2019-2020学年北京市某校高三（上）10月质检数学试卷一、选择题（本大题共8道小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请把所选答案前的字母按规定要求填涂在“答题纸”第1-8题的相应位置上）)1.已知全集U＝R，集合A={x|x+2x≤0}，则集合∁UA等于 （）A.{x|x<-2或x>0}B.{x|x≤-2或x>0}C.{x|x<-2或x≥0}D.{x|x≤-2或x≥0}2.已知角α的终边与单位圆交于点(-32, -12)，则sinα的值为( )A.-32B.-12C.32D.123.下列函数中是奇函数，且在区间(0, +∞)上是增函数的是（）A.y=1xB.y＝2xC.y＝x+1xD.y＝x-1x4.为了得到函数y＝cos(12x+π3)的图象，只要把y＝cos12x的图象上所有的点（）A.向左平移π3个单位长度B.向右平移π3个单位长度C.向左平移2π3个单位长度D.向右平移2π3个单位长度5."lgx>lgy”是“x>y”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.如果实数集R的子集X满足任意开区间(a, b)（其中a<b）中都含有x中的元素，则称x在r中稠密，若“r的子集x在r中不稠密”则（）a.任意开区间都不含有x中的点b.存在开区间不含有x中的点c.任意开区间都含有x的补集中的点d.存在开区闻含有x的补集中的点7.函数f(x)＝xsin2x+cosx的大致图象有可能是（）a.试卷第7页，总8页, b.c.d.8.="">0)的根为x1，x2(x1<x2)，关于x的方程f(x)=4m+1(m≠4m+1)的为x3，x4(x3<x4)，当m变化时，|x4-x2x3-x1|的最小值为（）a.162b.8c.82d.16二、填空题（本大题共6道小题，每小题5分，共30分，请将每道题的最简答案填写在“答题纸“第9-14题的相应位置上.）)9.已知向量a→=(2, 3="">0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，则f(x)＝________．试卷第7页，总8页, 12.如图所示，某游乐园内摩天轮的中心O点距地面的高度为50m，摩天轮做匀速运动．摩天轮上的一点P自最低点A点起，经过tmin后，点P的高度h=40sin(π6t-π2)+50（单位：m），那么在摩天轮转动一圈的过程中，点P的高度在距地面70m以上的时间将持续4min．13.如图，在△ABC中，BO为边AC上的中线，BG→=2GO→，设CD→ // AG→，若AD→=15AB→+λAC→(λ∈R)，则λ的值为________．14.已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体：存在非零常数T，对任掌x∈R．有f(x+T)＝Tf(x)成立．（1）给出下列两个函数：f1(x)＝x，f2(x)＝ax(0<a<1)其中属于集合m的函数是________．（2）若函数f(x)＝sinkx∈m，则实数k的取值集合为________．三、解答题（本大题共6道小题，共80分.解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程；请将解的答案填写在“答题纸”第15-20题的相应位置上）)15.已知函数f(x)＝23sinxcosx+cos2x-sin2x+a(x∈r)的最大值为5．(ⅰ)求a的值和f(x)的最小正周期；(ⅱ)求f(x)的单调增区间．16.如图，在平面四边形abcd中，da⊥ab，de＝1，ec=7，ea＝2，∠adc=2π3，∠bec=π3．(ⅰ)求sin∠ced的值；(ⅱ)求be的长．17.在一张足够大的纸板上截取一个面积为3600平方厘米的矩形纸板abcd试卷第7页，总8页,>0，所以f(x)在(0, 10)上单调递增；当10<x<30时，f'(x)<0，所以f(x)在(10, 30="">0时，令f'(x)>0，解得x<-a2或x>a2；令f'(x)<0，解得-a2<x<a2；故此时函数f(x)在(-∞,-a2),(a2,+∞)上递增，在(-a2,a2)上递减，要使函数f(x)的图象与直线y＝2只有一个公共点，则只需f(-a2)<2，即43×(-a38)-a2×(-a2)-1<2，解得a<323，故此时0<a<323；当a<0时，令f'(x)>0，解得x<a2或x>-a2；令f'(x)<0试卷第7页，总8页, ，解得a2<x<-a2，故此时函数f(x)在(-∞,a2),(-a2,+∞)上递增，在(a2,-a2)上递减，要使函数f(x)的图象与直线y＝2只有一个公共点，则只需g(a2)<2，即43×a38-a2×a2-1<2，解得a>-323，故此时-323<a<0，综上，实数a的取值范围为(-323,+∞)．19.（1）由f(x)＝xlnx+ax得：f'(x)＝lnx+a+1．当a＝1时，f'(x)＝lnx+2，f(1)＝1，f'(1)＝2，求得切线方程为y＝2x-1（2）令f'(x)＝0，得x＝e-（a+1），∴当e-（a+1）≤1e，即a≥0时，x∈[1e, e="">0，f(x)单增，此时f(x)min＝f(e-（a+1）)＝-e-（a+1），(Ⅲ)g'(x)＝f'(x)+ax-(2a+1)＝lnx+a(x-1)，∴当a≥0时，x∈(1, 2)时lnx>0，a(x-1)≥0，g'(x)>0恒成立，函数y＝g(x)在x∈(1, 2)时单调递增，充分条件成立；又当a=-12时，代入g'(x)＝lnx-12x+12，设h(x)＝g'(x)＝lnx-12x+12，x∈(1, 2)，则h'(x)=2-x2x>0恒成立∴当x∈(1, 2)时，h(x)单调递增．又h(1)＝0，∴当x∈(1, 2)时，h(x)>0恒成立．而h(x)＝g'(x)，∴当x∈(1, 2)时，g'(x)>0恒成立，函数y＝g(x)单调递增．∴必要条件不成立综上，a≥0是函数y＝g(x)在x∈(1, 2)时单调递增的充分不必要条件．试卷第7页，总8页, 20.（1）由题意，可写出如下的完美数表：11-11此时，p12＝a11a21+a12a22＝1×(-1)+1×1＝0，∴此完美数表符合条件．（2）证明：假设存在10行10列的完美数表A．根据完美数表的定义，可以得到以下两个结论：（1）把完美数表的任何一列的数变为其相反数（即+1均变为-1，而-1均变为+1），得到的新数表是完美数表；（2）交换完美数表的任意两列，得到的新数表也是完美数表．完美数表A反复经过上述两个结论的变换，前三行可以为如下形式：1…11…11…11…11…11…1-1…-1-1…-11…1-1…-11…1-1…-1⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮} x } y } z } w 在这个新数表中，设前三行中的数均为1的有x列，前三行中“第1，2行中的数为1，且第3行中的数为-1”的有y列，前三行中“第1，3行中的数为1，且第2行中的数为-1”的有z列，前三行中“第1行中的数为1，且第2，3行中的数为-1”的有w列（如上表所示），则x+y+z+w＝10①由p12＝0，得x+y＝z+w； ②由p13＝0，得x+z＝y+w； ③由p23＝0，得x+w＝y+z．④解方程组①，②，③，④，得x=y=z=w=52．这与x，y，z，w∈N矛盾，所以不存在10行10列的完美数表．(Ⅲ)证明：记第1列前l行中的数的和a11+a21+...+al1＝X1，第2列前l行中的数的和a12+a22+...+al2＝X2，……，第n列前l行中的数的和a1n+a2n+...+aln＝Xn，∵对于任意的i＝1，2，…，l和j＝1，2，…，k，都有aij＝1，∴X1=X2=⋯=Xk=l．又∵对于任意s，t(s≠t)，都有pst＝0，∴X12+X22+⋯+Xn2=ln．又∵X12+X22+⋯+Xn2≥X12+X22+⋯+Xk2=l2k，∴ln≥l2k，即kl≤n．试卷第7页，总8页</a<0，综上，实数a的取值范围为(-323,+∞)．19.（1）由f(x)＝xlnx+ax得：f'(x)＝lnx+a+1．当a＝1时，f'(x)＝lnx+2，f(1)＝1，f'(1)＝2，求得切线方程为y＝2x-1（2）令f'(x)＝0，得x＝e-（a+1），∴当e-（a+1）≤1e，即a≥0时，x∈[1e,></x<-a2，故此时函数f(x)在(-∞,a2),(-a2,+∞)上递增，在(a2,-a2)上递减，要使函数f(x)的图象与直线y＝2只有一个公共点，则只需g(a2)<2，即43×a38-a2×a2-1<2，解得a></a2或x></x<a2；故此时函数f(x)在(-∞,-a2),(a2,+∞)上递增，在(-a2,a2)上递减，要使函数f(x)的图象与直线y＝2只有一个公共点，则只需f(-a2)<2，即43×(-a38)-a2×(-a2)-1<2，解得a<323，故此时0<a<323；当a<0时，令f'(x)></x<30时，f'(x)<0，所以f(x)在(10,></a<1)其中属于集合m的函数是________．（2）若函数f(x)＝sinkx∈m，则实数k的取值集合为________．三、解答题（本大题共6道小题，共80分.解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程；请将解的答案填写在“答题纸”第15-20题的相应位置上）)15.已知函数f(x)＝23sinxcosx+cos2x-sin2x+a(x∈r)的最大值为5．(ⅰ)求a的值和f(x)的最小正周期；(ⅱ)求f(x)的单调增区间．16.如图，在平面四边形abcd中，da⊥ab，de＝1，ec=7，ea＝2，∠adc=2π3，∠bec=π3．(ⅰ)求sin∠ced的值；(ⅱ)求be的长．17.在一张足够大的纸板上截取一个面积为3600平方厘米的矩形纸板abcd试卷第7页，总8页,></x2)，关于x的方程f(x)=4m+1(m≠4m+1)的为x3，x4(x3<x4)，当m变化时，|x4-x2x3-x1|的最小值为（）a.162b.8c.82d.16二、填空题（本大题共6道小题，每小题5分，共30分，请将每道题的最简答案填写在“答题纸“第9-14题的相应位置上.）)9.已知向量a→=(2,></b）中都含有x中的元素，则称x在r中稠密，若“r的子集x在r中不稠密”则（）a.任意开区间都不含有x中的点b.存在开区间不含有x中的点c.任意开区间都含有x的补集中的点d.存在开区闻含有x的补集中的点7.函数f(x)＝xsin2x+cosx的大致图象有可能是（）a.试卷第7页，总8页,>
