教学基本信息课题勾股定理应用（第二课时）学科数学学段：初中年级八年级教材书名：数学（八年级下册）出版社：人民教育出版社出版日期：2013年11月教学设计参与人员姓名单位设计者见海荣中国人民大学实施者见海荣中国人民大学指导者张鹤海淀教师进修学校课件制作者见海荣中国人民大学其他参与者教学目标及教学重点、难点本课应用勾股定理解决问题，体会数形结合、转化、分类讨论的思想方法，感受勾股定理的应用价值，提升数学推理的素养，提高分析问题、解决问题的能力。教学过程(表格描述)教学环节主要教学活动设置意图引入回顾勾股定理—从边的数量关系的角度丰富了直角三角形的性质.提出本节课的目标应用勾股定理解决问题10
例题例1.如图1-1，几何原本中的勾股定理这样表述，如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，以直角边a，b为边长的两个正方形面积之和等于以斜边c为边长正方形的面积.（1）如图1-2，如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，以直角边a，b，为边长的两个等边三角形的面积之和是否等于以斜边c为边长的等边三角形的面积？（2）如图1-3，如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，以直角边a，b为直径的两个半圆的面积之和是否等于以斜边c为直径的半圆的面积？图1-1图1-2图1-3（1）分析：要求三角形的面积需要知道它的底和高的，显然底已知，关键是确定高.（1）解：作于H,∵∆ABC是等边三角形，∴，,∵在Rt∆AEH中,例1从勾股定理几何原本中的表述起步，改变题目中的条件使图形从正方形到等边三角形到半圆，探讨图形发生变化，面积之间根据勾股定理不变的数量关系，体验从几何图形特征到代数数量关系的转化，感受勾股定理的应用价值，提升逻辑推理素养.10
同理可得：,∵在Rt∆ABC中，.(2)分析:要计算半圆的面积关键是确定它的半径，显然半径长为直角三角形边长的一半(2)解：设以a,b,c为直径的半圆面积分别为：S1,S1,S3.∵在Rt∆ABC中，a2+b2=c2，.反思：以直角边为基础所作画两个图形的面积S1与S2的和始终等于以斜边为基础所画图形的面积S3.这一切都依赖于三个图形面积比值S1：S2：S3=a2：b2：c2,而Rt∆ABC的三边满足a2+b2=c2,所以S1+S2=S3.10
图2例2如图2，在直线上依次摆放着3个正方形，水平放置的2个正方形面积分别为S1，S2，倾斜放置的正方形面积为S3，求S1，S2，S3之间的关系.分析：正方形的面积等于边长的平方，所以探寻3个正方形面积之间的关系，就是探究3个正方形边长AG，AB，CH间的关系.AG，AB分别是Rt∆AGB的一条直角边和斜边，独立存在的CH要是和它的另一条直角边BG有关系就好了.测量一下，就会发现BG=CH.所以我们只需证明BG=CH.要证BG=CH需证明BG与CH所在三角形△AGB和△BHC全等，要证三角形全等，需找齐三个条件，显然由正方形可得AB=BC,∠AGB=∠BHC=90º。边相等是要求证的，所以我们需再找一对角相等，不妨找∠ABG=∠BCH，要证两个角等，这里我们不会再证全等，可以找和它们有关系的角，显然它们都是∠CBH的余角.所以依据同角的余角相等即可得证.证明：∵在正方形EFGA，正方形ABCD，正方形CHIM中，AB=BC，∠AGB=∠BHC=∠ABC=90º，∵在Rt∆BHC中，∠BCH+∠CBH=90º，∵∠ABC=90º，∴∠CBH+∠ABG=180º－90º=90º，∵在Rt∆AGB中，，，，例2是把例1中一条直角边上的正方形经过全等变换改变了图形位置而得到的所以虽然图形位置不同，但3个正方形面积间数量关系根据勾股定理，仍旧保持不变。使学生再次体验从几何图形特征到代数数量关系的转化，感受勾股定理的应用价值，提升逻辑推理素养。10
反思：对比例1与例2，如果两道题中的∆ABC和∆ABG是同一个图形，可以认为例2是把例1中一条直角边上的正方形经过全等变换改变了图形位置而得到的所以虽然图形位置不同，但3个正方形面积间数量关系仍旧保持不变。例3（1）如图3-1，这是我国古代著名的“赵爽弦图”，它由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼接成一个大正方形，若直角三角形两条直角边分别图3-1为a，b（a>b)，大正方形面积为49，小正方形面积为4，求a+b的值.（2）如图3-2，有一个长和宽分别为6.5和2的长方形，把它分割后拼成一个大正方形.图3-2(1)分析：我们由两个正方形的面积与直角三角形两条直角边a，b之间的关系，得到两个关于a，b的等式，再根据所学代数知识求出a+b的值就可以了.(1)解：我们设直角三角形斜边为c，.∵大正方形面积为49，例3的第（1）小问，借助赵爽弦图，根据勾股定理，我们把图形面积转化为代数式的值；问题（2）的解决过程我们根据勾股定理，借助根号13的平方等于13恰好等于2与3的平方和这个数量关系，完成了从长方形到正方形的转变.体会从形到数，从数到形的转化，感受勾股定理的应用价值，提升逻辑推理素养。10
，∵小正方形面积为4，∴小正方形边长为，也就是，,.,,,.图3-3图3-4（2）分析：依题意可知长方形面积为6.5×2=13，从长方形变成正方形，面积不变，所以正方形面积是13，因此要拼成的正方形边长为根号13.我们知道根号13的平方等于13恰好等于2与3的平方和，所以根号13是以2，3为直角边的直角三角形的斜边长.我们可以以此在图中画出长为根号13的线段.将长方形沿分割线（虚线）剪出4个以根号13为斜边的直角三角形，将它们拼成右图，我们知道这四个直角三角形全等，如图∆ADF≌∆BAE,则∠ADF=∠BAE.∵∠ADF+∠DAF=90º，∴∠ADF+∠BAE=90º，即∠DAB=90º，同理可证∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90º,由于AD=DC=CB=BA=，所以四边形ABCD为正方形.拼成的大正方形中间还空出个四边形EFGH，显然它的四个角都是直角，四条边恰好是直角三角形较大直角边3与较小直角边2的差为1,所以中间空出的四边形EFGH也是正方形，面积为1.原长方形剪掉4个直角三角形后剩余一个长为2，宽为0.5的长方形，面积为1.把它分成2个长为1，宽为0.5的长方形，恰能拼成一个边长为1的正方形,也就是拼成正方形EFHG.10
反思：回顾例3的第（1）小问，借助赵爽弦图，我们把图形面积转化为代数式的值；问题（2）的解决过程我们借助根号13的平方等于13恰好等于2与3的平方和这个数量关系，完成了从长方形到正方形的转变.例4请你在边长为1的正方形网格纸中，画∆ABC，使它的三个顶点都在格点上，且三边长分别为AB=，AC=，BC=.分析：∆ABC的三个顶点都在格点上,而三边长均不是整数，考虑它们是直角边长为正整数的直角的三角形的斜边.我们知道的，所以是以2，3为直角边的直角三角形的斜边长，，所以是以1，2为直角边的直角三角形的斜边长，再计算BC的长即可。例4由满足特殊的数量关系的边长，根据勾股定理，找到画线段的方法，再通过对线段的位置按空间顺序有序分类讨论，最终运用勾股定理计算线段长度确定图形，使学生感受到数与形的交汇交融，再次感受勾股定理的应用价值.10
(1)(2)（3）（4）（5）（6）10
（7）（8）解：如图（8）∆ABC即为所求.反思：由满足特殊的数量关系边长，找到画线段的方法，再通过对线段不同位置的讨论最终用计算确定图形,以至后面的图形面积计算，都让我们感受到数与形的交汇交融，同时对AB的位置分类讨论时是按空间顺序有序展开.总结1.数形结合本节课我们首先从不同的几何图形中发现其蕴含的数量关系，反过来又从特殊的数量关系发现构图的方法。当然这一切都依赖于勾股定理这一媒介，因为勾股定理本身就是一个数形完美结合的定理。2.转化在解决问题中我们多次用到了转化的数学思想方法：在研究面积关系时，在证明线段相等时，再用补形的方法求面积时等等，3.分类讨论在解题中我们还用到了分类讨论的数学思想方法，比如对线段位置的讨论，这些数学思想方法对我们今后学习会大有帮助。总结本节课所学知识，领悟数学思想方法.10
作业1.如图,分别以在Rt∆ABC的三边AC,BC,AB为直径画半圆，求证：所得两个月形图案AFCD和月形图案BGCE的面积和等于Rt△ABC的面积.2.有5个边长为1的正方形，排列形式如图，请把它们分割后拼接成一个大正方形.3.∆ABC三边长分别为，，，其中且，请你画出∆ABC并求出它的面积.练习1运用勾股定理从几何图形特征到代数数量关系转化.练习2运用勾股定理从代数数量关系寻求构造图形的方法，从而将长方形转化为正方形.练习3运用勾股定理从代数数量关系寻求构造图形的方法，从而画出图形，在运用割补法求图形面积.10
