2020-2021学年某校高三（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.已知集合＝‸㔱⸵⸵㔱⸵，集合＝晦㔱‸㔱，则＝（）A.‸㔱⸵㔱B.⸵㔱⸵C.㔱⸵⸵D.㔱⸵2.设为虚数单位，，“复数‸是纯虚数“是“＝㔱“的（）㔱‸A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.在䁨中，角，，䁨所对的边分别为，，，若cos＝，则这个三角形的形状为（）A.直角三角形B.等腰三角形C.锐角三角形D.等腰或直角三角形4.已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则sinA.‸B.‸C.D.5.标准对数远视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式，标准对数远视力表各行为正方形“”形视标，且从视力‴的视标所在行开始往上，每一行“”的边长都是下方一行“”边长的倍，若视力‴㔱的视标边长为，则视力‴㤴的视标边长为（）试卷第1页，总11页,A.㔱B.㔱C.（）D.（）6.向量，满足＝㔱，），晦晦＝㔱，晦+晦＝，则在方向上的投影为（）A.‸㔱B.-C.D.㔱7.已知函数lg㔱．若等差数列的前项和为，且㔱‸㔱‸㔱，‸㔱㔱，则A.‸㔱㔱B.‸C.D.㔱㔱8.已知变量㔱，⸵，且㔱，若㔱恒成立，则的最大值为（）（＝‴㔱……为自然对数的底数）A.B.C.D.㔱二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分；部分选对的得3分；有选错的得0分.)9.下列关于平面向量的说法中正确的是（）A.设，为非零向量，则“”是“晦+晦＝晦-晦”的充要条件B.设，为非零向量，若•，则，的夹角为锐角C.设，，为非零向量，则（•）•＝•（•）D.若点为䁨的重心，则++＝10.等差数列的前项和记为，若㔱，＝㔱，则（）A.B.㔱C.㔱D.当且仅当时，11.已知函数cos‸的最小正周期为，将的图象向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的倍，得到函数的图象，则下列结论正确的是()A.B.的图象关于点⸵对称试卷第2页，总11页,C.的图象关于‸对称D.在‸⸵上的最大值是㔱㔱12.已知函数＝sin，则下列说法正确的是（）A.函数＝是偶函数，且在‸⸵上不单调B.函数＝̵是奇函数，且在‸⸵上不单调递增C.函数＝在（-，上单调递增D.对任意，都有晦晦＝，且三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.)13.若㔱，其中，都是实数，是虚数单位，则晦晦＝________．㔱14.函数在其极值点处的切线方程为________．15.在䁨中，角，，䁨所对的边分别为，，，䁨＝㔱，䁨的平分线交䁨于点，且＝㔱，则㤴的最小值为________．16.如图，在四边形䁨中，＝，＝，䁨＝，且＝，•＝‸，则实数的值为________，若，是线段䁨上的动点，且晦晦＝㔱，则•的最小值为________．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.已知函数＝sin‸sin（‸cos㔱．（1）求函数的单调递增区间；（2）在锐角䁨中，内角，，䁨的对边分别为，，，已知＝，＝，求䁨面积的最大值．18.在①㔱＝㔱，②＝，③＝㔱‸㔱这三个条件中选择两个，补充试卷第3页，总11页,在下面问题中，并给出解答，已知数列的前项和为，满足___，___；又知正项等差数列满足㔱＝，且㔱，‸㔱，成等比数列．（1）求和的通项公式；（2）若＝，求数列的前项和．19.如图，在三棱锥‸䁨中，䁨是边长为的正三角形，䁨，＝䁨，＝（1）证明：平面䁨平面䁨．（2）点在棱䁨上，且䁨＝，求二面角‸‸䁨的大小．20.已知数列，的前项和分别为，且，＝．（1）求数列的通项公式；（2）记＝，若恒成立，求的最小值．21.冬天的北方室外温度极低，若轻薄保暖的石墨烯发热膜能用在衣服上，可爱的医务工作者行动会更方便．石墨烯发热膜的制作：从石墨中分离出石墨烯，制成石墨烯发热膜．从石墨分离石墨烯的一种方法是化学气相沉积法，使石墨升华后附着在材料上再结晶．现在有材料、材料供选择，研究人员对附着在材料、材料．上再结晶各做了次试验，得到如图等高条形图．（1）根据上面的等高条形图，填写如表列联表，判断是否有㤴㤴的把握认为试验成功与材料有关？试卷第4页，总11页,材料材料合计成功不成功合计（2）研究人员得到石墨烯后，再生产石墨烯发热膜有三个环节：①透明基底及胶层；②石墨烯层；③表面封装层．第一、二环节生产合格的概率均为．第三个环节生产合格的概率为，且各生产环节相互独立．已知生产㔱吨的石墨烯发热膜的固定成本为㔱万元，若生产不合格还需进行修复第三个环节的修复费用为元，其余环节修复费用均为㔱元．如何定价才能实现每生产㔱吨石墨烯发热膜获利可达㔱万元以上的目标？附：＝，其中，＝．‴㔱‴‴㔱‴‴㔱‴‴㔱‴‴㤴㔱‴22.已知函数＝‸‸㔱，＝‸cosln㔱，其中．（1）求函数在⸵的值域；（2）用max⸵表示实数，的最大值，记函数＝max⸵，讨论函数的零点个数．试卷第5页，总11页,参考答案与试题解析2020-2021学年某校高三（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.D2.B3.A4.C5.C6.B7.C8.A二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分；部分选对的得3分；有选错的得0分.9.A,D10.A,B11.A,B,C12.A,D三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.㔱14.‸15.㔱16.,四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.＝sin‸sin（‸cos㔱＝sincos‸cos＝（sin‸cos＝sin‸），由-‸，，解得‸，，所以函数的单调递增区间为‸，]，．试卷第6页，总11页,因为＝，所以sin‸）＝，即sin‸）＝㔱，因为䁨为锐角三角形，所以‸＝，可得＝，在䁨中，由余弦定理可得＝‸cos，又＝，所以＝‸‸＝，当且仅当＝＝时，＝，max所以䁨＝sin，当且仅当＝＝时，䁨max＝．18.选择①②得：㔱＝㔱，①，当时，由＝‸㔱㔱②，①-②得：㔱＝，即（常数），当＝㔱时，㔱＝㔱㔱，＝㔱，所以，故．正项等差数列满足㔱＝，且㔱，‸㔱，成等比数列．所以，整理得＝㔱，解得＝（‸㔱舍去），故＝‸㔱．选②③时，㔱＝㔱，①，当时，由＝‸㔱㔱②，①-②得：㔱＝，即（常数），由于＝㔱‸㔱，当＝㔱时，㔱＝㔱‸，解得，试卷第7页，总11页,所以数列是以为首项，为公比的等比数列；所以．正项等差数列满足㔱＝，且㔱，‸㔱，成等比数列．所以，整理得＝㔱，解得＝（‸㔱舍去），故＝‸㔱．，所以①，②，①-②得：＝，整理得．19.证明：取䁨的中点，连接，．因为䁨是正三角形，所以䁨．因为＝䁨，所以䁨．在中，＝，＝，＝，所以＝，所以．因为䁨＝，所以平面䁨，又平面䁨，所以平面䁨平面䁨．以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系‸，则⸵‸⸵，⸵⸵，䁨⸵⸵，⸵⸵，⸵⸵．所以⸵⸵，⸵⸵．设平面的法向量为⸵⸵，所以，令，得⸵‸⸵．取平面䁨的一个法向量为⸵⸵㔱，晦晦记二面角‸‸䁨为，由cos，晦晦晦晦由图知为锐角，所以二面角‸‸䁨为．试卷第8页，总11页,20.数列的前项和分别为，且，＝．①当＝㔱时，整理得，解得㔱＝㔱．当时，，②，①-②得：‸㔱‸‸㔱‸＝，由于数列为正项数列，所以‸‸㔱＝，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以＝．由（1）得：＝，所以＝㔱‴‴‴＝＝，所以，故的最小值为．21.根据所给的条形图，可得列表：材料材料合计成功不成功合计㔱试卷第9页，总11页,＝＝㔱‴；故有㤴㤴的把握认为试验成功与材料有关．设生产㔱吨的石墨烯发热膜，所需的修复费用为万元，易知可取，‴㔱，‴，‴，＝＝；＝‴㔱＝＝；＝‴＝＝；＝‴＝；所以的分布列为：‴㔱‴‴＝‴㔱‴‴＝‴㔱，所以石墨烯发热膜每吨的定价至少为‴㔱㔱㔱＝‴㔱万元，才能实现预期利润的目标．22.∵＝‸‸㔱，∴̵＝‸㔱‸㔱‸㔱＝‸㔱‸㔱‸㔱，当㔱时，̵，此时函数单调递增，当㔱时，̵，此时函数单调递增，即在上单调递增，∵＝，＝故函数在⸵上的值域为（，）．的定义域‸㔱⸵，由（1）可知，在上单调递增，且㔱＝，故当㔱时，，当㔱时，，∵＝max⸵，试卷第10页，总11页,故当㔱时，恒成立，没有零点，当‸㔱㔱时，恒成立，没有零点，因此的零点即为的零点，下面讨论‸㔱㔱时，的零点个数，∵＝‸cosln㔱，∴̵＝‸㔱‸sin，̵̵＝‸cos‸，㔱‸㔱，①当时，因为‸㔱㔱，coscos㔱⸵㔱，又＝cos在，）单调递减，故cos㔱cos＝，故当‸㔱时，㔱‸cos，̵̵，̵单调递减，且由̵＝可得，当‸㔱时，̵，单调递增，当㔱时，̵，单调递减，又‸㔱时，ln㔱‸，‸，当＝时，＝，又㔱＝‸㔱cos㔱ln，㔱＝，当㔱即时，有㔱个零点，当㔱＝即＝时，有个零点，当㔱即时，有个零点，②当＝时，由可得＝ln㔱‸，当‸㔱时，̵，单调递增，当㔱时，̵，单调递减，故当＝时，取得最大值＝，㔱＝ln‸㔱，此时函数有个零点，③当时，＝‸cosln㔱，cos，‸ln㔱，即，又㔱＝，故有㔱个零点，综上，或时，有㔱个零点，＝或＝时，有个零点，时，有个零点，试卷第11页，总11页
