2020-2021学年哈尔滨市五常市八年级上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.如图，在平面直角坐标系中，点A1、A2、A3…An在x轴上，B1、B2、B3…Bn在直线y=33x上，若A1(1,0)，且△A1B1A2、△A2B2A3、…△AnBnAn+1都是等边三角形，从左到右的小三角形(阴影部分)的面积分别记为S1、S2、S3、…、Sn.则Sn可表示为( )A.22n3B.22n-13C.22n-23D.22n-332.若点P的坐标为(3,4)，则点P关于x轴对称点的点P'的坐标为( )A.(4,-3)B.(3,-4)C.(-4,3)D.(-3,4)3.下列计算正确的是( )A.+ =B.÷=C.=6D.=±44.下列各式中，与分式ax+bxa2-b2相等的是( )A.2xa+bB.xa-bC.2xa-bD.xa+b5.常见的四个汽车标志图中，既是中心对成又是轴对称图形的为( )A.B.C.D.6.下面每组数分别是三根小木棒的长度，用它们不能摆成一个三角形的是( )A.5cm，10cm，5cmB.7cm，8cm，9cm,C.3cm，4cm，5cmD.6cm，20cm，20cm7.如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定门框ABCD，使其不变形，这种做法的根据是( )A.两点之间线段最短B.矩形的对称性C.矩形的四个角都是直角D.三角形的稳定性8.如图，在△ABC和△DEC中，已知AB=DE，∠A=∠D，还需添加一个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的条件是( )A.∠ECB=∠DCAB.BC=ECC.∠B=∠ED.DC=AC9.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，AD是△ABC的一条角平分线．若CD=3，则△ABD的面积为( )A.15B.30C.12D.1010.下列说法正确的是( )A.按角分类，三角形可以分为钝角三角形、锐角三角形和等腰直角三角形B.按边分类，三角形可分为等腰三角形、不等边三角形和等边三角形C.钝角三角形的三条高交于一点D.一个三角形中至少有一个内角不大于60°二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）11.用科学记数法表示0.000 507，应记作______．,12.颐和园坐落在北京西郊，是第一批全国重点文物保护单位之一．小万去颐和园参加实践活动时发现有的窗户造型是正八边形，如下图所示，则∠1=______°.13.如图，在△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，AC=8cm，CD=5cm，那么D点到直线BC的距离DE等于______cm．14.填空：(1)(2a+b)2=______；(2)(2x+3y)2=______；(3)(2a2-3b)2=______；(4)(4a2-13b)2=______；(5)(-12a+4)2=______；(6)(-5a-15b)2=______；(7)(a+b)2-(a-b)2=______；(8)1992=______=______．15.关于的x方程mx-5=1的解是正数，则m的取值范围是______．16.分解因式x 3y 3-xy=________.17.设a、b、c、d、e的值均为0、1、2中之一，且a+b+c+d+e=6，a2+b2+c2+d2+e2=10，则a3+b3+c3+d3+e3的值为______．18.等腰△ABC中，当顶角A的大小确定时，它的对边BC与邻边(腰AB或AC)的比值确定，记为f(A)，易得f(60°)=1.若α是等腰三角形的顶角，则f(α)的取值范围是______．19.△ABC是等腰三角形，顶角为120°，腰长为203cm，则底边上的高AD的长为______cm．,20.若m+n=8，mn=11，则m2-mn+n2的值是______．三、解答题（本大题共7小题，共60.0分）21.已知3x2+2x-1=0，求代数式3x(x+2)+(x-2)2-(x-1)(x+1)的值．22.如图所示，已知A、B两个村庄的坐标分别为A(2,1)、B(5,3).一辆汽车从原点O出发，在x轴上向正方向行驶．(1)在图中画出汽车离A村最近的点C及其坐标；(2)在图中画出汽车离B村最近的点D及其坐标；(3)若汽车行驶到点E时到两个村庄的距离和最小，在图中请标出点E的位置，并求出汽车到两个村庄距离之和的最小值．23.请在下列两个小题中，任选其一完成即可．(1)2-2-2cos60°+|-12|+(π-3.14)0(2)(x+8x2-4-2x-2)÷x-4x2-4x+4．24.如图，已知△ABC，按如下步骤作图：①分别以A，C为圆心，大于12AC的长为半径画弧，两弧交于P，Q两点．②作直线PQ，分别交AB，AC于点E，D，连接CE．,③过C作CF//AB交PQ于点F，连接AF．(1)若∠BAC=30°，求∠AFC的度数．(2)由以上作图可知，四边形AECF是菱形，请说明理由．25.某公司计划购买抑菌洗手液和酒精，已知购买一瓶抑菌洗手液比购买一瓶酒精多用20元，若用400元购买抑菌洗手液和用160元购买酒精，则购买抑菌洗手液的瓶数是购买酒精瓶数的一半．(1)求购买一瓶抑菌洗手液、一瓶酒精各需要多少元？(2)若有购买一瓶抑菌洗手液赠送一瓶酒精的优惠，如果公司需要酒精的瓶数是抑菌洗手液瓶数的2倍还多8个，且该公司购买抑菌洗手液和酒精的总费用不超过670元，那么公司最多可购买多少瓶抑菌洗手液？26.如图，AE，DE，BF，CF分别是四边形ABCD(四边不相等)的内角平分线，AE，BF交于点G，DE，CF交于点H．(1)探索∠FGE与∠FHE有怎样的数量关系，并说明理由；(2)∠FGE与∠FHE有没有可能相等？若相等，则四边形ABCD的边有何结论？请说明理由．27.如图，已知△ABC是等边三角形．(1)如图(1)，点E在线段AB上，点D在射线CB上，且ED=EC.将△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF，连接EF.猜想线段AB，DB，AF之间的数量关系；(2)点E在线段BA的延长线上，其它条件与(1)中一致，请在图(2)的基础上将图形补充完整，并猜想线段AB，DB，AF之间的数量关系；(3)请选择(1)或(2)中的一个猜想进行证明．,,参考答案及解析1.答案：D解析：直线y=33x与x轴的成角∠B1OA1=30°，可得∠OB2A2=30°，…，∠OBnAn=30°，∠OB1A2=90°，…，∠OBnAn+1=90°；根据等腰三角形的性质可知A1B1=1，B2A2=OA2=2，B3A3=4，…，BnAn=2n-1；根据勾股定理可得B1B2=3，B2B3=23，…，BnBn+1=2n-13，再由面积公式即可求解．本题考查一次函数的图象及性质，等边三角形和直角三角形的性质；能够判断阴影三角形是直角三角形，并求出每边长是解题的关键．解：∵△A1B1A2、△A2B2A3、…△AnBnAn+1都是等边三角形，∴A1B1//A2B2//A3B3//…//AnBn，B1A2//B2A3//B3A4//…//BnAn+1，∵直线y=33x与x轴的成角∠B1OA1=30°，∠OA1B1=120°，∴∠OB1A1=30°，∴OA1=A1B1，∵A1(1,0)，∴A1B1=1，同理∠OB2A2=30°，…，∠OBnAn=30°，∴B2A2=OA2=2，B3A3=4，…，BnAn=2n-1，易得∠OB1A2=90°，…，∠OBnAn+1=90°，∴B1B2=3，B2B3=23，…，BnBn+1=2n-13，∴S1=12×1×3=32，S2=12×2×23=23，…，Sn=12×2n-1×2n-13=22n-33；故选D． 2.答案：B解析：解：∵点P的坐标为(3,4)，∴点P关于x轴对称点的点P'的坐标为(3,-4)，故选：B．根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案．此题主要考查了关于x轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标特点．,3.答案：B解析：解：A、 3与 不是同类项，不能合并，故A选项错误；B、根据二次根式的运算法则可得：，故B选项正确； C、根据二次根式的运算法则可得：，故C选项错误；D、根据二次根式的运算法则可得：，故D选项错误．故应选B．4.答案：B解析：解：原式=x(a+b)(a+b)(a-b)=xa-b，故选：B．根据分式的基本性质即可求出答案．本题考查了分式的基本性质，解题的关键是正确理解分式的基本性质，本题属于基础题型．5.答案：D解析：解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；故选：D．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．6.答案：A解析：根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，即两短边的和大于最长的边，即可作出判断．本题主要考查了三角形的三边关系，正确理解定理是解题关键．解：A、5+5=10，故以这三条线段不能构成三角形，选项正确；,B、7+8>9，故以这三条线段能构成三角形，选项错误；C、3+4>5，故以这三条线段能构成三角形，选项错误；D、6+20>20，故以这三条线段可以构成三角形，选项错误．故选A． 7.答案：D解析：本题考查了三角形的稳定性，当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性.根据三角形的稳定性进行解答即可．解：工人盖房时常用木条EF固定矩形门框ABCD，使其不变形这种做法的根据是三角形的稳定性，故选D． 8.答案：B解析：解：A.∵∠ECB=∠DCA，∴∠ECB+∠ACE=∠DCA+∠ACE，即∠ACB=∠DCE，在△ABC和△DEC中∠ACB=∠DCE∠A=∠DAB=DE，∴△ABC≌△DEC(AAS)，故本选项不符合题意；B.根据BC=EC，AB=DE，∠A=∠D不能推出△ABC≌△DEC，故本选项符合题意；C.符合全等三角形的判定定理ASA，能推出△ABC≌△DEC，故本选项不符合题意；D.符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DEC，故本选项不符合题意；故选：B．根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．本题考查了全等三角形的判定定理，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL．9.答案：A解析：解：过D点作DE⊥AB于E，如图，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE=DC=3，,∴S△ABD=12×10×3=15．故选：A．过D点作DE⊥AB于E，如图，根据角平分线的性质得DE=DC=3，然后根据三角形面积公式计算S△ABD．本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．10.答案：D解析：解：A、按角分类，三角形可以分为钝角三角形、锐角三角形和直角三角形，所以A错误；B、按边分类，三角形可分为等腰三角形、不等边三角形，所以B错误；C、钝角三角形的三条高不交于一点，所以C错误；D、因为三角形的内角和等于180°，所以一个三角形中至少有一个内角不大于60°，所以D正确．故选：D．按角分类，三角形可以分为钝角三角形、锐角三角形和直角三角形；按边分类，三角形可分为等腰三角形、不等边三角形；三钝角三角形的三条高不交于一点；所以A、B、C都错误．因为三角形的内角和为180°，所以一个三角形中至少有一个内角不大于60°，正确．此题考查了三角形的分类与三角形内角和定理．解题的关键是熟练记忆定义与定理．11.答案：5.07×10-4解析：解：0.000 507=5.07×10-4．故答案为：5.07×10-4．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．12.答案：45解析：解：360°÷8=45°，故答案为：45．利用正八边形的外角和等于360度即可求出答案．本题主要考查了多边形的外角和定理，明确任何一个多边形的外角和都是360°是解题的关键．13.答案：3解析：解：∵AC=8cm，CD=5cm，,∴AD=AC-CD=8-5=3cm，∵∠A=90°，BD平分∠ABC，∴DE=AD=3cm，即D点到直线BC的距离是3cm．故答案为：3．求出AD，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=AD．本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．14.答案：4a2+4ab+b2；4x2+12xy+9y2；4a4-12a2b+9b2；16a4-83a2b+19b2；14a2-4a+16；25a2+2ab+125b2；4ab；(200-1)2；39601解析：解：(1)(2a+b)2=4a2+4ab+b2；(2)(2x+3y)2=4x2+12xy+9y2；(3)(2a2-3b)2=4a4-12a2b+9b2；(4)(4a2-13b)2=16a4-83a2b+19b2；(5)(-12a+4)2=14a2-4a+16；(6)(-5a-15b)2=25a2+2ab+125b2；(7)(a+b)2-(a-b)2=(a+b+a-b)(a+b-a+b)=4ab；(8)1992=(200-1)2=39601．故答案为：(1)4a2+4ab+b2；(2)4x2+12xy+9y2；(3)4a4-12a2b+9b2；(4)16a4-83a2b+19b2；(5)14a2-4a+16；(6)25a2+2ab+125b2；(7)4ab；(8)(200-1)2，39601；原式各项利用完全平方公式化简，计算即可得到结果．此题考查了完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键．15.答案：m>-5且m≠0解析：解：分式方程去分母得：x-5=m，解得：x=m+5，由分式方程的解为正数，得到m+5>0且m+5≠5，解得：m>-5且m≠0，故答案为：m>-5且m≠0,分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，由分式方程的解是正数，确定出m的范围即可．此题考查了解分式方程，分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．16.答案：xy(xy-1)(xy+1)解析：先提取公因式，再利用平方差公式分解即可.注意：分解因式要分解到每个因式都不能再分解为止．解：x3y3-xy=xy(x2y2-1)=xy(xy-1)(xy+1)．故填xy(xy-1)(xy+1)．17.答案：18解析：解：由题可得，a+b+c+d+e=6，a2+b2+c2+d2+e2=10有且只有一种情况可满足上述两式，即a、b、c、d、e中有2个2，2个1，1个0∴a3+b3+c3+d3+e3=23+23+1+1+0=18故答案为18．根据条件可判断a、b、c、d、e中得0、1、2分别有几个，即可解答本题．本题主要考查整式的性质，了解整式的性质是解答本题的关键．18.答案：0<f(α)<2解析：解：∵bc>AB-AC，BC<ac+ab，∴bc>0，BC<2AB，∴0<bcab<2，∴0<f(α)<2，故答案为：0<f(α)<2．根据三角形三边关系得到bc>0，BC<2AB，根据题意计算即可．本题考查的是等腰三角形的性质、三角形的三边关系，掌握三角形的三边关系定理、f(A)的定义是解题的关键．,19.答案：103解析：解：∵AD为高，∴∠ADC=90°，∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，∵AC=203cm，∴AD=12AC=103cm，故答案为：103．根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质求出∠C，再根据含30°角的直角三角形的性质求出AD=12AC，代入求出即可．本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理和含30°角的直角三角形的性质等知识点，能灵活运用性质进行推理和计算是解此题的关键．20.答案：31解析：解：∵m+n=8，mn=11，∴m2+n2=(m+n)2-2mn=82-2×11=42．∴m2-mn+n2=42-11=31．故答案是：31．利用完全平方公式可以求得(m2+n2)的值，然后整体代入所求的代数式进行求值．本题主要考查完全平方公式，熟记公式的几个变形公式对解题大有帮助．21.答案：解：3x(x+2)+(x-2)2-(x-1)(x+1)=3x2+6x+x2-4x+4-x2+1=3x2+2x+5，∵3x2+2x-1=0，∴3x2+2x=1，∴原式=1+5=6．解析：先算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可．本题考查了整式的混合运算和求值的应用，主要考查学生的计算和化简能力，用了整体代入思想．22.答案：(1)在x轴上离A村最近的地方是过A作x轴垂线的垂足，即点(2,0)；(2)离B村最近的是点(5,0)；,(3)A关于x轴的对称的点C(2,-1)，连接BC，与x轴交于点E，点E即为所求作的点，过点C做CQ//x轴，与BF的延长线交于点G，则∠G=90°，CG=DF=3，BG=4，∴AE+DE=BC=。即汽车到两个村庄距离之和的最小值为5。解析：(1)(2)根据垂线段最短的原则确定最近点的位置，表示出坐标．(3)作出点A关于x轴的对称点C，连接CB，交于x轴于点E，所以点E是满足要求的点，再根据勾股定理求出最小值即可。解：(1)在x轴上离A村最近的地方是过A作x轴垂线的垂足，即点(2,0)；(2)离B村最近的是点(5,0)；(3)A关于x轴的对称的点C(2,-1)，连接BC，与x轴交于点E，点E即为所求作的点，过点C做CQ//x轴，与BF的延长线交于点G，则∠G=90°，CG=DF=3，BG=4，,∴AE+DE=BC=。即汽车到两个村庄距离之和的最小值为5。23.答案：解：(1)2-2-2cos60°+|-12|+(π-3.14)0=14-2×12+23+1=14+23；(2)(x+8x2-4-2x-2)÷x-4x2-4x+4=[x+8(x+2)(x-2)-2(x+2)(x+2)(x-2)]÷x-4(x-2)2=-x+4(x+2)(x-2)⋅(x-2)2x-4=2-xx+2．解析：(1)根据特殊角三角函数值，绝对值的性质，非零的零次幂，可得答案；(2)根据分式的运算，可得答案．本题考查了实数的运算，熟记特殊角三角函数值，绝对值的性质，非零的零次幂是解题关键．24.答案：解：(1)由作图知：PQ为线段AC的垂直平分线，∴AE=CE，AF=CF，又∵CF//AB，∴∠EAC=∠FCA=∠ECA=∠CAF=30°，∴∠AFC=180°-∠FCA-∠CAF=120°；(2)在△AED与△AFD中，,∠AED=∠AFDAD=AD∠ADE=∠ADF，∴△AED≌△AFD，∴AE=AF，∴EC=EA=FC=FA，∴四边形AECF为菱形．解析：(1)由作图知：PQ为线段AC的垂直平分线，从而得到AE=CE，AF=CF，然后根据CF//AB得到∠EAC=∠FCA=∠ECA=∠CAF=30°，然后根据三角形的内角和定理即可得到；(2)利用ASA证得△AED≌△AFD，从而得到EC=EA=FC=FA，利用四边相等的四边形是菱形判定四边形AECF为菱形．本题考查了菱形的判定、全等的判定与性质及基本作图，三角形的内角和，解题的关键是知道通过作图能得到直线的垂直平分线．25.答案：解：(1)设购买一瓶酒精需要x元，则购买一瓶抑菌洗手液需要(x+20)元，依题意得：400x+20=12×160x，解得：x=5，经检验，x=5是原方程的解，且符合题意，∴x+20=25．答：购买一瓶抑菌洗手液需要25元，一瓶酒精需要5元．(2)设该公司购买m瓶抑菌洗手液，则购买(2m+8-m)=(m+8)瓶酒精，依题意得：25m+5(m+8)≤670，解得：m≤21．答：该公司最多可购买21瓶抑菌洗手液．解析：(1)设购买一瓶酒精需要x元，则购买一瓶抑菌洗手液需要(x+20)元，根据数量=总价÷单价，结合用400元购买抑菌洗手液的瓶数是用160元购买酒精瓶数的一半，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；(2)设该公司购买m瓶抑菌洗手液，则购买(m+8)瓶酒精，根据总价=单价×数量，结合该公司购买抑菌洗手液和酒精的总费用不超过670元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．,本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．26.答案：解：(1)∠FGE+∠FHE=180°，理由：∵AE平分∠BAD，BF平分∠ABC，∴∠GAB=12∠DAB，∠GBA=12∠CBA，∴∠FGE=∠AGB=180°-∠GAB-∠GBA=180°-12(∠DAB+∠CBA)，同理，∠FHE=180°-12(∠ADC+∠BCD)，∴∠FGE+∠FHE=360°-12(∠DAB+∠CBA+∠ADC+∠BCD)=180°；(2)∠FGE与∠FHE可能相等，此时，AD//BC，∵∠FGE=180°-12(∠DAB+∠CBA)，∠FHE=180°-12(∠ADC+∠BCD)，当∠FGE=∠FHE时，180°-12(∠DAB+∠CBA)=180°-12(∠ADC+∠BCD)，即∠DAB+∠CBA=∠ADC+∠BCD，∵四边形的内角和=360°，∴∠DAB+∠CBA=∠ADC+∠BCD=180°，∴AD//BC．解析：(1)根据角平分线的定义得到∠GAB=12∠DAB，∠GBA=12∠CBA，求得∠FGE=∠AGB=180°-∠GAB-∠GBA=180°-12(∠DAB+∠CBA)，同理，∠FHE=180°-12(∠ADC+∠BCD)，两式相加即可得到结论；(2)当∠FGE=∠FHE时，求得∠DAB+∠CBA=∠ADC+∠BCD，根据四边形的内角和即可得到结论．本题考查了多边形内角与外角，角平分线的定义，四边形的内角和，平行线的判定，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．27.答案：解：(1)猜想：AB=AF+BD； (2)如图2，猜想：AB=AF-BD； ,(3)如图(1)，过点E作EG//BC交AC于点G，得△AEG为等边三角形，∵DE=CE，∴∠CDE=∠ECD，又∵∠CDE+∠BED=∠ABC=∠ACD=∠ECD+∠GCE，∴∠BED=∠GCE，在△BDE和△GEC中，ED=EC∠BED=∠GCEBE=CG，∴△BDE≌△GEC，∴BD=EG=AE又∵AF=BE，∴AB=BE+AE=AF+BD．解析：(1)猜想：AB=AF+BD； (2)猜想：AB=AF-BD； (3)过点E作EG//BC交AC于点G，得△AEG为等边三角形，证明△BDE≌△GEC，得到BD=EG=AE又因为AF=BE，所以AB=BE+AE=AF+BD．本题考查了全等三角形的判定和性质的应用，解决本题的关键是利用数形结合，作出辅助线，证明三角形全等．</bcab<2，∴0<f(α)<2，故答案为：0<f(α)<2．根据三角形三边关系得到bc></ac+ab，∴bc></f(α)<2解析：解：∵bc>
