函数y=Asin(ωx+φ)的图象(二) (20分钟 35分)1.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则φ的值为( )A.-B.C.-D.【解析】选B.由题意,得=+=,所以T=π,由T=,得ω=2,由题图可知A=1,所以f(x)=sin(2x+φ).又f=sin=0,-<φ<,所以φ=. 【补偿训练】 函数y=Asin(ωx+φ)+k的图象如图,则它的振幅A与最小正周期T分别是( )A.A=3,T= B.A=3,T=πC.A=,T= D.A=,T=【解析】选D.由图象可知最大值为3,最小值为0,故振幅为,半个周期为-=,故周期为π.2.已知函数f(x)=sinωx+(ω>0)的最小正周期为π,则该函数的图象( )10
A.关于直线x=对称B.关于点对称C.关于直线x=对称D.关于点对称【解析】选A.依题意得T==π,ω=2,故f(x)=sin,所以f=sin=sin=1,f=sin=sin=,因此该函数的图象关于直线x=对称,不关于点和点对称,也不关于直线x=对称.3.已知函数y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0)的最大值为4,最小值为0,最小正周期为,直线x=是其图象的一条对称轴,则下面各式中符合条件的解析式为( )A.y=4sinB.y=2sin+2C.y=2sin+2D.y=2sin+2【解析】选D.由函数y=Asin(ωx+φ)+b的最大值为4,最小值为0,可知b=2,A=2.由函数的最小正周期为,可知=,得ω=4.由直线x=是其图象的一条对称轴,可知4×+φ=kπ+,k∈Z,从而φ=kπ-,k∈Z,故满足题意的是y=2sin+2.4.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象如图所示,则ω= . 【解析】由题意设函数周期为T,则=-=,所以T=.所以ω==.10
答案:5.已知函数f(x)=2cos(ωx-φ)(ω>0,φ∈[0,π])的部分图象如图所示.若A,B,则f(0)= . 【解析】由题干图可知函数f(x)的周期T=-=π,ω==2.又f=2cos(π-φ)=-2cosφ=,则cosφ=-.因为φ∈[0,π],所以φ=,所以f(x)=2cos,则f(0)=-.答案:-6.如图为函数f(x)=Asin(ωx+φ)的一个周期内的图象,写出f(x)的解析式.【解析】由题图知A=2,T=7-(-1)=8,所以ω===,所以f(x)=2sin.将点(-1,0)代入,得0=2sin.因为|φ|<,所以φ=,所以f(x)=2sin. (30分钟 60分)一、选择题(每小题5分,共25分)10
1.设f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的定义域为R,周期为,初相为,值域为[-1,3],则函数f(x)的解析式为( )A.y=2sin+1 B.y=2sin-1C.y=-2sin-1D.y=2sin+1【解析】选A.因为-A+B=-1,A+B=3,所以A=2,B=1,因为T==,所以ω=3,又φ=,故f(x)=2sin+1.2.设函数f(x)=2sin.若对任意x∈R,都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,则|x1-x2|的最小值为( )A.4 B.2 C.1 D.【解析】选B.f(x)的周期T=4,|x1-x2|min==2.3.若函数y=3sin(2x+φ)(-π<φ<0)的图象向左平移后得到的图象关于y轴对称,则|φ|=( )A.B.C.D.【解析】选D.函数y=3sin(2x+φ)(-π<φ<0)的图象向左平移后得到:y=3sin=3sin,因为平移后图象关于y轴对称,所以+φ=-+kπ(k∈Z),因为-π<φ<0,当k=0时,可得φ=-,故|φ|=π.4.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则函数f(x)在x∈上的值域为( )10
A.B.C.D.【解析】选D.由题知,A=,周期T满足=-=⇒T=π,故=π⇒ω=2.故f(x)=sin(2x+φ).代入有sin=1,又-<φ<,故φ=.故f(x)=sin,当x∈时,2x+∈,故f(x)=sin∈.5.把函数y=sin2x的图象沿着x轴向左平移个单位长度,纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)后得到函数y=f(x)的图象,对于函数y=f(x)有以下判断:(1)该函数的解析式为y=2sin;(2)该函数图象关于点对称;(3)该函数在上是增函数;(4)若函数y=f(x)+a在上的最小值为,则a=2.其中正确的判断有( )A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】选B.把函数y=sin2x的图象沿着x轴向左平移个单位长度,可得y=sin的图象,再把纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)后得到函数f(x)=2sin的图象,10
对于函数y=f(x)=2sin,故(1)错误;由于当x=时,f(x)=0,故该函数图象关于点对称,故(2)正确;在上,2x+∈,故函数y=f(x)在上不是增函数,故(3)错误;在上,2x+∈,故当2x+=时,函数y=f(x)+a在上取得最小值为-+a=,所以a=2,故(4)正确.二、填空题(每小题5分,共15分)6.若f(x)=2sin(ωx+φ)+m,对任意实数t都有f=f,且f=-3,则实数m的值等于 . 【解析】因为f=f,所以f(x)的对称轴为x=,所以f=±2+m=-3,解得m=-5或m=-1.答案:-5或-17.把函数y=cos的图象向右平移φ个单位长度,所得到的图象正好关于y轴对称,则φ的最小正值是 . 【解析】将y=cos的图象向右平移φ个单位长度,得y=cos的图象.因为y=cos的图象关于y轴对称,所以cos=±1,所以φ-=kπ,k∈Z.当k=-1时,φ取得最小正值.答案:8.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)的图象如图所示,则其所有的对称中心的坐标为 . 10
【解析】由题干图象可得=x0+-x0=,则T=π,所以ω==2,又函数图象过点,所以f=2sinφ=,且|φ|<,可得φ=,所以函数f(x)=2sin,令2x+=kπ,k∈Z,可得x=-,k∈Z,所以可得函数的对称中心坐标为,k∈Z.答案:,k∈Z三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,-<φ<)的部分图象如图所示.(1)求f(x)的解析式.(2)写出f(x)的递增区间.【解析】(1)易知A=,T=4×[2-(-2)]=16,所以ω==,所以f(x)=sin,将点(-2,0)代入得sin=0,-+φ=kπ,k∈Z,所以φ=+kπ,k∈Z,因为-<φ<,所以φ=,所以f(x)=sin.(2)由-+2kπ≤x+≤+2kπ,k∈Z,解得16k-6≤x≤16k+2,k∈Z,所以f(x)的递增区间为[16k-6,16k+2],k∈Z.10
10.已知函数f(x)=sin(2ωx+φ)的最小正周期为π,它的一个对称中心为.(1)求函数y=f(x)的解析式.(2)当x∈时,方程f(x)=2a-3有两个不等的实根,求实数a的取值范围.【解析】(1)因为T=π=,所以ω=1,又因为f(x)的一个对称中心为,所以sin=0,所以+φ=kπ,φ=kπ-,k∈Z,又因为|φ|<,所以φ=-,所以f(x)=sin.(2)方法一:当x∈时,2x-∈,“当x∈时,方程f(x)=2a-3有两个不等的实根”,等价于“当x∈时,方程sinx=2a-3有两个不等的实根”,即“y=sinx与y=2a-3的图象在内有两个不同的交点”,如图可知0≤2a-3<1,所以≤a<2,即实数a的取值范围为.方法二:作f(x)=sin,x∈与y=2a-3的图象,如图,可知0≤2a-3<1,所以≤a<2,即实数a的取值范围为.10
1.已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)为奇函数,该函数的部分图象如图所示,△EFG是边长为2的等边三角形,则f(1)的值为( )A.-B.-C.D.-【解析】选D.由函数f(x)是奇函数,且0<φ<π,可得φ=.由图象及已知可得函数的最小正周期为4,得ω=.由△EFG的边FG上的高为,可得A=,所以f(x)=cos,所以f(1)=cosπ=-.2.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<在一个周期内的图象如图所示.(1)求函数f(x)的解析式.(2)求方程f(x)-lgx=0的解的个数.【解析】(1)由题图,知A=2,由函数图象过点(0,1),得f(0)=1,即sinφ=,又|φ|<,所以φ=.易知点是五点作图法中的第五点,所以ω+=2π,所以ω=2.因此所求函数的解析式为f(x)=2sin.(2)在同一平面直角坐标系中作函数y=f(x)和函数y=lgx的图象如图所示.10
因为f(x)的最大值为2,令lgx=2,得x=100,令+kπ<100(k∈Z),得k≤30(k∈Z).而+31π>100,且+30π+<100,所以在区间(0,100]内有31个形如(k∈Z,0≤k≤30)的区间.在每个区间上y=f(x)与y=lgx的图象都有两个交点,故这两个函数的图象在上有2×31=62(个)交点.另外,两函数的图象在上还有一个交点,所以方程f(x)-lgx=0共有63个实数解.10
