的取值范围.12
迁移创新12.()如图,有一块边长为30cm的正方形铁皮,将其四个角各截去一个边长为xcm的小正方形,然后折成一个无盖的盒子,如果要做成一个容积是1200cm3的无盖盒子,那么截去的小正方形的边长是多少厘米(精确到0.1cm)?请利用二分法思想,设计解决该问题的思路和过程.12
答案全解全析第三章 函数3.2综合拔高练五年高考练1.C 解法一:令f(x)=(x-a)(x-b)(x-2a-b),则方程f(x)=0存在三个根x1=a,x2=b,x3=2a+b.当三个根都小于0时,如图①所示,对于任意x≥0,f(x)≥0恒成立,符合题意.当存在实数根大于0时,要使得对于任意x≥0,f(x)≥0恒成立,则三个根一定是两个相等的正根和一个负根,如图②所示.当a=b>0时,2a+b>0,不符合题意,舍去;当a=2a+b>0时,a=-b>0,b<0,符合题意;当b=2a+b时,a=0,不符合题意,舍去.综上所述,当满足条件时,b<0.故选C.解法二:令f(x)=(x-a)(x-b)(x-2a-b),则f(0)=(-a)·(-b)·(-2a-b)=-ab(2a+b)≥0,则ab(2a+b)≤0.若b>0,则当a>0时,ab(2a+b)>0,与ab(2a+b)≤0矛盾,舍去;当a<0时,由ab(2a+b)≤0,得2a+b≥0,故a+b>0,f(a+b)=(a+b-a)(a+b-b)(a+b-2a-b)=ab(-a)=-a2b<0,与已知矛盾,舍去.故b<0.故选C.2.B ①当0<m≤1时,在同一平面直角坐标系中作出函数y=(mx-1)2与y=x+m的大致图像,如图.易知此时两函数图像在x∈[0,1]上有且只有一个交点.②当m>1时,在同一平面直角坐标系中作出函数y=(mx-1)2与y=x+m的大致图像,如图.12
要满足题意,则(m-1)2≥1+m,解得m≥3或m≤0(舍去),故m≥3.综上,正实数m的取值范围为(0,1]∪[3,+∞).故选B.3.D 令h(x)=|kx2-2x|,函数g(x)=f(x)-|kx2-2x|(k∈R)恰有4个零点,即y=f(x)与y=h(x)的图像恰有4个交点.当k=-12时,h(x)=-12x2-2x=12x2+2x,在同一直角坐标系中作出y=f(x),y=h(x)的图像,如图.由图可知y=f(x)与y=h(x)的图像恰有4个交点,即函数g(x)=f(x)-|kx2-2x|恰有4个零点,排除A,B;当k=1时,h(x)=|x2-2x|,作出y=h(x)与y=f(x)的图像,如图所示.此时,函数y=f(x)与y=h(x)的图像仅有2个交点,不合题意,排除C,故选D.4.答案 (1,4);(1,3]∪(4,+∞)解析 当λ=2时,分段函数的图像如图所示,由图可知不等式f(x)<0的解集是(1,4).12
当λ∈(1,3]时,如图所示,有2个零点.当λ∈(4,+∞)时,如图所示,有2个零点.综上,当函数f(x)有两个零点时,λ的取值范围是(1,3]∪(4,+∞).5.答案 (4,8)解析 设g(x)=f(x)-ax=x2+ax+a,x≤0,-x2+ax-2a,x>0,方程f(x)=ax恰有2个互异的实数解,即函数y=g(x)有2个零点,即y=g(x)的图像与x轴有2个交点,满足条件的y=g(x)的图像有以下两种情况:情况一:则a2-4a>0,a2-8a<0,解得4<a<8.情况二:则Δ1=a2-4a<0,Δ2=a2-8a>0,不等式组无解.综上,满足条件的a的取值范围是(4,8).6.答案 (3,+∞)12
解析 f(x)的大致图像如图所示,若存在b∈R,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,则4m-m2<m,又m>0,所以m>3.三年模拟练1.D2.A3.B4.D5.C6.A7.D1.D ∵f(x)=x3+2x-5是单调递增的连续函数,且f(1)=-2<0,f(2)=8+4-5=7>0,∴由函数零点存在定理可得零点在(1,2)内.故选D.2.A 易知函数f(x)=x2-1x-1在(0,+∞)上单调递增且图像是连续不断的,因为f(1)=-1<0,f(2)=52>0,所以由函数零点存在定理知函数f(x)在区间(1,2)内有零点,故k=1.故选A.3.B 依题意有f(x)的图像与g(x)的图像有2个不同的交点,且f(x)的图像过点(0,2).当a=0时,f(x)=2-x,此时g(x)的图像与f(x)的图像仅有1个交点,舍去.当a<0时,f(x)的图像是开口向下且过点(0,2)的拋物线,此时f(x)与g(x)的图像一定有2个不同的交点.当a>0时,f(x)的图像是开口向上且过点(0,2),对称轴为直线x=12a>0的拋物线.当f(x)=ax2-x+2与g(x)=x(-2<x<2)的图像有且只有一个交点时,可求得a=12.要使f(x)与g(x)有2个不同的交点,只需0<a<12.综上,实数a的取值范围是(-∞,0)∪0,12.故选B.4.D 函数g(x)=f[f(x)]-12的零点个数即y=f[f(x)]与y=12的图像的交点个数,在同一平面直角坐标系内作出函数y=f(x)及y=12的图像,如图所示.令g(x)=0,得f[f(x)]=12,设f(x)=t,则f(t)=12,由图像知,f(t)=12有四个解(从左到右依次记为t1,t2,t3,t4),-2<t1<-1<t2<0<t3<1<t4<2.12
当t=t1∈(-2,-1)时,f(x)=t1有两个解;当t=t2∈(-1,0)时,f(x)=t2有两个解;当t=t3∈(0,1)时,f(x)=t3有四个解;当t=t4∈(1,2)时,f(x)=t4无解.故f[f(x)]=12共有8个实数解,即函数g(x)的零点个数为8.故选D.5.C [f(x)]2-mf(x)+m-1=0,即[f(x)-1]·[f(x)-(m-1)]=0,∴f(x)=1或f(x)=m-1>1.作出f(x)=1|x-2|,x≠2,1,x=2的大致图像,如图所示.当f(x)=1时,有三个实数根,其中一个实数根为2,另两个实数根关于直线x=2对称;当f(x)=m-1>1时,有两个实数根,这两个实数根也关于直线x=2对称.∴原方程一共有5个不同的实数根.∴f(x1+x2+…+x5)=f(10)=18.故选C.6.A 作出函数f(x)=-x2+3x,x≥0,x2-3x,x<0的图像,如图实线部分所示,由[f(x)]2-af(x)-b2<0,得a-a2+4b22<f(x)<a+a2+4b22,若b≠0,则f(x)=0满足不等式,此时不等式至少有两个整数解,不满足题意,故b=0,结合题意知a<f(x)<0,且整数解x只能是4,当x=5时,f(5)=-10,所以a≥-10,故选A.7.D 由已知条件可得f(2-x)=2-|2-x|,x≥0,x2,x<0,则g(x)=b-2+|2-x|,x≥0,b-x2,x<0.12
作出函数y=f(x),y=g(x)的图像,如图所示:要使y=f(x)-g(x)恰有4个零点,只需y=f(x)与y=g(x)的图像恰有4个交点,需满足y=2+x,y=b-x2在x<0时有两个不同的解,即x2+x+2-b=0有两个不同的负根,则Δ=1-4(2-b)>0,2-b>0,解得74<b<2;同时要满足y=(x-2)2,y=b-2+x-2在x>2时有两个不同的解,即x2-5x+8-b=0有两个大于2的不同的实根,令h(x)=x2-5x+8-b,需h(2)>0,h52<0,即2-b>0,8-254-b<0,解得74<b<2.综上所述,满足条件的b的取值范围是74<b<2.故选D.8.答案 2解析 因为f(x)=x4+ax2+bx+c(c<0)是偶函数,所以f(-x)=f(x),解得b=0,又f(f(0))=f(c)=c4+ac2+c=c4+c,所以a=0,故f(x)=x4+c,令f(x)=x4+c=0,则x4=-c>0,所以x=±4-c,故函数f(x)有2个零点.9.解析 (1)函数y=f(x)的图像如图所示:(2)函数y=|f(x)|的图像如图所示:①0<a<4时,方程有四个实数解;②a=4时,方程有三个实数解;③a=0或a>4时,方程有两个实数解;④a<0时,方程没有实数解.10.解析 (1)由题意知f(x)=x,即x2+(b-1)x+c=0有两个根,分别为-3,2.12
所以-3+2=-(b-1),-3×2=c,解得b=2,c=-6,所以f(x)=x2+2x-6,由f(x)=0,得x2+2x-6=0,解得x1=-1-7,x2=-1+7.故f(x)的零点为-1±7.(2)若c=b24,则f(x)=x2+bx+b24,又函数f(x)没有不动点,所以方程x2+bx+b24=x,即x2+(b-1)x+b24=0无实数解,所以(b-1)2-b2<0,所以-2b+1<0,解得b>12.故实数b的取值范围是12,+∞.11.解析 (1)由函数f(x)=x2-3mx+n的两个零点分别为1和2,可得1-3m+n=0,4-6m+n=0,解得m=1,n=2.(2)由(1)可得f(x)=x2-3x+2,由不等式f(x)-k>0在x∈[0,5]上恒成立,可得不等式f(x)>k在x∈[0,5]上恒成立,可将f(x)=x2-3x+2化为f(x)=x-322-14,所以f(x)=x2-3x+2在x∈[0,5]上的最小值为f32=-14,所以k<-14.12.解析 函数构建:设盒子的体积ycm,则盒子的体积y关于自变量x的函数解析式为y=(30-2x)2x,x∈(0,15).如果要做成一个容积是1200cm3的无盖盒子,那么有方程(30-2x)2x=1200,其定义域为{x|0<x<15}.令f(x)=(30-2x)2x-1200,借助计算机画出函数图像(图略).由图像可以看出,函数f(x)分别在区间(1,2)和(9,10)内各有一个零点,即方程(30-2x)2x=1200分别在区间(1,2)和(9,10)内各有一个解.利用二分法求方程的近似解:取区间(1,2)的中点x1=1.5,用计算器算得f(1)=-416,f(2)=152,f(1.5)=-106.5<0,所以f(1.5)·f(2)<0,所以x0∈(1.5,2).12
同理可得x0∈(1.5,1.75),x0∈(1.625,1.75),x0∈(1.6875,1.75),x0∈(1.6875,1.71875),x0∈(1.6875,1.703125).由于|1.703125-1.6875|=0.015625<0.2,此时区间(1.6875,1.703125)的两个端点精确到0.1的近似值都是1.7,所以方程在区间(1,2)内精确到0.1的近似解为1.7.同理可得方程在区间(9,10)内精确到0.1的近似解为9.4.故如果要做成一个容积是1200cm3的无盖盒子,那么截去的小正方形的边长大约是1.7cm或9.4cm.12
