安康市2021-2022学年高二上学期期中联考文科数学本试卷共4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合，，则（）A.B.C.D.2.设，，，则（）A.B.C.D.3.若直线l将圆平分，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为（）A.B.C.或D.或4.已知点，，直线l过点且与线段相交，则直线l的斜率的取值范围是（）A.B.C.D.5.已知单位向量，满足，则下列结论正确的是（）A.B.C.D.与的夹角为60°6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A.B.C.D.7.已知l，m，n为三条不同直线，，，为三个不同平面，则下列命题正确的是（）A.若，，则B.若，，，则C.若，，，则D.若，，，，则8.直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆上，则面积的最小值为（）A.6B.C.12D.9.已知菱形中，，把沿折起，使点A到达点P处，且.若E为线段中点.则异面直线与所成角的余弦值为（）A.B.C.D.10.已知圆M：（）截直线所得线段的长度为，则圆M与圆N：的位置关系是（）A.内切B.外切C.相交D.相离11.一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等.设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为，，h，则（）A.B.C.D.12.已知圆C：和点，若圆C上存在两点A，B，使得，则实数t的取值范围是（）A.B.C.D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.设x，y满足约束条件，则的最大值为____________.14.我国古代有着辉煌的数学研究成果，《周髀算经》、《九章算术》《海岛算经》、《孙子算经》《缉古算经》5部专著是产生于魏晋南北朝时期的重要数学文献.某中学拟将这5部专著分成两组（一组2部，一组3部）作为“数学文化”课外阅读教材，则《九章算术》与《孙子算经》不在同一组的概率为____________.15.若直线l：与圆C：相交于A，B两点，则弦长的最小值为__________.16.在正三棱椎中，M，N分别是棱，的中点，且.若侧棱，则正三棱雉外接球的表面积为__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（10分）如图，四棱锥的底面为菱形，，E，F分别为，的中点.（1）证明：平面；（2）证明：平面平面.18.（12分）设函数.（1）求函数的最小正周期；（2）a，b，c分别为内角A，B，C的对边，已知，，的面积为，求的周长.19.（12分）已知数列满足，.（1）证明：数列是等比数列；
（2）求数列的前n项和.20.（12分）已知圆C过点，，圆心C在直线上.（1）求圆C的方程；（2）若D在直线上，过点D作圆C的切线，求切线长的最小值.21.（12分）如图，三棱柱中，侧棱垂直底面，，，D是棱的中点.（1）证明：平面平面；（2）平面分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.22.（12分）已知过点且斜率为k的直线l与圆C：交于M，N两点.（1）求的取值范围；（2）若，其中O为坐标原点，求.文科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）题号123456789101112答案CCDABCBAABBD1.C解析：∵，，∴．2.C解析：易知，，，故选C.
3.D解析：由题意可得直线l过圆心，当l过原点时，其方程为；当l不过原点时，设l：，则，此时方程为.4.A解析：如图，斜率，，结合图像可知当直线l与线段相交时，其斜率的取值范围是．5.B解析：∵，∴，∴，∴.6.C解析：该几何体是圆柱挖去两个全等的圆锥，故体积.7.B解析：根据线面间的位置关系可知选B.8.A解析：，，∴，圆的圆心到直线的距离，∴P到距离的最小值为，∴面积的最小值为.9.A解析：解析：取中点F，连接，，则是异面直线与所成角.如图，由题意可得，，∴，故选A.10.B解析：由已知可得圆心到直线的距离，解得，∴圆心，半径.∵，半径，∴，∴圆M与圆N外切．
11.B解析：如图，设正三棱锥的各棱长为a，则四棱锥的各棱长也为a，，，∴，，∴．故选B．12.D解析：过M作圆C的两条切线、，若圆C上存在两点A，B，使得，则需满足，即，∴，解得.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.14.15.416.13.作出可行域知在点处取得最大值，∴.14.解析：将这5部专著分成两组（一组2部，一组3部）的基本事件总数，《九
章算术》《孙子算经》恰好在同一组包含的基本事件个数，故所求概率为.15.4解析：直线l：过定点，圆C：，圆心，半径.∵，∴P在圆C内部，∴当直线l与垂直时，最小为.16.解析：∵三棱锥是正三棱锥，∴（对棱互相垂直），∴.∵，，∴平面，∴平面∴，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，∴，∴，∴.三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．证明：（1）取的中点G，连接，，∵F是的中点，∴，，∵底面是菱形，E是中点，∴，，∴，且，∴四边形是平行四边形，∴，∵平面，平面，∴平面.（5分）（2）设，则O是中点，∵底面是菱形，∴，
∵，O是中点，∴，∵，平面，平面，∴平面，∵平面，∴平面平面.（10分）18.解析：（1），∴最小正周期．（4分）（2）由得．∵，∴，∴，∴．∵，，∴，由余弦定理得，∴，∴的周长为．（12分）19．解析：（1）由得，∵，∴数列是首项为1，公比为4的等比数列．（5分）（2）由（1）可知，∴，∴.（12分）20.解析：（1）由题意可设圆的圆心，半径为r，∵，∴，解得，∴圆心，半径，∴圆C的方程为.（5分）（2）过点D向圆C作切线，如图，
则，要使得切线长最短，即使得最短，的最小值为点C到直线的距离.点C到直线的距离为.，∴切线长的最小值为5.（12分）21.解析：（1）∵，，，∴平面，∵平面，∴，由题设知，∴，即，∵，∴平面，∵平面，∴平面平面.（6分）（2）设棱锥的体积为，，则，∵三棱柱的体积，∴，∴平面分此棱柱为两部分体积之比为.（12分）22.解析：（1）由已知得直线l的方程为.∵l与C交于两点，∴，解得.∴k的取值范围是．（4分）
（2）设，．将代入方程，整理得，∴，.，解得，∴l的方程为.∵圆心在直线l上，∴.（12分）
