2020-2021学年广东省某校高一（上）期中数学试卷一．选择题（每小题5分，共40分）)1.设集合陘މɬ켘켘ɬ켘켘，陘މሼሼሼi，则陘（）A.މɬB.މɬ켘C.މɬ켘켘D.މ켘ɬ켘2.已知命题ሼ，ሼiሼ，那么命题¬为()A.ሼ，ሼሼB.ሼ，ሼiሼC.ሼ，ሼሼD.ሼ，ሼሼ3.若，，则“”是“㈠”的()A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分又不必要ሼɬሼ4.已知函数ሺሼݔሺݔሼሺ则，ݔሺ陘ݔA.是奇函数，且在上是增函数B.是偶函数，且在上是增函数C.是奇函数，且在上是减函数D.是偶函数，且在上是减函数5.如果方程ሼ㈠ሺɬݔሼ㈠陘的两个实根一个小于ɬ，另一个大于ɬ，那么实数的取值范围是()A.iiB.iiC.iiɬD.iiɬሼሼ6.函数陘ሺiiɬݔ的图象的大致形状是()ሼA.B.C.D.ɬɬ쳌7.设陘logɬ，陘ሺݔ，陘，则（）A.iiB.iiC.iiD.ii试卷第1页，总8页
8.若ሼ，，是正实数，满足ሼ陘陘，试比较ሼ，，大小()A.ሼB.ሼC.ሼD.ሼ二、多选题（每小题5分，共20分）)9.下列各组函数中，两个函数是同一函数的有()A.ሺሼݔ陘ሼ与ሺሼݔ陘ሼሼɬB.ሺሼݔ陘ሼ㈠ɬ与ሺሼݔ陘ሼɬሼɬ켘ሼC.ሺሼݔ陘与ሺሼݔ陘ሼɬ켘ሼiD.ሺሼݔ陘ሼɬ与ሺሼݔ陘ሼ㈠ɬሼɬE.ሺሼݔ陘ɬ与ሺሼݔ陘ሼ10.为预防新冠病毒感染，某学校每天定时对教室进行喷洒消毒．教室内每立方米空气中的含药量（单位：）随时间ሼ（单位：）的变化情况如图所示：在药物释放ɬሼ过程中，与ሼ成正比；药物释放完毕后，与ሼ的函数关系式为陘ሺݔ（为常数），则()A.当ሼ쳌时，陘ሼɬݔሼ쳌ɬB.当ሼ쳌时，陘ሺC.小时后，教室内每立方米空气中的含药量可降低到쳌以下ɬD.小时后，教室内每立方米空气中的含药量可降低到쳌以下ɬ켘ሼ켘11.已知定义域为的奇函数ሺሼݔ满足ሺሼݔ陘ሼ下列叙述正确ሼሼ㈠켘iሼ켘的是()A.存在实数，使关于ሼ的方程ሺሼݔ陘ሼ有个不相等的实数根B.当ɬiሼɬiሼiɬ时，但有ሺሼɬݔሼሺݔC.若当ሼሺ켘时，ሺሼݔ的最小值为ɬ，则ɬ켘D.若关于ሼ的方程ሺሼݔ陘和ሺሼݔ陘的所有实数很之和为零，则陘试卷第2页，总8页
E.对任意实数，方程ሺሼݔሼ陘都有解12.对ሼ，ሼ表示不超过ሼ的最大整数，十八世纪，陘ሼ被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”，则下列命题中的真命题是()A.ሼ，ሼ陘ሼɬB.ሼ，ሼ陘ሼ㈠ɬC.ሼ，，ሼ㈠ሼ㈠D.函数陘ሼሼሺሼݔ的值域为켘ɬݔE.若，使得陘ɬ，陘，陘，，陘同时成立，则正整数的最大值是三、填空题（共20分）)13.函数陘ሼ㈠恒过定点________．14.若ሼሺ켘㈠ݔ，则ሼ㈠的最小值为________．ሼ㈠ሼ15.若lgሺሼݔ陘lgሼ㈠lg，则陘________．16.已知函数ሺሼݔሼሺ㈠ݔ㈠ሼሺ有ɬሼ的意任对若．ሼሼ陘ݔi，则实数的取值范围是________．四、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，共70分）)17.已知函数ሺሼݔ陘ሼሼ．ሺɬݔ判断函数ሺሼݔ的奇偶性；ሺݔ写成分段函数的形式，并在坐标系中作出函数的图象；ሺݔ根据图象写出单调增区间．18.已知幂函数＝ሺሼݔ켘ሺ点过象图的ݔ．ሺɬݔ求出函数陘ሺሼݔ的解析式，判断并证明陘ሺሼݔ在켘㈠ݔ上的单调性；ሺݔɬሺ足满求，ݔሼሺ陘ݔሼሺ，时ሼ当，数函偶的上是ݔሼሺ数函ݔ时实数的取值范围．19.因新冠肺炎疫情影响，呼吸机成为紧缺商品，某呼吸机生产企业为了提高产品的产试卷第3页，总8页
量，投入万元安装了一台新设备，并立即进行生产，预计使用该设备前ሺ㈠ݔ年的材料费、维修费、人工工资等共为ሺ㈠ݔ万元，每年的销售收入万元．设使用该设备前年的总盈利额为ሺݔ万元．ሺɬݔ写出ሺݔ关于的函数关系式，并估计该设备从第几年开始盈利；ሺݔ使用若干年后，对该设备处理的方案有两种：方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以ɬ万元的价格处理；方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以万元的价格处理；问哪种方案处理较为合理？并说明理由．20.已知函数ሺሼݔ是定义在上的奇函数，当ሼi时，ሺሼݔ陘ሼ㈠ɬ．ሺɬݔ求函数ሺሼݔ的解析式；ɬሺݔgolሺ及ݔሺ求ݔ的值；ɬሺݔ若存在实数ሼ켘ɬ，使得不等式ሺሼݔ㈠ሺሼݔ㈠ɬ有解，求实数的取值范围．21.已知定理：“实数，为常数，若函数ሺሼݔ满足ሺ㈠ሼݔ㈠ሺሼݔ陘，则函数陘ሺሼݔ的图象关于点ሺ켘ݔ成中心对称”．ሼሺɬݔ已知函数ሺሼݔ陘的图象关于点ሺɬ켘ݔ成中心对称，求实数的值；ሼɬሺݔ已知函数ሺሼݔ满足ሺ㈠ሼݔ㈠ሺሼݔ陘，当ሼ켘时，都有ሺሼݔ成立，且当ሼ켘ɬ时，ሺሼݔ陘ሺሼɬݔ㈠ɬ，求实数的取值范围．ሺሼݔ22.已知函数ሺሼݔ陘ሼሼ㈠ɬ且函数陘ሺሼ㈠ɬݔ是偶函数，设ሺሼݔ陘．ሼሺɬݔ求ሺሼݔ的解析式；ሺݔ若不等式ሺሼݔሼ在区间ɬ켘上有解，求实数的取值范围．ሼሺݔɬሺ程方若ݔ㈠陘有三个不同的实数根，求实数的取值范围．ሼɬ试卷第4页，总8页
参考答案与试题解析2020-2021学年广东省某校高一（上）期中数学试卷一．选择题（每小题5分，共40分）1.B2.C3.C4.A5.D6.D7.A8.D二、多选题（每小题5分，共20分）9.A,C10.A,D11.A,C12.C,D,E三、填空题（共20分）13.ሺ켘ݔ14.15.ɬ16.ሺ켘ɬ四、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，共70分）17.解：ሺɬݔ∵ሺሼݔ陘ሼሼ的定义域为，∴ሺሼݔ陘ሺሼݔሼ陘ሼሼ陘ሺሼݔ，∴ሺሼݔ陘ሺሼݔ，∴ሺሼݔ是偶函数．ሼሼ켘ሼ켘ሺݔሼሺ∵ݔ陘ሼሼ陘ሼ㈠ሼ켘ሼi켘∴ሺሼݔ的图象如下：ሺݔ㈠켘ɬ和켘ɬ为间区增递调单的ݔሼሺ数函：知可象图由ݔ．18.解：ሺɬݔ根据题意，设幂函数的解析式为陘ሺሼݔ陘ሼ，将点ሺ켘ݔ代入解析式中得陘，试卷第5页，总8页
ɬ解得陘，ɬ所以，所求幂函数的解析式为ሺሼݔ陘ሼ．ɬ易得幂函数ሺሼݔ陘ሼ陘ሼ在켘㈠ݔ上是增函数．证明如下：任取ሼɬ，ሼ켘㈠ݔ，且ሼɬiሼ，则ሺሼɬݔሼሺݔ陘ሼɬሼሺሼɬሼݔሼ㈠ɬሼሺݔ陘ሼɬ㈠ሼሼሼ陘.ሼɬ㈠ሼ因为ሼɬiሼ，ሼɬ㈠ሼ，所以ሺሼɬݔሼሺiݔ，所以幂函数ሺሼݔ陘ሼ在켘㈠ݔ上是增函数.ሺݔ当ሼ时，ሺሼݔ陘ሺሼݔ，而幂函数ሺሼݔ陘ሼ在켘㈠ݔ上是增函数，所以当ሼ时，ሺሼݔ在켘㈠ݔ上是增函数．又因为函数ሺሼݔ是上的偶函数，所以ሺሼݔሺ且，数函减是上켘ሺ在ݔ陘.由ሺɬݔ可得：ɬ，即，所以满足ሺɬݔ时，实数的取值范围为켘．19.解：ሺɬݔ㈠ሺ陘ݔሺ：得意题由ݔ陘㈠．由ሺݔ，得㈠，即㈠i，解得iiɬ．由于㈠，故设备企业从第年开始盈利.ሺݔɬሺ陘ݔሺ额利盈总：一案方ݔ㈠ɬ，当陘ɬ时，ሺݔmax陘ɬ．故方案一共总利润ɬ㈠ɬ陘ɬ，此时陘ɬ；ሺݔ方案二：每年平均利润陘ሺ㈠ݔ陘，当且仅当陘时等号成立．故方案二总利润㈠陘ɬ，此时陘．比较两种方案，获利都是ɬ万元，但由于第一种方案需要ɬ年，而第二种方案需要年，故选择第二种方案更合适．20.解：ሺɬݔ∵函数ሺሼݔ是定义在上的奇函数，∴ሺݔ陘，由于当ሼi时，ሺሼݔ陘ሼ㈠ɬ，设ሼ，则ሼi，ሺሼݔ陘ሼ㈠ɬ陘ሺሼݔ，解得ሺሼݔ陘ሼɬ，试卷第6页，总8页
ሼ㈠ɬ켘ሼi켘∴ሺሼݔ陘ሼ陘켘ሼɬ켘ሼ쳌ɬɬሺݔሺ得题由ݔ陘㈠ɬ陘，ɬ∴ሺݔሺ陘ݔ陘ɬ陘，ሺlogݔ陘logɬɬlog陘ɬɬɬ陘ɬ陘.ɬሺݔ存在实数ሼ켘ɬ，使得不等式ሺሼݔ㈠ሺሼݔ㈠ɬ有解，ɬ即ሺሼݔ㈠ሺሼݔ㈠ɬ的最小值，其中ሼ켘ɬ.ɬ设陘ሺሼݔ㈠ሺሼݔ㈠ɬ，其中ሼ켘ɬ，ሼሼɬ即陘ሺɬݔሺɬ㈠ɬݔ㈠ɬ，其中ሼ켘ɬ，ሼሼɬ∴陘ሺݔ㈠ɬ㈠ɬ，其中ሼ켘ɬ，∴陘ሺሼ㈠ݔ，ɬ∵ሼ켘ɬ，∴ሼ켘，켘，∴.故实数的取值范围为：켘㈠ݔ．ሼ21.解：ሺɬݔ函数ሺሼݔ陘的图象关于点ሺɬ켘ݔ成中心对称，ሼɬ可得ሺɬ㈠ሼݔ㈠ሺɬሼݔ陘，ሺሼ㈠ɬݔሺɬሼݔ即有㈠陘陘，ሼሼ解得陘.ሺݔ由ሺ㈠ሼݔ㈠ሺሼݔ陘可得ሺሼݔ的图象关于点ሺɬ켘ݔ对称，且ሺɬݔ陘，当陘时，ሺሼݔ陘ሺሼɬݔ，又ሺሼݔ关于ሺɬ켘ݔ对称，可得ሺሼݔሼሺ然显，ݔሼሺ陘ݔ恒成立；当时，ሺሼݔ陘ሺሼɬݔ㈠ɬ在켘ɬ递增，又ሺሼݔ关于点ሺɬ켘ݔ对称，可得ሺሼݔሺ陘xamݔሼሺ需只，ݔሼሺ，增递켘在ݔ，又ሺݔሺ则，陘ݔሺ㈠ݔɬ即ɬɬ，即有ɬ；当i时，ሺሼݔ陘ሺሼɬݔ㈠ɬ在켘ɬ递减，又ሺሼݔ关于ሺɬ켘ݔ对称，可得ሺሼݔሺ陘xamݔሼሺ需只，ݔሼሺ使要，减递켘在ݔ，即ɬ，解得ɬlogi．综上可得，ɬlogɬ．试卷第7页，总8页
22.解：ሺɬݔ∵函数陘ሺሼ㈠ɬݔ是偶函数，∴二次函数ሺሼݔ陘ሼሼ㈠ɬ的图象关于ሼ陘ɬ对称，∴陘ɬ，即陘ɬ，∴ሺሼݔ陘ሼሼ㈠ɬ，ሺሼݔɬ∴ሺሼݔ陘陘ሼ㈠．ሼሼɬሺݔሺ为化可ሼݔሼሺ式等不ݔ㈠ɬ，ሼሼɬ∴不等式ሺݔ㈠ɬ在区间ɬ켘上有解，ሼሼɬɬ令陘，则켘ɬ，ሼɬ记ሺݔ陘㈠ɬ，켘ɬ，∵对称轴陘ɬ，ɬ∴函数ሺݔ在켘ɬ上单调递减，ɬɬ∴ሺݔሺ陘xamݔ陘，ɬ∴，ɬ即实数的取值范围为ሺ켘．ሼሺݔɬሺ程方ݔ㈠陘，ሼɬሼɬ即ɬ㈠㈠陘，ሼɬሼɬ化简得ሼɬሼɬ㈠ɬ㈠陘，令陘ሼɬሺݔ，则㈠ɬ㈠陘，ሼ若方程ሺɬݔ㈠陘有三个不同的实数根，ሼɬ则方程㈠ɬ㈠陘，必须有两个不相等的实数根，，ɬ且iɬiɬ，ɬ或iɬiɬ，陘ɬ，令ሺݔ陘㈠ɬ㈠，当iɬiɬ，ɬ时，ሺݔ陘ɬ㈠켘则ሺɬݔ陘㈠i켘ɬ即iiɬ，当陘ɬ时，㈠陘，解得陘ɬ，则ሺݔ陘㈠，解得陘，不合题意，故舍去.ɬɬ综上所述，实数的取值范围是ሺ켘ɬݔ．试卷第8页，总8页
