顶尖名校联盟2020～2021学年高二12月联考数学（文科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．命题“，”的否定是（）．A．，B．，C．，D．，2．若抛物线上一点到焦点的距离为8，则的横坐标为（）．A．5B．6C．7D．83．“”是“直线与直线互相平行”的（）．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知数列是正项等比数列，若，则等于（）．A．34B．32C．30D．285．已知，且满足，，则下列不等式一定成立的是（）．A．B．C．D．6．在中，角，，的对边分别为，，，其面积，则的值为（）．A．B．1C．D．2
7．若，满足不等式组，则目标函数的最大值为（）．A．B．C．D．8．双曲线的焦点到其渐近线的距离为2，且的焦距与椭圆的焦距相等，则双曲线的渐近线方程是（）．A．B．C．D．9．已知函数，令得数列，若数列为递增数列，则实数的取值范围为（）．A．D．C．D．10．已知函数，若不等式恒成立，则实数的取值范围为（）．A．B．C．D．11．在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围是（）．A．B．C．D．12．过椭圆右焦点且斜率为的直线交椭圆于，两点，为弦的中点，直线与椭圆相交，其中一个交点为点，若，则实数的值为（）．A．B．C．D．
二、填空题：13．函数的图象在点处切线的方程为______．14．已知数列中，，，对任意正整数，，为的前项和，则______．15．在平面直角坐标系中，已知，，为函数图象上一点，若，则______．16．若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是______．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数．（1）求的极小值；（2）求在上的值域．18．在中，角，，的对边分别为，，，且．（1）求角的大小；（2）若，求周长的最大值．19．在等腰直角三角形中，，点，分别为，的中点，如图1，将沿折起，使点到达点的位置，且平面平面，连接，，如图2．（1）若为的中点，求证：平面；
（2）当三棱锥的体积为时，求点到平面的距离．20．已知数列的前项和为，且对于任意正整数，有，，成等差数列．（1）求证：数列为等差数列；（2）若数列满足，求数列的前项和．21．已知椭圆的左焦点到圆上一点距离的最大值为6，且过椭圆右焦点与上顶点的直线与圆相切．（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆交于，两点，当以为直径的圆与轴相切时，求的值．22．已知函数．（1）若曲线在处的切线和直线垂直，求的单调区间；（2）若的图象与轴有交点，求的取值范围．参考答案1．B【解析】全称命题的否定是特称命题．2．B【解析】∵，∴．3．A4．A【解析】在正项等比数列中，由，得，即．∴．5．D【解析】由不等式的性质可知D正确．
6．A【解析】由，，，得．7．B【解析】画出可行域，如图阴影部分（包括边界）所示：可化为，它表示斜率为的一族平行直线，是直线在轴上的截距．观察图形，可知当直线过可行域内的点时，取得最大值，且．故选B．8．A【解析】因为双曲线的焦点到其渐近线的距离为2，所以，因为椭圆的焦距与的焦距相等，所以，则，双曲线的渐近线方程是．9．B【解析】由且数列为递增数列，
得，解得．10．C【解析】∵，∴．令，则，解得，当时，；当时，，∴当时，函数取得极大值．又∵，∴的最大值为，∴．故选C．11．C【解析】因为，由正弦定理得，因为，所以，所以，即，所以．因为，所以，所以，所以，所以由正弦定理得，
由题意知，所以，所以．故选C．12．B【解析】设，，由题意可得直线的方程为，即，与椭圆联立，化简得，则，．又∵点在直线上，∴，则直线的方程为，与椭圆联立，解得．∵，∴．故选B．13．【解析】∵，∴，∴．
又∵，∴函数的图象在点处的切线方程为．14．5050【解析】当为奇数时，，即数列的奇数项成以1为首项，1为公差的等差数列；当为偶数时，，即数列的偶数项成以2为首项，3为公差的等差数列，所以．l5．【解析】由得，故函数的图象为双曲线的上支，易知，为此双曲线的上、下焦点，∵，且，∴，，又，∴．16．【解析】引入函数，则，易知在上单调递减，在上单调递增，
所以．又分析知，当时，；当时，；当时，f，所以，所以．17．解：（1），令，得，令，得；令，得．∴在处取得极小值，且极小值为．（2）由（1）知在上递减，在上递增．∴，又，，∴．∴在上的值域．18．解：（1）因为，所以由正弦定理得，所以，所以，即．因为，所以，所以．又，所以．
（2）在中，，，由余弦定理得，即，因为（当且仅当时取“＝”），所以．所以，所以，即周长的最大值为．19．（1）证明：因为，分别为，的中点，所以．又，所以，，即，．而，所以，，又，，平面，所以平面．而平面，所以．因为，是的中点，所以，而，，平面，所以平面．（2）解：设．因为平面平面，平面平面，平面，，所以平面，则三棱锥的体积，解得，
所以，．易得，，则．在中，，，设是的中点，则且．设点到平面的距离为．因为，而，所以，故点到平面的距离为．20．（1）证明：由，，成等差数列，可知．当时，，∴．当时，，与相减，可知，∴．∴，∴数列为首项为2，公比为2的等比数列．（2）解：由（1）知，所以，
所以，①．②由②－①，得．21．解：（1）椭圆的左焦点到圆上一点距离的最大值为，又，所以．过椭圆右焦点和上顶点的直线方程为，即，由直线和圆相切可得，解得，所以．所以椭圆的方程为．（2）由可得，则，即．设，，则，，所以中点的横坐标为，则以为直径的圆的半径为．
由条件可得，整理可得，即，所以，所以或．22．解：（1）因为，由，解得，所以，，令，得；令，得，所以函数的单调递增区间为；单调递减区间为．（2），则，令，得．当时，；当时，，所以．因为，所以．要使的图象与轴有交点，只需即可．令，则，由，得．当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减．又，，所以当时，，即．故的取值范围是．
