2019-2020学年北京市某校高三（上）开学数学试卷（9月份）一、选择题：（共8小题；共40分）)1.设集合M={x|x2=x}，N={x|lgx≤0}，则M∪N=( )A.[0, 1]B.(0, 1]C.[0, 1)D.(-∞, 1]2.设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1+x2>0，则f(x1)+f(x2)的值（）A.恒为负值B.恒等于零C.恒为正值D.无法确定正负3.函数f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示，则（）A.12为f(x)的极大值点B.-2为f(x)的极大值点C.2为f(x)的极大值D.45为f(x)的极小值点4.α是第四象限角，cosα=1213，则sinα=（）A.513B.-513C.512D.-5125.设{an}是等差数列，下列结论中正确的是（）A.若a1+a2>0，则a2+a3>0B.若a1+a2<0，则a2+a3<0C.若0<a1<a2，则a2>a1a3D.若a1<0，则(a2-a1)(a2-a3)<06.已知{an}中，an=n2+λn，且{an}是递增数列，则实数λ的取值范围是（）A.(-2, +∞)B.[-2, +∞)C.(-3, +∞)D.[-3, +∞)7.如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=120∘，AB=AD=1．若点E为边CD上的动点，则AE→⋅BE→的最小值为( )A.2116B.32C.2516D.3试卷第7页，总7页, 8.设函数f(x)=ex(2x-1)-ax+a，其中a<1，若存在唯一的整数x0使得f(x0)<0，则a的取值范围是( )A.[-32e,1)B.[-32e,34)C.[32e,34)D.[32e,1)二、填空题（共6小题；共30分）)9.已知loga2＝m，loga3＝n，求a2m+n＝________．10.已知a→=(1,t)，b→=(t,4)，若a→//b→，则t=________．11.在等比数列{an}中，a1=12，a4=-4，则公比q=________；|a1|+|a2|+...+|an|=________．12.设函数f(x)=cos(ωx-π6)(ω>0)，若f(x)≤f(π4)对任意的实数x都成立，则ω的最小值为________．13.定义在R上的函数f(x)＝2ax+b，其中实数a，b∈(0, +∞)．若对任意的x∈[-12,12]，不等式|f(x)|≤2恒成立，写出满足条件的一组(a, b)的值________．14.甲、乙、丙三人一起进行羽毛球训练，每局两人比赛，另一人休息，三人约定每一局的输者下一局休息．训练结束时统计结果如下，甲共休息了2局，乙共打了8局，丙共打了5局，则这次训练的总局数为________；其中第9局比赛的两人是________三、解答题（共6小题；共80分）)15.已知等差数列{an}满足a1＝1，a5＝a2+6．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若{an}的前n项和为Sn，求数列{Snn}与数列{an}的前100项中的所有相同项的和．16.已知函数f(x)=3sinxcosx+cos2x．（1）写出函数f(x)的最小正周期和单调增区间；（2）若函数f(x)的图象关于直线x＝x0对称，且0<x0<1，求x0的值．17.在平面四边形abcd中，∠adc＝90∘，∠a＝45∘，ab＝2，bd＝5．（1）求cos∠adb；（2）若dc＝22，求bc．18.已知函数f(x)=12x2，g(x)＝alnx．（1）若曲线y＝f(x)-g(x)在x＝1处的切线的方程为6x-2y-5＝0，求实数a的值；（2）设h(x)＝f(x)+g(x)，若对任意两个不等的正数x1，x2，都有h(x1)-h(x2)x1-x2>2恒成立，求实数a的取值范围．19.已知f(x)＝(ax2+ax+x+a)e-x(a≤0)．（1）讨论y＝f(x)的单调性；（2）当a＝0时，若f(x1)＝f(x2) (x1≠x2)，求证x1+x2>2．20.已知数列{an}满足若a1>0，an+1=2an,0<an≤11-1an,an>1 ．（1）若a6=43，求a4的值；试卷第7页，总7页, （2）是否存在n∈N*，使得若an+an+1＝an+2成立？若存在，求出n的值；若不存在，说明理由；（3）求证：若a1∈Q，则存在k∈N*，ak＝1．试卷第7页，总7页, 参考答案与试题解析2019-2020学年北京市某校高三（上）开学数学试卷（9月份）一、选择题：（共8小题；共40分）1.A2.A3.A4.B5.C6.C7.A8.D二、填空题（共6小题；共30分）9.1210.t=-2或t=211.-2,2n-1-1212.2313.(1, 1)14.11,甲和乙三、解答题（共6小题；共80分）15.设公差为d的等差数列{an}满足a1＝1，a5＝a2+6．所以a1+4d＝a1+d+6，解得d＝2．所以an＝1+2(n-1)＝2n-1．数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝1+3+5+...+(2n-1)=n(2n-1)2=n2，所以Snn=n2n=n，所以数列{Snn}与数列{an}的前100项中的所有相同的项为：1，3，5，7，…，99．故T=1+3+⋯+99=50(99+1)2=2500．16.f(x)=3sinxcosx+cos2x=32sin2x+12cos2x+12=sin(2x+π6)+12，∴T=2π2=π．由2kπ-π2≤2x+π6≤2kπ+π2(k∈Z)，得kπ-π3≤x≤kπ+π6(k∈Z)．∴y的单调递增区间为[kπ-π3, kπ+π6](k∈Z)．试卷第7页，总7页, ∵f(x)的图象关于直线x＝x0对称，∴2x0+π6=kπ+π2，x0=kπ2+π6(k∈Z)．∵0<x0<1，∴x0=π6．17.∵∠adc＝90∘，∠a＝45∘，ab＝2，bd＝5．∴由正弦定理得：absin∠adb=bdsin∠a，即2sin∠adb=5sin45，∴sin∠adb=2sin455=25，∵ab<bd，∴∠adb<∠a，∴cos∠adb=1-(25)2=235．∵∠adc＝90∘，∴cos∠bdc＝sin∠adb=25，∵dc＝22，∴bc=bd2+dc2-2×bd×dc×cos∠bdc=25+8-2×5×22×25=5．18.y＝f(x)-g(x)=12x2-alnx的导数为y'＝x-ax，曲线y＝f(x)-g(x)在x＝1处的切线斜率为k＝1-a，由切线的方程为6x-2y-5＝0，可得1-a＝3，解得a＝-2；h(x)＝f(x)+g(x)=12x2+alnx，对任意两个不等的正数x1，x2，都有h(x1)-h(x2)x1-x2>2恒成立，即[h(x1)-2x1]-[h(x2)-2x2]x1-x2>0，令m(x)＝h(x)-2x，则m(x)在(0, +∞)递增，故m'(x)＝h'(x)-2＝x+ax-2≥0恒成立，即a≥x(2-x)恒成立，因为x(2-x)＝-(x-1)2+1≤1，所以a≥1，即a的取值范围是[1, +∞)．19.由已知得：x∈R，f'(x)=-(ax+1)(x-1)ex，若a＝0，当x<1时，f'(x)>0，当x>1时，f'(x)<0，∴f(x)在(-∞, 1)递增，在(1, +∞)递减，若-1<a<0时，-1a>1，∴f(x)在(-∞, 1)与(-1a, +∞)试卷第7页，总7页, 递增，在(1, -1a)递减，若a＝-1，f'(x)≤0，∴f(x)在R递减，若a<-1，时，则-1a<1，∴f(x)在(-∞, -1a)与(1, +∞)递增，在(-1a, 1)递减，综上：若a＝0，f(x)在(-∞, 1)递增，在(1, +∞)递减，-1<a<0时，f(x)在(-∞, 1="">2，只需证明 x1>2-x2，由f(x)在(-∞, 1)递增，即证f(x2)>f(2-x2)，即证2-x2e2-x2<x2ex2，即证x2>(2-x2)e2x2-2，令g(t)＝t-(2-t)e2t-2(t>1)，g'(t)＝1+(2t-3)e2t-2，g″(t)＝(4t-4)e2t-2>0，∴g'(t)在(1, +∞)递增，g'(t)>g'(1)＝0，∴g(t)在(1, +∞)递增，g(t)>g(2)＝0，∴g(t)在(1, +∞)上恒大于0，即x2>(2-x2)e2x2-2，即x1+x2>2．20.∵a6=43，∴2a5=43，解得：a5=23．∴2a4=23或1-1a4=23，解得a4=13或3．假设存在n∈N*，使得若an+an+1＝an+2．①若an∈(0, 12]，则an+1＝2an，an+2＝4an，于是an+2an＝4an，解得an＝0，舍去．②若an∈(12, 1]，则an+1＝2an，an+2＝1-12an，于是an+2an＝1-12an，无解，舍去．③若an∈(1, +∞)，则an+1＝1-1an，an+2＝2(1-1an)，于是an+(1-1an)＝2(1-1an)，无解，舍去．综上可得：假设不成立，即不存在n∈N*，使得若an+an+1＝an+2．试卷第7页，总7页, 证明：①若a1＝1，则a2＝2，a3＝1-12=12，a4＝1，……，可得存在n＝3k-2，使得a3k-2＝1，k∈N*．②由①可得：a1＝2，12时，都存在k∈N*，ak＝1．③若a1∈Q，a1≠1，2，12时．若a1>1，由an+1＝1-1an，可以转化为0<an≤1，因此只考虑a1∈(0, 1="">3，分母总可以转化为3．例如：a1=15，a2=25，a3=45，a4=85，a5=38，a6=34，a7=32，a8=13，不妨设a1=13，则a2=23，a3=43，a4=14，a5=12，a6＝1．综上可得：存在k∈N*，ak＝1．试卷第7页，总7页</an≤1，因此只考虑a1∈(0,></x2ex2，即证x2></a<0时，f(x)在(-∞,></a<0时，-1a></x0<1，∴x0=π6．17.∵∠adc＝90∘，∠a＝45∘，ab＝2，bd＝5．∴由正弦定理得：absin∠adb=bdsin∠a，即2sin∠adb=5sin45，∴sin∠adb=2sin455=25，∵ab<bd，∴∠adb<∠a，∴cos∠adb=1-(25)2=235．∵∠adc＝90∘，∴cos∠bdc＝sin∠adb=25，∵dc＝22，∴bc=bd2+dc2-2×bd×dc×cos∠bdc=25+8-2×5×22×25=5．18.y＝f(x)-g(x)=12x2-alnx的导数为y'＝x-ax，曲线y＝f(x)-g(x)在x＝1处的切线斜率为k＝1-a，由切线的方程为6x-2y-5＝0，可得1-a＝3，解得a＝-2；h(x)＝f(x)+g(x)=12x2+alnx，对任意两个不等的正数x1，x2，都有h(x1)-h(x2)x1-x2></an≤11-1an,an></x0<1，求x0的值．17.在平面四边形abcd中，∠adc＝90∘，∠a＝45∘，ab＝2，bd＝5．（1）求cos∠adb；（2）若dc＝22，求bc．18.已知函数f(x)=12x2，g(x)＝alnx．（1）若曲线y＝f(x)-g(x)在x＝1处的切线的方程为6x-2y-5＝0，求实数a的值；（2）设h(x)＝f(x)+g(x)，若对任意两个不等的正数x1，x2，都有h(x1)-h(x2)x1-x2></a1<a2，则a2>
