2020-2021学年太原市八年级上学期期末数学模拟试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.计算tan60°+tan45°的结果等于( )A.3+33B.2+32C.32D.3+12.已知等式4a=3b+5，则下列等式中不一定成立的是( )A.3b=4a-5B.4a-3=3b+2C.4ac=3bc+5D.a=0.75b+1.253.如图，直线l：y=-23x-3与直线y=a(a为常数)的交点在第四象限，则a的取值范围是( )A.a>0B.-3<a<0C.a<-3D.a<04.如图，两直线a，b被直线c所截，已知a//b，∠1=62°，则∠2的度数为( )A.62°B.108°C.118°D.128°5.下列各式成立的是( )A.18-2=22B.3+3=6C.8÷2=4D.18-82=16.下列命题中真命题是( )A.三角形按边可分为不等边三角形，等腰三角形和等边三角形B.等腰三角形任一个内角都有可能是钝角或直角C.三角形的一个外角大于任何一个内角D.三角形三条内角平分线相交于一点，这点到三角形三边的距离相等
7.在九年级一次数学单元测验中，某班一个学习小组6人的成绩(单位：分)分别为：85、87、98、70、84、87.则这组数据的中位数和众数分别是( )A.86和89B.85和86C.86和87D.87和878.若一次函数y=kx+b的图象与y轴的负半轴相交，且函数值y随自变量x的增大而增大，则函数y=bx-k的图象只能是图中的( )A.B.C.D.9.如图，圆柱的底面半径为3cm，高为4πcm，一只蚂蚁从A点沿着圆柱的侧面爬行到与点A相对的B点，则最短路线长为( )A.(6+4π)cmB.29+π2cmC.7πcmD.5πcm10.古代“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索．索比竿子长一托，折回索却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索．用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．则绳索和竿长分别为( )A.30尺和15尺B.25尺和20尺C.20尺和15尺D.15尺和10尺二、填空题（本大题共5小题，共10.0分）11.计算：364-64=______．12.已知x、y满足2x+y=9x+2y=-6，则x2-y2的值为______．13.对于命题“若a2>b2，则a>b”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是______．①a=3，b=2②a=-3，b=2
③a=3，b=-1④a=-1，b=314.如图，已知和的图象交于点P，根据图象可得关于x、y的二元一次方程组的解是 . 15.如图，将半径为2的圆形纸片按下列顺序折叠，若弧AB和弧BC都经过圆心，则阴影部分的面积是______(结果保留π)三、解答题（本大题共8小题，共60.0分）16.计算：(1)312-48(2)2×12-32+8(3)(3+1)(3-1)-16+(12)-117.解方程组：(1)y=x-23x+y=8；(2)2x+3y=53x-2y=1；
18.强强和佳佳一起去旅游，在某个景点分别乘两个热气球观光．强强坐1号热气球从海拔60m处出发，以2m/min的速度上升．与此同时，佳佳坐2号热气球从海拔120m处出发，以1m/min的速度上升．设两个热气球上升的时间均为xmin(0≤x≤80)，上升过程中达到的海拔高度分别为y1，y2．(1)直接写出y1，y2关于x的函数表达式；(2)写出两个气球海拔高度差y0关于x的函数解析式：当30≤x≤80时，两个气球所在位置的海拔最多相差多少米？19.如图，CD⊥AB，EF⊥AB，垂足分别为D，F，∠1=∠2=50°．(1)求∠BCD的大小；(2)试判断DG与BC的位置关系，并说明理由；(3)若∠A=60°，求∠AGD的度数．20.某校组织了主题为“我是青奥志愿者”的电子小报作品征集活动，先从中随机抽取了部分作品，按A，B，C，D四个等级进行评分，然后根据统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请根据图中的信息，解答下列问题： (1)求一共抽取了多少份作品？ (2)此次抽取的作品中等级为B的作品有 份，并补全条形统计图；(3)扇形统计图中等级为D的扇形圆心角的度数为 ．(4)若该校共征集到800份作品，请估计等级为A的作品约有多少份？
21.小明的妈妈在菜市场买回3斤萝卜，2斤排骨，准备做萝卜排骨汤，妈妈说：“今天买这两样菜共花了78.7元，去年这时买3斤萝卜，2斤排骨只要43元”.爸爸说：“报纸上说了萝卜的单价下降10%，排骨单价上涨90%”，请你来算算，小明妈妈去年买的萝卜和排骨的单价分别是多少？22.如图，在△ABC中，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O与BC交于点D，⊙O与AC交于点E，DF⊥AC于F，连接DE．(1)求证：D为BC中点；(2)求证：DF与⊙O相切；(3)若⊙O的半径为5，tan∠C=43，则DE=______．23.在初中，我们学习过锐角的正弦、余弦、正切和余切四种三角函数，即在图1所示的直角三角形ABC，∠A是锐角，那么sinA=∠A的对边斜边，cosA=∠A的邻边斜边，tanA=∠A的对边∠A的等边．为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义：设有一个角α，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为x轴的正半轴ox，建立直角坐标系(图2)，在角α的终边上任取一点P，它的横坐标是x，纵坐标是y，点P和原点(0,0)的距离为r=x2+y2(r总是正的)，然后把角α的三角函数规定为：sinα=yr，cosα=xr，tanα=yx，我们知道，图1的四个比值的大小与角A的大小有关，而与直角三角形的大小无关，同样图2中四个比值的大小也仅与角α的大小有关，而与点P在角α的终边位置无关．比较图1与图2，可以看出一个角的三角函数的意义的两种规定实际上是一样的，根据第二种定义回答下列问题，(1)若90°<α<180°，则角α的三角函数值sinα、cosα、tanα，其中取正值的是______；(2)若角α的终边与直线y=2x重合，则sinα+cosα的值；(3)若角α是钝角，其终边上一点P(x,2)，且cosα=13x，求tanα的值；(4)若0°≤α≤90°，则sinα+cosα的取值范围是______．
参考答案及解析1.答案：D解析：解：原式=3+1．故选：D．直接利用特殊角的三角函数值分别代入得出答案．此题主要考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．2.答案：C解析：解：A、∵3b=4a-5，∴3b+5-5=4a-5，即：3b=4a-5，故本选项成立；B、∵3b=4a-5，∴4a-3=3b+5-3，即：4a-3=3b+2，故本选项成立;C、4ac=3bc+5不一定成立；D、∵3b=4a-5，∴4a-3=3b+5-3，∴4a÷4=(3b+5)÷4，即：a=0.75b+1.25，故本选项成立．故答案是C．3.答案：C解析：解：解方程组y=-23x-3y=a，得x=-3(a+3)2y=a．∵交点在第四象限，∴-3(a+3)2≥0a<0，解得a<-3．故选：C．首先求出方程组y=-23x-3y=a的解，然后根据第四象限内点的坐标特征，列出关于a的不等式组，从而得出a的取值范围．本题主要考查了一次函数与方程组的关系及第二象限内点的坐标特征．两个一次函数图象的交点坐标就是对应的二元一次方程组的解，反之，二元一次方程组的解就是对应的两个一次函数图象的交点坐标．第四象限内点的坐标特征：横坐标大于0，纵坐标小于0．
4.答案：C解析：解：∵a//b，∠1=62°，∴∠3=∠1=62°，∴∠2=180°-∠3=118°．故选：C．根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠3的度数，又由邻补角的定义，即可求得∠2的度数．此题考查了平行线的性质与邻补角的定义．此题比较简单，解题的关键是熟练掌握两直线平行，同位角相等定理的应用．5.答案：A解析：解：18-2=32-2=22，故选项A正确；3+3=23，故选项B错误；8÷2=4=2，故选项C错误；18-82=32-222=22，故选项D错误；故选：A．根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法．6.答案：D解析：利用三角形的分类、等腰三角形的性质、三角形的外角的性质及三角形的内心的性质分别判断后即可确定正确的选项．本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解三角形的分类、等腰三角形的性质、三角形的外角的性质及三角形的内心的性质，难度不大．解：A、三角形按边可分为不等边三角形，等腰三角形，故错误，是假命题；B、等腰三角形底角不可能为直角或钝角，故错误，是假命题；C、三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角，故错误，是假命题；
D、三角形三条内角平分线相交于一点，这点到三角形三边的距离相等，故正确，是真命题．故选D． 7.答案：C解析：解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：70，84，85，87，87，98，则众数为：87，中位数为：(85+87)÷2=86．故选：C．找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．本题考查了中位数和众数的概念，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．8.答案：C解析：解：∵一次函数y=kx+b的图象与y轴的负半轴相交，且函数值y随自变量x的增大而增大，∴k>0，b<0，∴-k<0，∴y=bx-k的图象经过第二、三、四象限．结合函数图象得到C选项符合题意．故选：C．由一次函数y=kx+b的图象与y轴的负半轴相交，且函数值y随自变量x的增大而增大，可得出k>0、b<0，由此可以得到-k<0，易得答案．本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数y=kx+b(k≠0)中，当k<0，b<0时，函数的图象在第二、三、四象限是解答此题的关键．9.答案：D解析：解：把圆柱侧面展开，展开图如右图所示，点A，B的最短距离为线段AB的长，BC=4πcm，AC为底面半圆弧长，AC=3⋅π=3π，所以AB=(3π)2+(4π)2=5π(cm)．故选：D．要求最短路线，首先要把圆柱的侧面展开，利用两点间线段最短，再利用勾股定理来求．
本题的关键是要明确，要求两点间的最短线段，就要把这两点放到一个平面内，即把圆柱的侧面展开再计算．10.答案：C解析：解：设竿长x尺，绳索长y尺，根据题意得：x=y-52x=y+10．解得：x=15y=20．所以绳索长20尺，竿长15尺．故选：C．设绳索长y尺，竿长x尺，根据“用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．11.答案：-4解析：解：原式=4-8=-4．故答案为：-4．首先计算开立方和开平方，然后再计算有理数的加减即可．此题主要考查了实数的运算，关键是正确进行开立方和开平方．12.答案：15解析：解：2x+y=9①x+2y=-6②，①+②，得3x+3y=3，∴x+y=1，①-②，得x-y=15，∴x2-y2=(x+y)(x-y)=1×15=15，故答案为：15．先用第一个方程加第二个方程可以得到x+y的值，再用第一个方程减第二个方程可以得到x-y的值，然后利用平方差公式将所求式子因式分解，再将x+y、x-y的值代入即可．本题考查因式分解的应用、二元一次方程组的解、平方差公式，解答本题的关键是求出x+y、x-y的值．
13.答案：②解析：解：①a=3，b=2，满足a2>b2，a>b，不能说明命题是假命题．②a=-3，b=2，满足a2>b2，a<b，能说明命题是假命题．③a=3，b=-1，满足a2>b2，a>b，不能说明命题是假命题．④a=-1，b=3，不满足a2>b2，不能说明命题是假命题．故答案为：②通过计算判定，满足a2>b2，不满足a>b，即可．本题考查命题与定理，解题的关键是理解用反例说明命题是假命题．14.答案：解析：本题考查了一次函数与二元一次方程组，函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解进行解答．解：∵y=ax+b和y=kx的图象交于点P(-4,-2)， ∴方程组的解是 故填 ．15.答案：43π解析：解：如图，过点O作OD⊥AB于点D，连接AO，OB，OC，∵OD=12AO，∴sin∠OAD=ODAO=12∴∠OAD=30°∴∠AOB=2∠AOD=120°
同理可得∠BOC=120°，∴∠AOC=120°∵阴影部分的面积=S扇形AOC，∴阴影部分的面积=120°×π×4360=4π3故答案为：4π3由折叠的性质可得OD=12AO，即可求∠OAB=30°，∠AOB=120°，同理可求∠BOC=120°，根据周角的定义可求∠AOC=120°，根据扇形面积公式可求阴影部分的面积．本题考查了翻折变换，折叠的性质，圆的有关知识，扇形面积公式等知识，求出∠AOC的度数是本题的关键．16.答案：解：(1)原式=63-43=23；(2)原式=2×12-32+22=1-2；( 3)原式=3-1-4+2=0．解析：(1)先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；(2)先根据二次根式的乘法法则运算，然后化简后合并即可；(3)利用平方差公式、负整数指数幂的意义计算．本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．17.答案：解：(1)y=x-2 ①3x+y=8 ②，把①代入②得：3x+x-2=8，解得：x=52，将x=52代入①得：y=12，则方程组的解为x=52y=12；(2)2x+3y=5 ①3x-2y=1 ②，①×2+②×3得：13x=13，即x=1，将x=1代入①得：2+3y=5，
解得y=1，则方程组的解为x=1y=1．解析：(1)利用代入消元法求解即可；(2)利用加减消元法求解即可．此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18.答案：解：(1)y1=60+2x，y2=120+x；(2)当y1=y2时，60+2x=120+x，解得：x=60，即：x=60时，两个热气球高度相同，①当30≤x≤60时，两个气球海拔高度差y0=y2-y1=-x+60，∵y0随x的增大而减小，∴当x=30时，y0取得最大值，最大值为30m；②当60<x≤80时，y0=y1-y2=x-60，∵y0随x的增大而增大，∴当x=80时，y0取得最大值，最大值为20m，综上，当30≤x≤80时，两个气球所在位置的海拔最多相差30米．解析：(1)根据上升过程中达到的海拔高度=起始位置高度+上升的高度，可列出两函数关系式；(2)当y1=y2即x=60时，两个热气球高度相同，分30≤x≤60、60<x≤80两种情况分别结合函数性质求其最大值即可得．本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是根据题意列出函数解析式、结合一次函数性质讨论其最值情况．19.答案：证明：(1)∵CD⊥AB，EF⊥AB，∴EF//CD，∴∠1=∠DCB=50°；(2)∵∠1=∠DCB，∠1=∠2，∴∠2=∠BCD，∴DG//BC；(3)∵∠1=50°，EF⊥AB，∴∠B=40°，∵DG//BC，
∴∠ADG=∠B=40°，又∵∠A=60°，∴∠AGD=180°-∠ADG-∠A=80°．解析：(1)根据垂直于同一条直线的两直线平行，先判定EF//CD，根据两直线平行同位角相等，得∠1=∠DCB；(2)结合已知，根据等量代换可得∠DCB=∠2，从而根据内错角相等，两直线平行得证；(3)根据三角形内角和定理，可得∠B的度数，再根据平行线的性质得出∠ADG的度数，进而得到∠AGD的度数．本题主要考查了平行线的判定与性质，由角的数量关系判断两直线的位置关系，由平行关系来寻找角的数量关系是解答此题的关键．20.答案：(1) 答：一共抽取了120份作品。 (2)48份， (3) 18°(4) 答：估计等级为A级的作品约有240份。解析：试题分析：(1)结合条形统计图和扇形统计图，通过C等级的信息可求得抽取的作品的总份数(2)要求B等级的作品数量，由条形统计图知，等级A，C，D的作品份数。总份数有120份，那么B等级的作品数量为(120-36-30-6)=48份。(3)结合两个统计图可知等级D所占的比例为，则等级为D的扇形圆心角的度数为。(4)结合两个统计图可知等级A所占的比例为，那么800份作品中，A的作品约有份。(1) 答：一共抽取了120份作品。(2)48份，(3) 18°
(4)考点：统计21.答案：解：设小明妈妈去年买的萝卜的单价为x元，排骨的单价为y元，依题意，得：3x+2y=433×(1-10%)x+2×(1+90%)y=78.7，解得：x=1y=20．答：小明妈妈去年买的萝卜的单价为1元，排骨的单价为20元．解析：设小明妈妈去年买的萝卜的单价为x元，排骨的单价为y元，根据总价=单价×数量结合妈妈今天和去年买3斤萝卜、2斤排骨所花钱数，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．22.答案：(1)证明：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BC，∵AB=AC，∴D为BC中点；(2)解：连接OD，∵AO=BO，BD=CD，∴OD//AC，∴∠DFC=∠ODF，∵DF⊥AC，∴∠ODF=90°，°OD⊥DF，∴DF与⊙O相切；
(3)6．解析：(1)证明：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BC，∵AB=AC，∴D为BC中点；(2)解：连接OD，∵AO=BO，BD=CD，∴OD//AC，∴∠DFC=∠ODF，∵DF⊥AC，∴∠ODF=90°，°OD⊥DF，∴DF与⊙O相切；(3)解：∵OD⊥DF，DF⊥AC，∴AC//OD，∴∠AED+∠ODE=180°，∵∠AED+∠B=180°，∴∠B=∠EDO，∵∠EDF+∠EDO=∠CDF+∠ODB=90°，∴∠EDF=∠CDF，∴DE=CD，∵⊙O的半径为5，tan∠C=43，∴AB=10，BD=6，∴DE=CD=BD=6．故答案为：6．(1)连接AD，根据圆周角定理得到∠ADB=90°，根据等腰三角形的性质即可得到结论；(2)连接OD，根据平行线的性质得到∠DFC=∠ODF，根据切线的判定定理即可得到结论；
(3)根据平行线的性质和圆内接四边形的性质得到∠B=∠EDO，根据余角的性质得到∠EDF=∠CDF，得到DE=CD，解直角三角形即可得到结论．本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 23.答案：(1)sinα；(2)∵若角α的终边与直线y=2x重合，∴P(x,2x)，∴r=x2+(2x)2=5|x|．当x>0时，sinα+cosα=2x5x+x5x=355，当x<0时，sinα+cosα=-2x5x-x5x=-355．∴sinα+cosα的值为355或-355．(3)∵cosα=xr，点P(x,2)，且cosα=13x，∴x2+22=3，∴x=±5．∴tanα=2x=±255．(4)1<sinα+cosα≤2．解析：解：(1)当90°<α<180°时，∵r>0，y>0，x<0，∴sinα=yr>0，cosα=xr<0，tanα=yx<0．故答案为：sinα，(2)见答案．(3)见答案．(4)sinα+cosα=yr+xr=x+yr=x+yx2+y2．∵x+y>r，∴sinα+cosα>1．∵(x-y)2≥0，∴x2+y2≥2xy．
又∵(x+y)2x2+y2=1+2xyx2+y2≤1+1=2，∴x+yx2+y2≤2．∴1<sinα+cosα≤2．故答案为：1<sinα+cosα≤2．(1)由题意可得到r>0，y>0，x<0，然后依据定义进行判断即可；(2)设P(x,2x)，则r=5|x|，然后分为x>0和x<0两种情况求即即可；(3)由题意可得到r=3，然后依据定理列出关于x的方程，从而可求得x的值，然后依据tan的定义求解即可；(4)依据三角形的三边关系可得到x+y>r，然后再得到sinα+cosα=x+yx2+y2，接下来，再求得(x+y)2x2+y2的取值范围，从而可得到x+yx2+y2的范围．本题是对新定义的考查，解答本题主要应用了正比例函数的性质、三角函数的定义、完全平方公式，理解定义是解题的关键．
