2019-2020学年北京市密云区高三（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.)1.若集合＝㜵㐮‹㜵댳䁪‹，＝㜵㐮ȁ㜵댳‹，则＝（）A.㜵㐮‹㜵댳‹B.㜵㐮‹댳㜵댳‹C.㜵㐮ȁ㜵댳䁪‹D.㜵㐮ȁ댳㜵댳䁪‹㜵2.双曲线ȁ‹的离心率是（）䁪‹A.B.C.D.3.若函数＝‸㜵⸹满足：对任意正整数㜵，都有‸㜵o‹⸹＝‸㜵⸹o，且函数‸㜵⸹的图象经过点‸‹点‹⸹，则在下列选项中，函数‸㜵⸹通过的点的坐标是（）A.‸点⸹B.‸点⸹C.‸点⸹D.‸点⸹4.若函数‸㜵⸹sin‸㜵o⸹‸点⸹的相邻两个极小值点之间的距离为，最大值与最小值之差为，且‸㜵⸹为奇函数，则函数的值是()A.B.‹C.D.‹‹5.“㜵mo点m”是“sin㜵”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.下列函数中，既是偶函数，又是‸点o⸹上的增函数是（）‹㜵ȁ㜵㜵ȁ㜵A.㜵B.䁡‹㐮㜵㐮C.＝oD.＝ȁ7.如图所示，四个边长为‹的正方形拼成一个大正方形，是其中一个小正方形的一条边，‸＝‹点点䁪点点点点⸹是小正方形其余的顶点，则集合㜵㐮㜵点＝‹点点䁪点点点点‹中元素的个数为（）A.䁪B.C.D.8.阶段测试后，甲、乙、丙、丁、戊五位同学排成一排按序走上领奖台领奖，其中甲和乙都在丙的前面走，则不同的排序方法种数共有（）A.B.C.D.试卷第1页，总10页
㜵，㜵，9.已知函数‸㜵⸹若存在非零实数㜵，使得‸ȁ㜵⸹‸㜵⸹成立，㜵ȁ‹，㜵댳则实数的取值范围是()A.‸ȁ点ȁ䁃B.‸ȁ点ȁ‹䁃C.ȁ点⸹D.ȁ‹点⸹10.设非零向量，的夹角为，定义运算“”：㐮㐮㐮㐮sin．下列命题①若，则；②设䁨中，，䁨，则䁨；③‸o⸹o（为任意非零向量）；④若㐮㐮㐮㐮‹，则‸⸹㜵‹．其中正确命题的编号是()A.①②B.②③C.①②③D.①②④二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.)‹11.复数对应的点在第________象限，复数的实部是________．‹o12.抛物线㜵＝ȁ的焦点坐标是________，准线方程是________．13.若数列‹是由正数组成的等比数列，且＝䁪，＝，则公比＝________，䁪其前项和＝________．14.在䁨中，，，分别是角，，䁨的对边，且＝，＝‹，，则䁪＝________，＝________．15.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为________．16.密云某商场举办春节优惠酬宾赠券活动，购买百元以上单件商品可以使用优惠券一张，并且每天购物只能用一张优惠券．一名顾客得到三张优惠券，三张优惠券的具体优惠方式如下：优惠券‹：若标价超过元，则付款时减免标价的‹；优惠券：若标价超过‹元，则付款时减免元；优惠券䁪：若标价超过‹元，则超过‹元的部分减免‹．如果顾客需要先用掉优惠券‹，并且使用优惠券‹比使用优惠券、优惠券䁪减免的都多，那么你建议他购买的商品的标价可以是________元．试卷第2页，总10页
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.)17.已知角的终边与以原点为圆心的单位圆交于点，角的终边与角的终边关于直线＝㜵对称．‸Ⅰ⸹若为第三象限角，点的纵坐标为ȁ，‸⸹求sin，cos和tan的值；‸⸹求sin‸o⸹的值．‸Ⅱ⸹求函数‸⸹＝cosȁcos的最小值．18.甲、乙两位运动员一起参加赛前培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取次，记录如下：甲：‹䁪乙：‹‸Ⅰ⸹请你运用茎叶图表示这两组数据；‸Ⅱ⸹若用甲次成绩中高于分的频率估计概率，对甲同学在今后的䁪次测试成绩进行预测，记这䁪次成绩中高于分的次数为，求的分布列及数学期望；‸Ⅲ⸹现要从中选派一人参加正式比赛，依据所抽取的两组数据分析，你认为选派哪位选手参加较为合适？并说明理由．19.如图，在四棱锥中，底面䁨为直角梯形，䁨，＝＝，＝＝䁨＝‹，＝，，为线段的中点．‸Ⅰ⸹求直线与平面䁨所成角的余弦值；‸Ⅱ⸹求二面角ȁ䁨ȁ的大小；‸Ⅲ⸹若在段上，且直线与平面䁨相交，求的取值范围．20.已知函数‸㜵⸹＝sin㜵oln㜵．‸Ⅰ⸹求曲线＝‸㜵⸹在点‸点‸⸹⸹处的切线方程；‸Ⅱ⸹证明：函数‸㜵⸹在区间‸‹点䁪⸹上存在唯一的极大值点；‸Ⅲ⸹证明：函数‸㜵⸹有且仅有一个零点．㜵‹21.已知椭圆o‹‸⸹的长轴长为，离心率为．直线䁡‹，䁡交于点䁪‸‹点⸹，倾斜角互补，且直线䁡‹，䁡与椭圆的交点分别为，䁨（点在点䁨的右侧）．‸Ⅰ⸹求椭圆的方程；‸Ⅱ⸹证明：直线䁨的斜率为定值；试卷第3页，总10页
‸Ⅲ⸹在椭圆上是否存在一点，恰好使得四边形䁨为平行四边形，若存在，分别指出此时点，䁨和的坐标；若不存在，简述理由．22.设数组＝‸点,…,⸹，，‸＝‹点,…,o‹⸹，数称为数组‹o‹的元素．对于数组，规定：①数组中所有元素的和为‸⸹＝‹oooo‹；‹o‹o‹o‹o‹②变换，将数组变换成数组‸⸹‸䁃点䁃点点䁃⸹，其中㜵䁃表示不超过㜵的最大整数；③若数组＝‸‹点,…,o‹⸹，则当且仅当＝‸＝‹点,…,o‹⸹时，＝．如果对数组中任意个元素，存在一种分法，可将其分为两组，每组个元素，使得两组所有元素的和相等，则称数组具有性质．‸Ⅰ⸹已知数组＝‸‹点‹点‹点‹点‹⸹，＝‸‹点点点‹点‹䁪⸹，计算‸⸹，‸⸹，并写出数组，是否具有性质；‸Ⅱ⸹已知数组具有性质，证明：‸⸹也具有性质；‸Ⅲ⸹证明：数组具有性质的充要条件是‹＝＝…＝o‹．试卷第4页，总10页
参考答案与试题解析2019-2020学年北京市密云区高三（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.C2.D3.B4.C5.A6.C7.A8.B9.A10.D二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.‹11.四,12.‸点ȁ‹⸹,＝‹13.,ȁ‹14.䁪,15.16.‹三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.17.‸‹⸹‸⸹若角的终边与以原点为圆心的单位圆交于点，为第三象限角，点的纵坐标为ȁ，即sinȁ，䁪sin∴cosȁ‹ȁsinȁ，和tan．cos䁪‸⸹∵角的终边与角的终边关于直线＝㜵对称，䁪∴cos＝sinȁ，sin＝cosȁ，䁪䁪‹o䁪䁪则sin‸o⸹sincosocossinȁȁȁ．‹‹（2）函数‸⸹＝cosȁcos＝cosȁ‹ȁcos＝‸cosȁ⸹ȁ，‹故当cos时，‸⸹取得最小值为ȁ．试卷第5页，总10页
18.派乙选手参加较为合适19.（1）∵在四棱锥中，底面䁨为直角梯形，䁨，＝＝，＝＝䁨＝‹，＝，，为线段的中点．∴o＝，∴，以为原点，为㜵轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，‹‸点点⸹，‸点点‹⸹，‸点点⸹，‸点‹点⸹，䁨‸‹点‹点⸹，‹‸点‹点⸹，䁨‸‹点‹点ȁ‹⸹，‸点点ȁ‹⸹，设平面䁨的法向量‸㜵点点⸹，䁨㜵oȁ则，取＝‹，得‸‹点‹点⸹，ȁ设直线与平面䁨所成角为，㐮㐮䁪则sin，㐮㐮㐮㐮‹o‹‹䁪‹∴直线与平面䁨所成角的余弦值为：‹ȁ‸⸹．‹‹（2）‸‹点点⸹，‸‹点点ȁ‹⸹，设平面䁨的法向量‸点点⸹，ȁ则，取＝‹，得‸‹点点‹⸹，䁨oȁ平面䁨的法向量‸‹点‹点⸹，设二面角ȁ䁨ȁ的平面角为，是钝角，㐮㐮䁪䁪则cosȁȁȁ，㐮㐮㐮㐮∴，∴二面角ȁ䁨ȁ的大小为‸Ⅲ⸹∵在段上，且直线与平面䁨相交，∴设，‸‹⸹，则＝，‸点点⸹．‸ȁ‹点点⸹，平面䁨的法向量‸‹点‹点⸹，‹∵直线与平面䁨相交，所以，所以．㐮㐮㐮ȁ‹㐮∴sin댳，点‹⸹，㐮㐮㐮㐮‹o‹‹解得．댳，댳‹试卷第6页，总10页
‹‹∴的取值范围是点⸹‸点‹䁃．‹20.（1）̵‸㜵⸹＝cos㜵o，̵‸⸹＝coso，‸⸹＝‹oln，㜵故过‸点‹oln⸹，m，曲线＝‸㜵⸹在点‸点‸⸹⸹处的切线方程是：ȁ‹ȁln‸㜵ȁ⸹，即㜵oln；（2）证明：函数‸㜵⸹的定义域为‸点o⸹，‹‹由题可得̵‸㜵⸹＝cos㜵o，″‸㜵⸹＝ȁsin㜵ȁ；㜵㜵̵̵当㜵‸‹点䁪⸹时，‸㜵⸹댳，所以̵‸㜵⸹在区间‸‹点䁪⸹上单调递减；‹‹̵‸⸹＝coso，̵‸⸹＝cosoȁ‹o댳，̵所以‸㜵⸹在区间‸点⸹内有唯一零点㜵；当㜵‸‹点㜵⸹时，̵‸㜵⸹，当㜵‸㜵点䁪⸹时，̵‸㜵⸹댳，所以‸㜵⸹在区间‸‹点䁪⸹存在唯一极大值点．̵‸Ⅲ⸹证明：当㜵‸点⸹时，‸㜵⸹，‸㜵⸹在区间‸点⸹上单调递增；令‸㜵⸹＝，即sin㜵＝ȁln㜵，画出函数＝sin㜵和＝ȁln㜵在‸点䁃的图象，如图示：试卷第7页，总10页
，结合图象，＝sin㜵和＝ȁln㜵在‸点⸹有‹个交点，即‸㜵⸹＝在‸点⸹有‹个零点，当㜵点⸹时，‸㜵⸹＝sin㜵oln㜵ln㜵；当㜵点o⸹时，‸㜵⸹＝sin㜵oln㜵lnȁ‹；所以‸㜵⸹有且仅有‹个零点．21.（1）由题可知，‹，解得＝，＝‹，∴䁪，㜵故椭圆的方程为o‹．䁪（2）证明：显然直线䁡‹和䁡的斜率均存在且不为，䁪䁪设直线䁡‹的方程为m‸㜵ȁ‹⸹o，则直线䁡的方程为ȁm‸㜵ȁ‹⸹o䁪m‸㜵ȁ‹⸹o联立，得‸mo䁪⸹㜵ȁ‸mȁ‹m⸹㜵omȁ‹mȁ䁪＝，㜵o‹䁪mȁ‹mȁ䁪mȁ‹mȁ䁪ȁ‹mȁ‹mo∴‹㜵䁪om，∴‸䁪om点䁪om⸹．mo‹mȁ䁪ȁ‹mo‹mo同理可得，䁨‸点⸹，䁪om䁪omȁ‹mo‹moȁ‹mȁ‹moȁ∴直线䁨的斜率为䁪om䁪omm‹，mo‹mȁ䁪mȁ‹mȁ䁪mȁ䁪om䁪om故直线䁨的斜率为定值．‸Ⅲ⸹设存在点满足题意，∵四边形䁨为平行四边形，∴䁨，䁪‹结合‸Ⅱ⸹中直线䁨的斜率为‹可知，直线的方程为ȁ㜵ȁ‹，即㜵o．‹㜵o‹‹‹‹‹联立，解得㜵‹ȁ，∴‸ȁ点ȁ⸹，㜵‹o‹䁪mo䁪mȁ‹momo由‸Ⅱ⸹可知，线段䁨的中点为‸点⸹，mo䁪‸䁪om⸹ȁmȁmȁȁmȁ‹mo‹线段的中点为‸点⸹，䁪om‸䁪om⸹试卷第8页，总10页
mo䁪mȁmȁmȁ∵四边形䁨为平行四边形，∴䁨和的中点重合，则有，䁪om䁪om化简得‹momo＝，即mo‹mo＝，＝‹ȁ，此方程有解，故存在点满足题意．22.‸⸹‸⸹＝‸‹点‹点‹点‹点‹⸹，‸⸹＝‸‹点点点点⸹，数组是具有性质，数组不具有性质．‸⸹证明：当元素‹，，…，o‹均为奇数时，o‹o‹‹o‹o‹o‹o‹因为䁃点‹点点点o‹，所以‸⸹‸点点点⸹，‹o‹o‹o‹对‸⸹中任意个元素，不妨设为点点点，因为数组具有性质，所以对于‹点点点，存在一种分法：将其分为两组，每组个元素，使得各组内所有元素之和相等．mo‹如果用替换上述分法中的‸m‹点点点⸹，m‹o‹o‹o‹就可以得到对于点点点的一种分法：将其分为两组，每组个元素，显然各组内所有元素之和相等，所以此时‸⸹也具有性质．当元素‹，，…，o‹均为偶数时，o‹‹‹o‹因为䁃o䁃点‹点点点o‹，所以‸⸹‸点点点⸹，‹对‸⸹中任意个元素，不妨设为点点点，因为数组具有性质，所以对于‹点点点，存在一种分法：将其分为两组，每组个元素，使得各组内所有元素之和相等，m如果用替换上述分法中的‸m‹点点点⸹，m‹就可以得到对于点点点的一种分法：将其分为两组，每组个元素，显然各组内所有元素之和相等．所以此时‸⸹也具有性质．综上所述，由数组具有性质可得‸⸹也具有性质．‸⸹证明：（1）必要性：显然成立．（2）充分性：因为数组具有性质，所以对于数组中任意个元素，存在一种分法：将个元素平均分成组，并且各组内所有元素之和等于同一个正整数，所以‸⸹ȁ均为偶数，从而元素‸＝‹点,…,o‹⸹的奇偶性相同．由‸⸹可知，如果数组具有性质，‹o‹o‹o‹o‹那么‸⸹‸点点点⸹仍具有性质，又因为，当‸＝‹点,…,o‹⸹为奇数时，o‹o‹‹䁃，当且仅当＝‹时等号成立，当‸＝‹点,…,o‹⸹为偶数时，o‹‹‹䁃o䁃댳，试卷第9页，总10页
由此得到‸⸹＝的充要条件是＝‸‹点‹点‹点‹点‹⸹，‹o‹o‹o‹o‹易知o‹䁃o䁃oo䁃‹oooo‹，当且仅当‹＝＝…＝o‹＝‹时等号成立，即o‹⩽（‸⸹）⩽‸⸹，当且仅当‹＝＝…＝o‹＝‹时等号成立，令点‸⸹点m，‹mo‹假设对于任意的m，有‸⸹，则（‸⸹）댳‸⸹，mmmmo‹又‹点䁃，得（‸m⸹）⩽‸m⸹ȁ‹，即‸mo‹⸹⩽‸m⸹ȁ‹，得‸⸹‸‹⸹ȁ‹点，‸m⸹⩽‸mȁ‹⸹ȁ‹，所以‸m⸹⩽‸‹⸹ȁ‸mȁ‹⸹＝‸⸹ȁ‸mȁ‹⸹，且‸m⸹单调递减，又因为‸m⸹⩾o‹，矛盾，所以存在m，有‸⸹，mm又由结论‹，得此时m‸‹点‹点‹点‹点‹⸹，上述过程倒推回去，因为数组m‸m＝‹点,…,m⸹均具有性质，即数组m中元素‸＝‹点,…,o‹⸹，的奇偶性相同，可得数组m中的所有元素都相同，所以，数组‹＝中的元素均相同，即‹＝＝…＝o‹．试卷第10页，总10页
