正弦函数、余弦函数的性质(二) (15分钟 30分)1.函数y=sinx,x∈,则y的取值范围是( )A. B. C. D.【解析】选B.y=sinx的部分图象如图所示,因为x∈,所以由图象知y∈.2.下列关于函数y=4sinx,x∈[-π,π]的单调性的叙述,正确的是( )A.在[-π,0]上是增函数,在[0,π]上是减函数B.在上是增函数,在和上是减函数C.在[0,π]上是增函数,在[-π,0]上是减函数D.在上是增函数,在上是减函数【解析】选B.函数y=4sinx的单调增区间是,k∈Z,单调减区间是,k∈Z,因为x∈[-π,π],所以函数y=4sinx在上是增函数,在和上是减函数.3.下列不等式中成立的是( )A.sin>sin B.sin3>sin2C.sinπ>sinD.sin2>cos1【解析】选D.因为sin2=cos=cos,且0<2-<1<π,所以cos>cos1,8
即sin2>cos1.4.函数y=cosx在区间[-π,a]上为增函数,则a的取值范围是 . 【解析】因为y=cosx在[-π,0]上是增函数,在[0,π]上是减函数,所以只有-π<a≤0时,满足条件.故a的取值范围是(-π,0].答案:(-π,0]5.已知函数f(x)=2sin,φ∈,f(0)=.(1)求f(x)的解析式和最小正周期.(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.【解析】(1)因为f(x)=2sin,φ∈,f(0)=,所以f(0)=2sin=,所以sinφ=,又因为φ∈,所以φ=,故f(x)的解析式为f(x)=2sin,所以f(x)的最小正周期为T==4π.(2)因为x∈,所以≤x+≤,所以-≤sin≤1,则-≤2sin≤2,故f(x)在区间上的最大值为2,最小值为-. (30分钟 60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.函数f(x)=-2sinx+1,x∈的值域是( )8
A.B.C.D.【解析】选B.因为x∈,所以sinx∈,所以-2sinx+1∈.2.函数y=3cos2x-4cosx+1,x∈的最小值是( )A.- B. C.0 D.-【解析】选D.令t=cosx,x∈,所以t∈,y=3t2-4t+1=3-.因为y=3-在t∈上单调递减,所以当t=时,ymin=3×-4×+1=-.3.函数f(x)=3sin的一个单调递增区间是( )A.B.C.D.【解析】选A.f(x)=3sin=-3sin,其单调增区间满足:2kπ+≤2x-π≤2kπ+,解得:kπ+≤x≤kπ+π,令k=0,可得函数的一个单调递增区间为.4.下列各式正确的是( )8
A.sin<sin B.cos<cosC.cos<cosD.sin<cos【解析】选B.选项A,因为sin=-sin,又因为sin>0,所以sin>-sin=sin,故A错误;选项B,因为cos=cos,y=cosx在单调递减,又因为>,cos<cos,所以cos<cos成立,故B正确;选项C,因为y=cosx在单调递减,所以cos>cos,故cos>cos,故C错误;选项D,因为y=sinx在单调递增,y=cosx在单调递减,且sin=cos,sin>sin,cos<cos,故sin>cos,故D错误.5.函数f(x)=3sin在区间上的值域为( )A.B.C.D.【解析】选B.因为x∈,所以2x∈,所以2x-∈,8
所以sin∈,所以f(x)=3sin∈,即f(x)在区间上的值域为.二、填空题(每小题5分,共15分)6.若f(x)=2sinωx(0<ω<1)在区间上的最大值是,则ω= . 【解析】因为x∈,即0≤x≤,且0<ω<1,所以0≤ωx≤<.因为f(x)max=2sin=,所以sin=,=,即ω=.答案:7.已知函数y=2acos+b的定义域是,值域是[-5,1],则a= ,b= . 【解析】由x∈得,2x-∈,所以cos∈,因为a<0,函数的值域是[-5,1],所以,解得.答案:-2 -18.函数y=sin2x+2cosx在区间上的值域为,则a的取值范围是 . 【解析】由已知得,y=1-cos2x+2cosx=-(cosx-1)2+2,令t=cosx,得到:y=-(t-1)2+2,显然当t=cos=-时,y=-,当t=1时,y=2,所以当8
cosx∈,可使函数的值域为,所以有a≥0,且a≤,从而可得a的取值范围是.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知函数f(x)=2asinx+b的定义域为,函数的最大值为1,最小值为-5,求a和b的值.【解析】因为-≤x≤,所以-≤sinx≤1.若a>0,则解得若a<0,则解得10.已知函数f(x)=cos,x∈R.(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间;(2)求函数f(x)在区间上的最小值和最大值,并求出取得最值时x的值.【解析】(1)因为f(x)=cos,x∈R,所以,该函数的最小正周期为T==π.解不等式-π+2kπ≤2x-≤2kπ,得-+kπ≤x≤+kπ.因此,函数y=f(x)的最小正周期为π,单调递增区间为;8
(2)因为x∈,所以-≤2x-≤.当2x-=0,即当x=时,函数y=f(x)取得最大值,f=;当2x-=,即当x=时,函数y=f(x)取得最小值,f=cos=-1.1.已知函数f(x)=-sin2x+asinx+1(1)当a=1时,求函数f(x)的值域.(2)若当a>0时,函数f(x)的最大值是3,求实数a的值.【解析】(1)当a=1时,f(x)=-sin2x+sinx+1,令t=sinx,-1≤t≤1;则y=-t2+t+1=-+,当t=时,函数f(x)的最大值是,当t=-1时,函数f(x)的最小值是-1,所以函数f(x)的值域为.(2)当a>0时f(x)=-sin2x+asinx+1=+1+,当≥1即a≥2时,当且仅当sinx=1时,f(x)max=a,又函数f(x)的最大值是3,所以a=3;当0<<1即0<a<2时,当且仅当sinx=时,f(x)max=1+,又函数f(x)的最大值是3,所以1+=3,所以a=2,又0<a<2,不符合题意;综上:实数a的值为3.2.已知函数f(x)=-sin2x+sinx+a.当f(x)=0有实数解时,求a的取值范围.【解析】8
-1≤sinx≤1,令t=sinx,则-1≤t≤1.f(x)=0有实数解,即t2-t-a=0在[-1,1]内有实数解.令g(t)=t2-t-a=-a-,t∈[-1,1].如图,方程t2-t-a=0在[-1,1]内有实数解等价于函数g(t)的图象与坐标系的横轴在[-1,1]上有交点,故只需满足解得-≤a≤2,所以所求a的取值范围是.8
