向量的减法基础过关练题组一 向量的减法运算1.已知向量a∥b,且|a|>|b|>0,则向量a-b的方向( )A.与向量a的方向相同B.与向量a的方向相反C.与向量b的方向相同D.无法确定2.设OA=a,OB=b,则AB为( )A.a+bB.a-bC.b-aD.-a-b3.(2020福建安溪一中高一月考)化简:AB-DC-CB=( )A.ADB.ACC.DAD.DB4.若O,E,F是不共线的任意三点,则下列各式中成立的是 ( )A.EF=OF+OEB.EF=OF-OEC.EF=OE-OFD.EF=-OF-OE题组二 向量加、减法的综合运算5.(2020甘肃武威第六中学高一期末)AB+PC+BA-QC的化简结果是( )A.PQB.QPC.BQD.CQ6.(2020北京首师大附属中学高一下期中)下列说法错误的是( )A.若OD+OE=OM,则OM-OE=ODB.若OD+OE=OM,则OM-OD=OEC.若OD+OE=OM,则OD-EO=OMD.若OD+OE=OM,则DO+EO=OM7.给出下列各式:(1)AB+BC+CA;(2)AB-AC+BD-CD;(3)OA-OD+AD;(4)NQ+QP+MN-MP.其中化简结果为零向量的式子的个数是( )A.1B.2C.3D.4题组三 有关向量的模及不等式8,8.若|OA|=8,|OB|=5,则|AB|的取值范围是( )A.[3,8]B.(3,8)C.[3,13]D.(3,13)9.已知下列式子:①|a|-|b|<|a+b|<|a|+|b|;②|a|-|b|=|a+b|=|a|+|b|;③|a|-|b|=|a+b|<|a|+|b|;④|a|-|b|<|a+b|=|a|+|b|.其中,一定不成立的个数是( )A.0B.1C.2D.310.(2020陕西西安高新区一中高一月考)在边长为1的正方形ABCD中,若AB=a,BC=b,AC=c,则|a-b+c|等于( )A.0B.1C.2D.2211.若向量a与b满足|a|=5,|b|=12,则|a+b|的最小值是 ,|a-b|的最大值是 . 12.已知三角形ABC为等腰直角三角形,且∠A=90°,有下列命题:①|AB+AC|=|AB-AC|;②|BC-BA|=|CB-CA|;③|AB-CB|=|AC-BC|;④|AB-AC|2=|BC-AC|2+|CB-AB|2.其中正确命题的序号为 . 13.已知△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,M是斜边AB的中点,CM=a,CA=b,求证:(1)|a-b|=|a|;(2)|a+(a-b)|=|b|.8,能力提升练一、单项选择题1.(2020吉林长春十一中高一期末,★★☆)如图,点O是平行四边形ABCD两条对角线的交点,则下列等式一定成立的是( )A.AB+AD=CAB.OA-OC=0C.BD-CD=BCD.BO+OC=DA2.(2020湖南郴州高一期中,★★☆)下列三个命题:①a+b=0,b+c=0,则a=c;②AB=CD的等价条件是点A与点C重合,点B与点D重合;③若a+b=0且b=0,则-a=0.其中正确命题的个数是( )A.1B.2C.3D.03.(2020福建闽侯四中高一上期末,★★☆)已知向量a与b反向,则下列等式中成立的是( )A.|a|-|b|=|a-b|B.|a+b|=|a-b|C.|a|+|b|=|a-b|D.|a|+|b|=|a+b|4.(★★☆)在边长为1的等边三角形ABC中,|AB-BC|的值为( )A.1B.2C.32D.3二、多项选择题5.(2020山东枣庄高一下期中,疑难2,★★☆)下列四个式子中能化简为AD的是( )A.(AB+CD)+BCB.(AD+MB)+(BC+CM)C.(MB+AD)-BMD.(OC-OA)+CD6.(2020山东济南一中高一期中,★★☆)下列说法中正确的是( )A.若AB=DC,则A,B,C,D四点构成一个平行四边形8,B.若a∥b,b∥c,则a∥cC.互为相反向量的两个向量模相等D.若向量AB与BC反向共线,则|AB-BC|=AB+BC三、填空题7.(★★☆)河水流速的大小为2m/s,一艘快艇以10m/s的速度向垂直于河岸的方向行驶,则快艇在静水中的速度的大小为 m/s. 8.(★★☆)在边长为1的正三角形ABC中,|AB-BC|的值为 . 四、解答题9.(疑难1,★★☆)如图所示,O为△ABC内一点,直线AO交BC于点D,直线BO交CA于点E,直线CO交AB于点F,OA=a,OB=b,OC=c,DO=d,EO=e,FO=f.连接DE,EF,FD.试用a,b,c,d,e,f表示下列向量:(1)AC;(2)AD;(3)AD-AB;(4)AB+CF;(5)BF-BD.10.(★★☆)如图所示,已知在矩形ABCD中,|AD|=43,|AB|=8.设AB=a,BC=b,BD=c,求|a-b-c|.8,答案全解全析基础过关练1.A 由题意得,当a、b反向时,a-b的方向与a方向相同;当a、b同向时,∵|a|>|b|,∴a-b的方向仍与a的方向相同.2.C ∵OA=a,OB=b,∴AB=OB-OA=b-a.故选C.3.A AB-DC-CB=AB+BC+CD=AD.故选A.4.B 由向量减法的定义知B正确.5.A AB+PC+BA-QC=AB+PC+(-AB)+CQ=PC+CQ=PQ.6.D 由向量的减法就是向量加法的逆运算可知A,B中说法正确;由相反向量的定义可知OE=-EO,所以若OD+OE=OM,则OD-EO=OM,C中说法正确;若OD+OE=OM,由相反向量的定义知,DO+EO=-OD-OE=-(OD+OE)=-OM,故D中说法错误.故选D.7.D (1)AB+BC+CA=AC+CA=0;(2)AB-AC+BD-CD=(AB+BD)-(AC+CD)=AD-AD=0;(3)OA-OD+AD=DA+AD=0;(4)NQ+QP+MN-MP=(NQ+QP)+(MN-MP)=NP+PN=0.故选D.8.C 因为AB=OB-OA,所以当OA,OB同向共线时,|AB|=|OA|-|OB|=3;当OA,OB反向共线时,|AB|=|OA|+|OB|=13;当OA,OB不共线时,由||OA|-|OB||<|OB-OA|<|OA|+|OB|,得3<|AB|<13.综上所述,可知3≤|AB|≤13.9.A ①当a与b不共线时成立;②当b=0时成立;③当a与b共线,方向相反,且|a|≥|b|时成立;④当a与b共线,且方向相同时成立.故一定不成立的个数是0.10.C 因为c=a+b,所以|a-b+c|=|a+a|=2|a|=2.11.答案 7;17解析 由||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|,得|a+b|的最小值为7,|a-b|的最大值为17.12.答案 ①②③④8,解析 以AB,AC为邻边作平行四边形ABDC,由题意知其为正方形.①|AB+AC|=|AD|,|AB-AC|=|CB|,|AD|=|CB|,∴①正确;②|BC-BA|=|AC|,|CB-CA|=|AB|,|AC|=|AB|,∴②正确;③|AB-CB|=|AB+BC|=|AC|,|AC-BC|=|AC+CB|=|AB|,|AC|=|AB|,∴③正确;④|AB-AC|2=|CB|2,|BC-AC|2+|CB-AB|2=|BC+CA|2+|CB+BA|2=|BA|2+|CA|2=|CB|2,∴④正确.13.证明 如图,由△ABC为等腰直角三角形,可知|CA|=|CB|.由M是斜边AB的中点,得|CM|=|AM|=|MB|.(1)在△ACM中,AM=CM-CA=a-b.于是由|AM|=|CM|得|a-b|=|a|.(2)易知MB=AM=a-b,∴CB=MB-MC=a-b+a=a+(a-b),从而由|CB|=|CA|,得|a+(a-b)|=|b|.能力提升练一、单项选择题1.C A错,AB+AD=AC;B错,OA-OC=CA≠0;D错,BO+OC=BC=AD.故选C.2.B ∵a+b=0,∴a,b的长度相等且方向相反,又b+c=0,∴b,c的长度相等且方向相反,∴a,c的长度相等且方向相同,故a=c,故①正确;当AB=CD时,应有|AB|=|CD|,且由A到B与由C到D的方向相同,但不一定有点A与点C重合,点B与点D重合,故②错误;若a+b=0,且b=0,则a=0,则-a=0,故③正确.误区警示 注意不要混淆向量运算和实数运算.3.C 因为向量a与b反向,所以|a-b|=|a|+|b|,|a+b|=||a|-|b||,故选C.4.D 如图所示,延长CB到点D,使BD=1,连接AD,则AB-BC=AB+CB=AB+BD=AD.在△ABD中,AB=BD=1,∠ABD=120°,作BE⊥AD于点E,则∠ABE=60°,所以AE=AB·sin∠ABE=32,所以AD=3,所以|AB-BC|=3.8,二、多项选择题5.ABD A中,(AB+CD)+BC=AB+BC+CD=AC+CD=AD;B中,(AD+MB)+(BC+CM)=AD+MB+BC+CM=AD+(MB+BC)+CM=AD+(MC+CM)=AD+0=AD;C中,(MB+AD)-BM=MB+AD+MB=MB+MB+AD,所以选项C不能化简为AD;D中,(OC-OA)+CD=AC+CD=AD.故选ABD.6.CD 对于A,当A,B,C,D四点共线时,不成立,故A错误;对于B,零向量与任何向量共线.当b=0时,a∥b,b∥c,但a∥c不一定成立,故B错误;对于C,互为相反向量的两个向量模相等,方向相反,故C正确;对于D,AB,BC反向共线时,|AB-BC|=|AB+(-BC)|=AB+BC,故D正确.故选CD.三、填空题7.答案 226解析 设河水的流速为v1,快艇在静水中的速度为v2,快艇的实际速度为v,则|v1|=2m/s,|v|=10m/s,v⊥v1,∴v2=v-v1,∴|v2|=|v|2+|v1|2=226(m/s).8.答案 3解析 如图,作菱形ABCD,AC与BD相交于点O,∠ABC=60°,△ABC是边长为1的正三角形,∠CAB=60°,|AO|=12,|OB|=32,则|AB-BC|=|AB-AD|=|DB|=|OB|+|OB|=3.8,四、解答题9.解析 (1)AC=OC-OA=c-a.(2)AD=OD-OA=-DO-OA=-d-a.(3)AD-AB=BD=OD-OB=-DO-OB=-d-b.(4)AB+CF=OB-OA+OF-OC=OB-OA-FO-OC=b-a-f-c.(5)BF-BD=DF=OF-OD=-FO+DO=d-f.10.解析 如图,b+c=BD',a-b-c=a-(b+c)=a-BD'=BB'-BD'=D'B',则|a-b-c|=|D'B'|=(2×43)2+(2×8)2=87.8
