2020-2021学年广东省肇庆市某校某校高三（上）期中考试数学试卷一、选择题)1.已知集合츎ȁͳ㠮츎ȁ㤲ͳ䁪，则㠮츎()A.ȁͳ䁪B.ȁͳ㤲C.ȁ㤲D.ȁͳͳ䁪2.已知复数츎，其中为虚数单位，则츎䁛㤲㤲A.B.C.D.㤲㤲㤲㤲㤲㤲㤲㤲3.设，则“则”是“㤲则”的䁛A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件log㤲ͳ䁩4.已知函数츎则츎䁛㤲则䁩A.㤲B.C.D.5.已知函数츎ln，则츎䁛A.䁩B.C.D.㤲㤲㤲6.函数츎的图象大致为䁛A.B.C.D.7.正方形方形的边长为，为方形的中点，츎方形．若츎㤲，则츎䁛A.B.C.D.㤲㤲㤲8.某公园有一个边长为㤲的等边三角形花圃，现要在花圃中修一条篱笆，将花圃分试卷第1页，总9页
成面积相等的两部分，则篱笆的最短长度为䁛A.B.C.D.㤲㤲二、多选题)9.设，是两条不重合的直线，，是两个不同的平面．下列四个命题中，正确的是䁛A.若‸‸，‸‸，则‸‸B.若，，则‸‸C.若，，则‸‸D.若，‸‸，则10.等差数列中，츎，㤲츎䁩，是数列的前项和，则䁛A.䁪츎B.是中的最大项C.是中的最小项D.ȁȁͳȁȁ11.如图是函数츎sin则䁩ȁȁͳ的部分图象，下列选项正确的是㤲䁛A.츎sin㤲B.츎sin㤲C.츎䁩D.츎䁪12.下列大小关系正确的有䁛㤲则㤲㤲ͳ㤲ͳln㤲ͳlogA.㤲B.㤲C.D.logln㤲㤲三、填空题)13.已知sin츎，则ȁcosȁ츎________.14.已知是定义在R上的奇函数，且츎．若㤲츎㤲，则䁪츎________.15.已知等比数列中，㤲츎，㤲츎㤲，则䁪츎________.16.鳖臑（à）出自《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵．斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑””鳖臑是我国对四个面均为直角三角形的三棱锥的古称．如图，三试卷第2页，总9页
棱锥方形是一个鳖臑，其中方方形方方方形形，且方츎方形츎形츎，过点方向形引垂线，垂足为，过作形的平行线，交于点，连接方．设三棱锥方形的外接球的表面积为，三棱锥方的外接球的表面积为㤲，则츎________.㤲四、解答题)㤲17.在①方形츎，②sin츎sin形，③sin形츎这三个条件中任选一个，补充在㤲㤲下面的问题中．若问题中的三角形存在，求出的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在方形，它的内角，方，形所对的边分别为，，，且츎，sincos츎䁩，________？㤲18.已知函数츎.䁛当츎时，求在处的切线方程；䁛㤲设是函数的导函数，求零点之间距离最小时的值．19.如图，棱长为㤲的正四面体方形（所有棱长均相等的三棱锥）中，，为方和形的中点．䁛证明：方形；䁛㤲求三棱锥方的体积．㤲㤲20.已知函数츎sin㤲cos.䁛求函数的最小正周期；㤲䁛㤲求函数在区间上的值域．㤲21.已知数列的前项和为，츎.㤲䁛求；试卷第3页，总9页
䁛㤲若츎log㤲㤲，求数列的前项和.22.已知函数츎ln.㤲䁛讨论函数的单调性；䁛㤲若츎是函数츎的极值点，求证：函数存在唯一的极大值点䁩，且ͳ䁩ͳ䁩．（参考数据：ln㤲䁩䁪）㤲试卷第4页，总9页
参考答案与试题解析2020-2021学年广东省肇庆市某校某校高三（上）期中考试数学试卷一、选择题1.C2.A3.A4.B5.D6.B7.A8.D二、多选题9.B,C,D10.A,B11.A,C12.B,D三、填空题㤲㤲13.14.㤲15.㤲㤲16.四、解答题17.解：方案一：选①．由题意，得方形츎sin츎츎．㤲㤲㤲㤲故츎㤲．由余弦定理，可得㤲츎㤲㤲㤲cos츎㤲㤲㤲츎㤲，㤲所以츎㤲．所以问题中的三角形存在，且츎㤲．方案二：选②．由正弦定理及sin츎sin形，得츎．由余弦定理，可得㤲츎㤲㤲㤲cos㤲츎㤲．㤲㤲㤲所以츎䁩，解得츎或츎（舍去）．㤲所以问题中的三角形存在，且츎．试卷第5页，总9页
方案三：选③．㤲由sin形츎，得形츎．㤲故方츎．㤲由正弦定理：츎，sinsin方得㤲츎，所以츎．sinsin㤲sin㤲㤲䁪㤲又sin츎sin츎，㤲䁪㤲所以츎츎츎．㤲sin㤲䁪㤲㤲㤲䁪㤲所以问题中的三角形存在，且츎．㤲㤲18.解：䁛当츎时，츎．㤲츎，츎㤲㤲，츎，㤲在处的切线方程为츎，即츎䁩．䁛㤲츎㤲㤲，函数的判别式츎㤲츎㤲㤲츎则䁩，㤲函数有两个零点，设为，，㤲则㤲츎㤲，㤲츎．ȁȁ츎䁛㤲츎㤲㤲㤲㤲㤲㤲㤲츎䁛㤲㤲㤲츎㤲䁛㤲츎㤲．㤲当츎时，函数零点之间距离最小，为．㤲19.䁛证明：连接，由题意，得츎形，方츎方形又为形的中点，所以形，方形，故形平面方，试卷第6页，总9页
所以形方．䁛㤲解：连接形，因为为方的中点，所以方，形方，故方平面形，所以方，又由䁛可知形平面方．又为形的中点，所以츎，在直角三角形方中，方츎，方츎，所以츎㤲，故三棱锥方的体积㤲三棱锥方츎方츎㤲㤲츎䁪．㤲㤲20.解：䁛츎sin㤲cos㤲㤲cos㤲츎sincos㤲cossin㤲㤲츎sin㤲cos㤲㤲㤲츎sin㤲，䁪㤲故函数的最小正周期츎츎．㤲㤲䁛㤲츎ͳ，㤲当㤲츎㤲䁕䁕Z，即츎䁕䁕Z时，䁪㤲函数的最大值为㤲．㤲当䁕츎䁩时，츎，㤲所以的最大值为㤲㤲츎则츎，㤲㤲所以当츎时，函数的值最小．㤲的最小值为츎sin츎，㤲㤲㤲所以函数在区间上的值域为㤲．㤲㤲21.解：䁛由츎，㤲试卷第7页，总9页
得츎，츎㤲㤲㤲故츎㤲，츎츎㤲，㤲㤲得츎㤲㤲，所以数列是以㤲为首项，以㤲为公比的等比数列，所以츎㤲，所以츎㤲㤲츎㤲㤲．䁛㤲由于츎log㤲㤲，得츎㤲．设䁕츎㤲，츎，数列䁕，的前项和分别为，．则츎㤲㤲㤲㤲㤲㤲①．㤲츎㤲㤲㤲㤲㤲㤲②．由①②，得츎㤲㤲㤲㤲㤲㤲㤲츎㤲㤲㤲，所以츎㤲㤲．又츎츎，则츎츎㤲㤲．22.䁛解：츎츎，则䁩．当䁩时，则䁩恒成立，所以在区间䁩上单调递增；当则䁩时，在区间䁩上，则䁩，函数单调递增，在区间上，ͳ䁩，函数单调递减．㤲䁛㤲证明：츎츎ln，㤲则츎ln㤲．㤲因为츎是函数츎的极值点，所以츎㤲츎䁩，故츎．㤲此时츎ln，㤲㤲设츎츎ln，㤲㤲㤲则츎츎，㤲㤲则当䁩ͳͳ㤲时，则䁩，为增函数．又츎䁩，㤲츎ln㤲则䁩，츎ln㤲ͳ䁩，㤲㤲所以当䁩ͳͳ时，ͳ䁩，为减函数；当ͳͳ㤲时，则䁩，为增函数．所以当츎时，取得极小值，符合题意．试卷第8页，总9页
由上，当䁩ͳͳ㤲时，不存在极大值点．当则㤲时，䁛ͳ䁩，䁛为减函数，ln㤲且츎㤲ln㤲츎ͳ䁩．㤲㤲而㤲츎ln㤲则䁩，㤲所以存在㤲，使得츎䁩．䁩䁩故当ͳͳ时，则䁩，为增函数；䁩当则时，ͳ䁩，为减函数．䁩所以函数存在唯一的极大值点䁩．䁩䁩且满足ln䁩츎䁩，即ln䁩츎．㤲㤲㤲㤲㤲㤲㤲䁩䁩䁩䁩所以䁩츎䁩ln䁩츎䁩，设츎䁩．㤲㤲䁩又函数츎䁩在区间㤲上单调递增，所以ͳ츎䁩．又䁩为函数的极大值点，㤲所以䁩则츎ln츎ln㤲䁪䁩䁪则，㤲㤲所以ͳ䁩ͳ䁩.㤲试卷第9页，总9页
