2020-2021学年浙江省台州某校高三（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)1.设集合＝ㄠ㔵㔵，＝晦䁡晦晦ݔㄠ，则＝（）A.B.ㄠ㔵C.㔵D.ㄠ㔵㔵2.若复数＝ݔ耀（其中为虚数单位），则复数的模为（）A.B.C.D.3.若晦是函数晦耀＝晦晦ݔ的零点，则晦所在的一个区间是（）ㄠㄠA.ㄠ㔵耀B.㔵耀C.㔵耀D.㔵耀4.如图，某几何体的三视图均为直角边长度等于的等腰直角三角形，则该几何体的表面积为（）A.B.C.D.5.已知向量，则“与的夹角为锐角”是“‴或′ㄠ”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.在䳌䁨中，若sincos＝，则tan的值为（）A.B.C.或D.或-7.已知函数晦耀是周期函数，最小正周期为，当晦㔵时，．若晦ㄠㄠ㔵ㄠ，则满足晦耀的所有晦取值的和为（）试卷第1页，总9页,A.B.C.D.8.设实数晦，满足约束条件，则＝䁡晦䁡的取值范围为（）A.㔵B.㔵ݔ㔵.D㔵.C耀ݔ耀9.设䳌䁨为等腰三角形，䳌䁨，＝，为䳌䁨边上的高，将䁨沿翻折成䁨，若四面体䳌䁨的外接球半径为，则线段䳌䁨的长度为（）A.B.C.D.10.已知函数晦耀＝晦ݔ晦晦＝耀晦，ݔ，若存在晦，晦，晦，…，晦ㄠ㔵，使得晦耀ݔ耀晦ݔݔ耀晦ݔ耀晦＝耀晦ݔ耀晦ݔ耀晦ݔݔ耀晦ݔ晦耀ݔ晦耀，成立，则的最大值为（）（注：＝…为自然对数的底数）A.B.C.D.二、填空题：本大题共7小题，共36分。多空题每小题6分；单空题每小题6分。)11.函数的定义域为________，值域为________．12.已知双曲线，为左焦点，若＝，则双曲线离心率为________；若对于双曲线䁨上任意一点，线段长度的最小值为，则实数的值为________．13.已知展开式中的常数项为，则＝________，展开式中含晦的项的系数为________．14.有五个球编号分别为号，有五个盒子编号分别也为号，现将这五个球放入这五个盒子中，每个盒子放一个球，则恰有四个盒子的编号与球的编号不同的放法种数为________（用数字作答），记为盒子与球的编号相同的个数，则随机变量的数学期望耀＝________．15.设等比数列的前项和为，若′ㄠ，，则的取值范围为________．16.设向量满足，，若，，试卷第2页，总9页,ݔ＝，则的最小值为________．17.已知，，，若对于任意的实数晦，不等式䁡晦䁡ݔ耀䁡晦䁡耀䁡晦䁡耀ㄠ恒成立，则䁡晦ݔ晦䁡ݔ䁡ݔ䁡的取值范围为________．三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。)18.已知函数．Ⅰ耀设ㄠ㔵，且耀＝，求的值；Ⅱ耀将函数＝晦耀的图象向左平移个单位长度，得到函数＝晦耀的图象．当时，求满足晦耀的实数晦的集合．19.如图，在四棱锥䳌䁨中，底面䳌䁨是矩形，䳌＝，＝，䳌为等腰三角形，．Ⅰ耀证明：平面䳌䁨平面䳌䁨；Ⅱ耀若二面角䁨的余弦值为，且䁨′䳌䁨，求的长度，并求此时与平面䳌所成角的正弦值．20.已知数列的前项和为，＝，数列是公差为的等差数列．Ⅰ耀求数列的通项公式；Ⅱ耀设＝，求证：对于任意的，ݔݔݔ‴．21.如图，已知点㔵耀在抛物线＝晦′ㄠ耀上，过点作三条直线，䳌，䁨，与抛物线分别交于点，䳌，䁨，与晦轴分别交于点，，，且䁡䁡＝䁡䁡．Ⅰ耀ⅰ耀求抛物线的方程；试卷第3页，总9页,ⅱ耀设直线，䁨斜率分别为，，若，求直线䳌的方程；Ⅱ耀设䳌䁨，四边形䳌䁨面积分别为，，在Ⅰ耀的条件下，求的取值范围．22.已知函数晦耀＝晦ln晦ݔ耀晦ݔ，晦耀＝晦晦晦ݔ晦．Ⅰ耀若＝，求晦耀的单调区间；Ⅱ耀若晦耀′对晦㔵ݔ耀恒成立，求实数的取值范围；Ⅲ耀设‴，求证：当晦㔵ݔ耀时，恒有晦耀′晦耀．试卷第4页，总9页,参考答案与试题解析2020-2021学年浙江省台州某校高三（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.A2.B3.B4.C5.C6.A7.C8.D9.D10.D二、填空题：本大题共7小题，共36分。多空题每小题6分；单空题每小题6分。11.,㔵ݔ耀12.,13.,ㄠ14.,15.ㄠ㔵16.17.ㄠ㔵ݔ耀．三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。18.（1）由＝，由，得sinݔ）＝ㄠ，又㔵，得或．试卷第5页，总9页,（2）由题知，，由晦耀，得，∴，∵，，∴，或，∴，或，即所求晦的集合为，或．19.（1）证明：由题知，䳌䳌，得䳌平面䳌䁨，又䳌平面䳌䁨，平面䳌䁨平面䳌䁨；（2）由Ⅰ耀知，䳌平面䳌䁨，由䳌䁨，得䁨䁨，∴䁨䳌即为二面角䁨的平面角，，䳌䁨＝，可得或，又䁨′䳌䁨，∴，∴．过点作䳌䁨，垂足为点，可得，由平面䳌䁨平面䳌䁨，得平面䳌䁨，设点到平面䳌的距离为．试卷第6页，总9页,由䳌＝䳌，得，而，∴，设与平面䳌所成角为，则．∴与平面䳌所成角正弦值为．（其他解法请酌情给分）20.（1）∵数列是公差为，且，可得，，∴＝＝ݔ耀，又＝，∴；证明：Ⅱ耀，，当时，ݔݔݔ＝，又，∴，又，试卷第7页，总9页,∴．21.耀耀由题知，抛物线＝晦′耀上有一点㔵耀，∴＝，∴抛物线的方程为＝晦；耀设㔵耀，ㄠ耀，ㄠ耀，则，∵耀耀＝，∴，∴＝，，∴䳌直线方程为晦＝ㄠ；（2）由Ⅰ耀知，㔵ㄠ耀，ㄠ耀，则方程为，即晦ݔ耀ݔ＝ㄠ，由，得ݔ耀ݔ＝ㄠ，∴，即，䁨方程为，即晦耀＝ㄠ，同理可得，∴点到直线䳌的距离为，点䁨到直线䳌的距离为，记，设过点的抛物线的切线为＝晦耀，由，得ݔ＝ㄠ，由＝ㄠ，得，试卷第8页，总9页,所以切线方程为晦ݔ＝ㄠ，令＝ㄠ，∴‴‴，∴，∴．22.（1）＝时，晦耀＝晦ln晦ݔ晦，令晦耀＝ln晦ݔ′，得，∴晦耀在上递减，在；…………………（2）由题知，晦ln晦ݔ耀晦ݔ′ㄠ，即对于任意的晦′恒成立，设，，∵晦′，（1）时，晦耀′，晦耀在晦′时单调递增，∴晦耀′耀＝ㄠ满足条件；（2）′时，′，耀时，晦㔵晦耀′ㄠ，即函数＝晦耀在㔵耀递减，ݔ耀递增，当晦㔵耀时，与晦耀′ㄠ在晦′时恒成立矛盾，综上，．Ⅲ耀证明：要证晦耀′晦耀，即证晦ln晦ݔ耀晦ݔ′晦晦晦ݔ晦，即晦ln晦ݔ耀晦ݔ′晦晦晦，设晦耀＝晦晦晦＝晦晦晦耀，晦′，设＝晦晦，晦′，则＝晦‴ㄠ，＝晦晦在晦′时为减函数，所以晦晦‴，即晦耀‴ㄠ，设晦耀＝晦ln晦ݔ耀晦ݔ＝晦ln晦ݔ耀晦耀，晦′，设＝晦ln晦晦耀，晦′，＝晦ln晦晦耀在晦′时为增函数，∴晦ln晦′晦，又‴，∴晦耀′晦耀，∴当‴时，晦ln晦ݔ耀晦ݔ′晦晦晦ݔ晦对于任意的晦′恒成立．试卷第9页，总9页
