绝密★启用前安康市2021-2022学年高二上学期期中联考理科数学本试卷共4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合，，则（）A.B.C.D.2.设，，，则（）A.B.C.D.3.平行于直线l：，且与l的距离为的直线的方程为（）A.B.或C.D.或4.已知点，，直线l过点且与线段相交，则直线l的倾斜角的取值范围是（）A.B.C.D.5.已知单位向量，满足，则下列结论正确的是（）A.B.C.D.与的夹角为60°6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A.B.C.D.7.已知l，m，n为三条不同直线，，，为三个不同平面，则下列命题正确的是（）A.若，，则B.若，，，则C.若，，，则D.若，，，，则8.如图，三棱锥中，M，N分别是，的中点，G为线段上一点，且，记，，，则（）A.B.C.D.9.已知菱形中，，把沿折起，使点A到达点P处，且.若E为线段中点.则异面直线与所成角的余弦值为（）A.B.C.D.10.一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等.设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为，，h，则（）A.B.C.D.
11.设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点P，则的最大值是（）A.4B.5C.6D.812.如图正方体，棱长为1，P为中点，Q为线段上的动点，过A、P、Q的平面截该正方体所得的截面记为.若，则下列结论错误的是（）A.当时，为四边形B.当时，为等腰梯形C.当时，为六边形D.当时，的面积为-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.设x，y满足约束条件，则的最大值为____________.14.我国古代有着辉煌的数学研究成果，《周髀算经》、《九章算术》《海岛算经》、《孙子算经》《缉古算经》5部专著是产生于魏晋南北朝时期的重要数学文献.某中学拟将这5部专著分成两组（一组2部，一组3部）作为“数学文化”课外阅读教材，则《九章算术》与《孙子算经》不在同一组的概率为____________.15.光线从点出发，到x轴上的点B后，被x轴反射到y轴上的点C，又被y轴反射，这时反射光线恰好过点，则直线的方程为____________.16.在正三棱椎中，M，N分别是棱，的中点，且.若侧棱，则正三棱雉外接球的表面积为____________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（10分）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，.（1）求边的垂直平分线所在的直线l的方程；（2）若的面积为5，求点C的坐标.18.（12分）
设函数，其中向量，.（1）求函数的最小正周期；（2）a，b，c分别为内角A，B，C的对边，已知，，的面积为，求的周长.19.（12分）已知数列满足，.（1）证明：数列是等比数列；（2）求数列的前n项和.20.（12分）如图，在四棱柱中，侧棱垂直于底面，且侧棱长均为4，底面是边长为2的菱形，，点M为棱的中点，点N为的中点.（1）证明：平面；（2）求点B到平面的距离.21.（12分）如图，四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱上的点.
（1）求证：；（2）若平面PAC，求二面角的大小.22.（12分）如图，在四棱锥中，，，，是等边三角形，平面平面，点M在棱上.（1）证明：平面平面；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值的最大值.理科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）题号123456789101112答案CCDABCBDABBC1.C解析：∵，，∴．2.C解析：易知，，，故选C.3.D解析：由题意设直线l的方程为，则，解得或7，故选D.4.A解析：如图，斜率，，结合图像可知当直线l与线段相交时，其倾斜角的取值范围是．
5.B解析：∵，∴，∴，∴.6.C解析：该几何体是圆柱挖去两个全等的圆锥，故体积.7.B解析：根据线面间的位置关系可知选B.8.D解析：，，，，，∴.9.A解析：取中点F，连接，，则是异面直线与所成角.如图，由题意可得，，∴，故选A.10.B解析：如图，设正三棱锥的各棱长为a，则四棱锥的各棱长也为a，，，∴，，∴．故选B．
11.B解析：由题意可知，，注意到动直线和动直线垂直，∴，∴，故（当且仅当时取“＝”），故选B.12.C解析：当时，如下图，是四边形，故A正确；当时，如下图，为等腰梯形，B正确：当时，如下图，是五边形，C错误；当时，Q与重合，取的中点F，连接，如下图，易得，且，截面为为菱形，其面积为，D正确.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.14.15.16.13.解析：作出可行域知在点处取得最大值，∴
.14.解析：将这5部专著分成两组（一组2部，一组3部）的基本事件总数，《九章算术》《孙子算经》恰好在同一组包含的基本事件个数，故所求概率为.15.解析：如图，由题设点B在原点O的左侧，直线一定过关于x轴的对称点，且一定过关于y轴的对称点，∴的方程为，即．16.解析：∵三棱锥是正三棱锥，∴（对棱互相垂直），∴.∵，，∴平面，∴平面∴，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，∴，∴，∴.三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.解析：（1）∵的三个顶点坐标分别为，，，∴线段的中点M的坐标为，∵线段的斜率为，设边的垂直平分线所在的直线l的斜率为k，则，∴边的垂直平分线所在的直线l的方程为，即.（5分）（2）∵边所在的直线方程为，，，
设边上的高为d，则点C到直线的距离为，∵的面积为，解得，∴，∴或，故点C的坐标为或.（10分）18.解析：（1），∴最小正周期．（4分）（2）由得．∵，∴，∴，∴．∵，，∴，由余弦定理得，∴，∴的周长为．（12分）19．解析：（1）由得，∵，∴数列是首项为1，公比为4的等比数列．（5分）（2）由（1）可知，∴，∴.（12分）20.解析:（1）如图，延长交的延长线于点G，连接.∵M是的中点，∴M为的中点.∵N是的中点，∴，
∵平面，平面，∴平面.（5分）（或证）（2）如图，过D作，垂足为E.∵平面，平面，∴平面平面.∵平面平面，，∴平面.易知，即平面与平面的距离为.连接，，设点B到平面的距离为d.由题可知，，，在中，可知.∴，解得.（12分）21.解析：（1）连接，设交于O，由题意知平面.以O为坐标原点，，，分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图空间直角坐标系.设底面边长为a，则，，，，，，∴，∴，∴.（6分）
（2）由题设知，平面的一个法向量，平面的一个法向量.设所求二面角为，则，故所求二面角的大小为30°.（12分）22.解析：（1）取中点为O，连接.∵是等边三角形，∴.∵平面平面且相交于，∴平面，∴.∵，，∴.∵，∴平面.∵平面，∴平面平面.（5分）（2）以O为原点，过O作的平行线，分别以，，为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.设，则，，，，则，设平面的法向量为，
则，令得.∵M在棱上，∴设，，∴，设直线与平面所成角为，则，∴当时，取最大值.（12分）
