绝密★启用前祁阳、宁远、道县、东安、新田、蓝山、江华、江永八县2021届高三12月联考数学试卷(新高考)本试卷共4页，22题。全卷满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A＝{x|y＝lg(x＋1)}，B＝{x|x2＋4x≤0}，则A∩B＝A.[－4，＋∞)B.[－4，－1)C.(－1，0]D.[－4，0)2.复数＝在复平面上对应的点在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.玉璧是我国传统的玉礼器之一，也是“六瑞”之一，象征着吉祥等寓意，穿孔称作“好”，边缘器体称作“肉”。《尔雅·释器》“肉倍好谓之壁，好倍肉谓之瑷，肉好若一谓之环”，一般把体形扁平、周边圆形、中心有一上下垂直相透的圆孔的器物称为璧。如图所示，某玉璧通高2.5cm，孔径8cm、外径18cm，则该玉璧的体积为A.158.5πcm3B.160.5πcm3C.162.5πcm3D.164.5πcm34.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝22，a6＝16，则a3＝-12-
A.3B.4C.5D.75.已知(x2－)n展开式中，所有项的二项式系数的和为32，则其展开式中的常数项为A.60B.－60C.80D.－806.声音的等级f(x)(单位：dB)与声音强度x(单位：W/m2)满足f(x)＝10×lg。喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140dB；一般噪声时，声音的等级约为90dB，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般噪声时声音强度的A.104倍B.105倍C.106倍D.107倍7.已知函数(x)＝2－x＋a·2x－x为奇函数，则不等式f(x－1)＋f(x＋5)<0的解集为A.(－∞，－3)B.(－3，＋∞)C.(－∞，－2)D.(－2，＋∞)8.已知双曲线C：的左，右焦点分别为F1，F2，虚轴的两个端点分别为A1，A2，点P为C上一点，＝0，||＝3||，则C的离心率为A.B.2C.D.2二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。9.某地区城乡居民储蓄存款年底余额(单位：亿元)变化情况如图所示，下列判断一定正确的是A.该地区城乡居民储蓄存款年底余额总数逐年上升B.到2019年农村居民存款年底总余额已超过了城镇居民存款年底总余额C.城镇居民存款年底余额逐年下降D.2017年城乡居民存款年底余额增长率大约为225%10.已知函数f(x)＝sinωx＋cosωx(ω>0)相邻的最高点的距离为2π，则下列结论正确的是-12-
A.函数y＝f(x)的图象关于点(，0)中心对称B.函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称C.函数f(x)在区间[－，]上的值域为[1，2]D.将函数y＝f(x)的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，然后向左平移个单位得y＝2sin(2x＋)11.已知正实数a，b满足a＋b＝ab，则A.ab≥6B.a＋b≥4C.a＋4b≥9D.12.已知在棱长为4的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱BC的中点，以点E为球心，以为半径的球的球面记为，则下列结论正确的是A.与面ABB1A1的交线长为B.直线BD1被截得的线段长为C.若点H为上的一个动点，则HD1的最小值为8－D.与截面BDD1B1的交线长为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知单位向量e1和e2的夹角为60°，a＝2e1－e2，b＝e1＋2e2，则|a＋b|＝。14.已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，点P是抛物线C上第一象限内的一点，过点P作l的垂线，垂足为M，直线PF的斜率为，则|MF|＝。15.已知甲、乙、丙三位选手参加的某次投掷飞镖的比赛。比赛规则如下：①每场比赛有两位选手参加，并决出胜负；②每场比赛获胜的选手与未参加此场比赛的选手进行下一场的比赛；③在比赛中，若有一个选手首先获胜两场，则本次比赛结束，该选手就获得此次飞镖比赛第一名。若在每场比赛中，均没有平局，且甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，且甲与乙先赛，则甲获得第一名的概率为。-12-
16.已知函数f(x)＝，函数h(x)＝f(x)－ax有两个零点，则a的取值范围是。四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(本小题满分10分)在条件①bsinA＝a(2＋cosB)，②2c＝b＋2acosB，③2ccosC＝acosB＋bcosA中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答。在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，b＝2，△ABC的面积为，。求△ABC的周长。18.(本小题满分12分)已知数列{an}的前n项和为Sn，a3＝256，an＋1＝3Sn＋16。(1)求an；(2)若bn＝，数列{bnbn＋2}的前n项和为Tn，证明：Tn<。19.(本小题满分12分)如图1，在平面五边形PABCD中，△PAD为等腰直角三角形，AP⊥PD，AD//BC，AD⊥DC，AD＝2DC＝2BC＝4，点E，F分别为PD，AB的中点，将△PAD沿AD折到如图2的位置。(1)证明：EF//平面PBC；(2)若二面角P－AD－C为60°，求平面PAB与平面PBC所成锐二面角的余弦值。20.(本小题满分12分)“硬科技”-12-
是以人工智能、航空航天、生物技术、光电芯片、信息技术、新材料、新能源、智能制造等为代表的高精尖科技，属于由科技创新构成的物理世界，是需要长期研发投入、持续积累才能形成的原创技术，具有极高技术门槛和技术壁垒，难以被复制和模仿。在华为的影响下，我国的一大批自主创新的企业都在打造自己的科技品牌，某高科技企业为确定下一年度投入某种产品的研发费用，需了解年研发费用x(单位：千万元)对年销售量y(单位：千万件)的影响，统计了近10年投入的年研发费用x，与年销售量yi(i＝1，2，3，…，10)的数据，得到如图所示的散点图。(1)利用散点图判断，y＝a＋bx和y＝c＋dlnx(其中a，b，c，d为大于0的常数)哪一个更适合作为年研发费用x和年销售量y的回归方程类型；(只要给出判断即可，不必说明理由)(2)对数据作出如下处理：得到相关统计量的值如表：其中令ωi＝lnxi，。根据(1)的判断结果及表中数据，求y关于x的回归方程，并预测投入的年研发费用28千万元时的年销售量；(3)从这10年的数据中随机抽取3个，记年销售量超过30(千万件)的个数为X，求X的分布列和数学期望。参考数据和公式：ln2≈0.69，ln7≈1.95。对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：。21.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝(x－2)ex－ax2＋2ax＋a。(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立，求a的取值范围。-12-
22.(本小题满分12分)已知椭圆E：经过点(，)，离心率为。(1)求E的方程；(2)若点P是椭圆E的左顶点，直线l交E于异于点P的A，B两点，直线PA和PB的斜率之积为－，求△PAB面积的最大值。-12-
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