2020-2021学年长春市新区八年级上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.下列运算中，不正确的是( )A.a2+a3=a5B.a2⋅a3=a5C.a2+a2=2a2D.a5÷a=a42.下列计算中正确的是( )A.16=±4B.±9=3C.3-9=-3D.-3-8=23.下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是( )A.a(x-y)=ax-ayB.x2+3x+2=x(x+3)+2C.(x+y)(x-y)=x2-y2D.x3-x=x(x+1)(x-1)4.下列调查中，样本最具有代表性的是( )A.在重点中学调查全市高一学生的数学水平B.在篮球场上调查青少年对我国篮球事业的关注程度C.了解班上学生的睡眠时间．调查班上学号为双的学生的睡眠时间D.了解某人心地是否善良，调查他对子女的态度5.数学课上，小明用尺规在黑板上作∠AOB的平分线，并进行简单的说理，下面是小明的解答过程，则符号“♡、☺、☆、⊕”代表的内容错误的是( )已知：∠AOB．求作：射线OC，使∠AOC=∠BOC．作法：(1)以点O为圆心，在OA和OB上分别截取OD，OE，使♡；(2)分别以点D，E为圆心、以☺为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C；(3)作射线OC.OC就是∠AOB的平分线．理由：(1)连接EC，DC，则EC=DC，易知△OEC≌△ODC，理由☆；(2)所以∠AOC=∠BOC，理由⊕．A.♡表示“OD=OE”B.☺表示“大于12DE的长”
C.☆表示“SAS”D.⊕表示“全等三角形的对应角相等”6.下列语句：①每一个外角都等于60°的多边形是六边形；②“反证法”就是举反例说明一个命题是假命题；③“等腰三角形两底角相等”的逆命题是真命题；④分式有意义的条件是分子为零且分母不为零．其中正确的个数为( )A.1B.2C.3D.47.如图，平面内4条直线l1、l2、l3、l4是一组平行线，相邻2条平行线的距离都是1个单位长度，正方形ABCD的4个顶点A、B、C、D都在这些平行线上，则这个正方形的面积不可能是( )A.1B.3C.5D.98.若等腰三角形的两边长分别为4和8，则它的周长为( )A.12B.16C.20D.16或20二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）9.用反证法证明“若|a|≠|b|，则a≠b.”时，应假设 ．10.定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”.若等腰△ABC中，∠A=70°，则它的特征值k=______．11.如图，三个正方形中的两个的面积分别为S1=25cm2，S2=144cm2，则第三个正方形的面积S3=______cm2．12.如图，∠B=∠D=90°，根据角平分线性质，填空：(1)若∠1=∠2，则______=______；(2)若∠3=∠4，则______=______．
13.如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小长方形，且m>n(以上长度单位：cm)．(1)观察图形，可以发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解为______；(2)若每块小长方形的面积为8cm2，四个正方形的面积和为66cm2，则图中所有裁剪线(虚线部分)长之和______．14.如图，从边长为a的大正方形中去掉一个边长为b的小正方形，然后将剩部分剪后拼成一个长方形，这个操作过程能验证的等式是______．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）15.(1)4xy⋅(12xy2-x2y-14y2)(2)(x+3y)2-(x+3y)(x-3y)(3)(-13)2017⋅32019-(3.14-π)0+(-13)-2四、解答题（本大题共9小题，共72.0分）16.计算：(15)-1+|1-2|+8-2sin45°17.先化简，再求值：(a2b-2ab2-b3)÷b-(a+b)(a-b)，其中a=1212，b=-1．
18.化简：23-(1624-3212)19.如图，已知∠1=68°，∠2=50°，∠D=68°，AE//BC.求：∠C的度数．20.2018年某市教育局对九年级学生的信息技术、科学实验操作、英语口语成绩进行抽样调意，成绩评定A、B、C、D四个等级，现抽取1000名学生成绩进行统计分析，其比例如扇形统计图所示(其中A、B、C、D分别表示优秀、良好、合格、不合格四个等级)，其相应数据统计如下等级人数科目ABCD信息技术______12012040科学实验操作100______8030英语口语12090______20(1)请将上表空缺补充完整，(2)全市共有56000名九年级学生，试估计该市九年级学生信息技术成绩合格以上(含合格)的人数(3)全市共有56000名九年级学生，现估计该市九年级学生英语口语达到优秀的有22400人，你认为合理吗？为什么？
21.如图，以△ABC的边AB为直径作⊙O，分别交AC，BC于点D，E，若AD=DC．(1)求证：AD=DE；(2)过点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点F，若CF=CD，AE=6，求AD的长．22.如图，一个长方体形的木柜放在墙角处(与墙面和地面均没有缝隙)，有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处．(1)请你在备用图中画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；(2)当AB=2，BC=2，CC1=3时，求蚂蚁爬过的最短路径的长．23.已知：a-b=b-c=m，a2+b2+c2=2m2．(1)填空①a-c=______，②(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=______.(用含m的式子表示)(2)求ab+bc+ac的值(用含m的式子表示)．
(3)证明：a+b+c=0．24.如图，在△ABC中，AB=AC，点D是边AB的点，DE//BC交AC于点E，连接BE，点F、G、H分别为BE、DE、BC的中点．(1)求证：FG=FH；(2)当∠A为多少度时，FG⊥FH？并说明理由．
参考答案及解析1.答案：A解析：解：A、不是同底数幂的乘法指数不能相加，故A错误；B、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故B正确；C、合并同类项系数相加字母部分不变，故C正确；D、同底数幂的除法底数不变指数相减，故D正确；故选：A．根据同底数幂的乘法，可判断A，B；根据合并同类项，可判断那C；根据同底数幂的除法，可判断D．本题考查了同底数幂的除法，根据法则计算是解题关键．2.答案：D解析：解：A．16=4，故本选项不符合题意；B.±9=±3，故本选项不符合题意；C.3-9是最简根式，故本选项不符合题意；D.-38=-2，正确．故选：D．分别根据算术平方根的定义，平方根的定义，立方根的定义逐一判断即可．本题主要考查了算术平方根，平方根以及立方根，熟记相关定义是解答本题的关键．3.答案：D解析：解：A、a(x-y)=ax-ay是整式的乘法，故A错误；B、x2+3x+2=x(x+3)+2，不是因式分解，故B错误；C、(x+y)(x-y)=x2-y2是整式的乘法，故C错误；D、x3-x=x(x+1)(x-1)是因式分解，故D正确；故选：D．根据因式分解的定义进行解答即可．本题考查了因式分解，掌握因式分解的定义是解题的关键．4.答案：C解析：解：根据样本的选择方法，依次分析选项可得：A、重点中学成绩较好，选择的样本不具有代表性；
B、在篮球场的青少年普遍对我国篮球事业的关注程度较高，选择的样本不具有代表性；C、学号为双的学生基本上占总人数的一半，且程度与单号的没有差别，选择的样本具有代表性；D、某人心对子女的态度与对外人有不同，选择的样本不具有代表性；故选C．样本具有代表性是指抽取的样本必须是随机的，即各个方面，各个层次的对象都要有所体现．根据样本的确定方法与原则，结合实际情况，依次分析选项可得答案．本题考查样本的确定方法，要求样本具有代表性、普遍性．5.答案：C解析：解：作法：(1)以点O为圆心，在OA和OB上分别截取OD，OE，使OE=OD，(2)分别以点D，E为圆心、以大于12DE为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C；(3)作射线OC.OC就是∠AOB的平分线．理由：(1)连接EC，DC，则EC=DC，易知△OEC≌△ODC，理由SSS；(2)所以∠AOC=∠BOC，理由全等三角形的对应角相等．故选：C．根据作已知角的平分线的步骤判断即可．本题考查作图-复杂作图，角平分线的作法等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．6.答案：B解析：解：①每一个外角都等于60°的多边形是六边形，正确；②“反证法”就是从反面的角度思考问题的证明方法，故错误；③“等腰三角形两底角相等”的逆命题是有两个角相等的三角形为等腰三角形，是真命题，正确；④分式有意义的条件是分母不为零，故错误；正确的有2个．故选B．根据多边形的外角，反证法的定义，等腰三角形的性质与判定，分式有意义的条件，进行逐一判定分析，即可解答．本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．也考查了反证法．7.答案：B
解析：解：①若正方形相邻两点在同一直线上，∵相邻2条平行线的距离都是1个单位长度，∴正方形的边长为1或2或3，∴正方形的面积为1或4或9，②若相邻的顶点不在同一直线上，如图，过点B作EF⊥l2，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=90°，∵∠ABE+∠CBF=180°-90°=90°，∠CBF+∠BCF=90°，∴∠ABE=∠BCF，在△ABE和△BCF中，∠ABE=∠BCF∠AEB=∠BFC=90°AB=BC，∴△ABE≌△BCF(AAS)，∴AE=BF，当为图1时，AB=12+12=2，正方形的面积为22=2，当为图2时，AB=12+22=5，正方形的面积为52=5，所以，正方形的面积为1或4或9或2或5，纵观各选项，只有3不可能．故选B．分①相邻的顶点在同一直线上，根据相邻直线间的距离为1，分别求出正方形的面积，②相邻的顶点不在同一直线上，有一对对角顶点在同一直线上与不在同一直线上，过点B作EF⊥l2，根据正方形的性质求出AB=BC，再根据同角的余角相等求出∠ABE=∠BCF，然后利用“角角边”证明△ABE和△BCF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=BF，然后利用勾股定理列式求出AB的长，再根据正方形的面积求解即可．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线间的距离，勾股定理的应用，难点在于要分情况讨论，作出图形更形象直观．8.答案：C解析：解：①当4为腰时，4+4=8，故此种情况不存在；②当8为腰时，8-4<8<8+4，符合题意．故此三角形的周长=8+8+4=20．故选C．由于题中没有指明哪边是底哪边是腰，则应该分两种情况进行分析．本题考查的是等腰三角形的性质和三角形的三边关系，解答此题时注意分类讨论，不要漏解．9.答案：a=b解析：试题分析：反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断．a，b的等价关系有a=b，a≠b两种情况，因而a≠b的反面是a=b．因此用反证法证明“a≠b”时，应先假设a=b．故答案为a=b．10.答案：1411或47解析：解：当∠A为顶角时，∠B=∠C=12(180°-∠A)=55°，∴它的特征值k=70°55∘=1411；当∠A为底角时，顶角=180°-2∠A=40°，∴它的特征值k=40°70∘=47．故答案为：1411或47．分∠A为顶角及∠A为底角两种情况考虑，当∠A为顶角时，利用三角形内角和定理可求出底角的度数，结合“特征值”的定义即可求出特征值k的值；当∠A为底角时，利用三角形内角和定理可求出顶角的度数，结合“特征值”的定义即可求出特征值k的值．本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，分∠A为顶角及∠A为底角两种情况求出“特征值”k是解题的关键．11.答案：119解析：解：根据图形及勾股定理得：S2=S1+S3，∵S1=25cm2，S2=144cm2，
∴S3=S2-S1=144-25=119(cm2)，故答案为：119．由图形中的直角三角形及正方形的面积公式列出关系式，将已知面积代入即可求出所求的面积．此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．12.答案：(1)BC；DC；(2)AB；AD解析：解：(1)若∠1=∠2，则BC=DC；(2)若∠3=∠4，则AB=AD．故答案为：BC，DC；AB，AD．根据角平分线上的点到角的两边距离相等填空即可．本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键． 13.答案：(2m+n)(m+2n) 42cm解析：解：(1)观察图形，发现代数式： 2m2+5mn+2n2=(2m+n)(m+2n)；故答案为：(2m+n)(m+2n)；(2)若每块小矩形的面积为8cm2，四个正方形的面积和为66cm2，则mn=8cm2，2m2+2n2=66cm2，∴m2+n2=33，∴(m+n)2=33+8×2=49，∴m+n=7，∴图中所有裁剪线(虚线部分)长之和为6m+6n=6(m+n)=42(cm)，∴图中所有裁剪线(虚线部分)长之和为42cm．故答案为：42cm．(1)根据图中的面积关系，两个大正方形、两个小正方形和5个长方形的面积之和等于大长方形的面积，据此可解；(2)根据题意可得mn=8cm2，2m2+2n2=66cm2，从而m2+n2=33，进而可求得m+n=7，结合图形可得答案．
本题考查了因式分解在几何图形问题中的应用，数形结合，并熟练掌握相关计算法则，是解题的关键．14.答案：a2-b2=(a+b)(a-b)解析：解：∵S甲=(a2-b2)，S乙=(a+b)(a-b)又∵S甲=S乙∴a2-b2=(a+b)(a-b)故答案为：a2-b2=(a+b)(a-b)首先分别求出甲乙两图阴影部分的面积，然后根据面积相等可直接求得等式．本题考查的重点是平方差公式的几何背景，运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释．15.答案：解：(1)原式=2x2y3-4x3y2-xy3；(2)原式=x2+6xy+9y2-(x2-9y2)=x2+6xy+9y2-x2+9y2=6xy+18y2；(3)原式=(-13×3)2017×32-1+9=-1×9-1+9=-9-1+9=-1．解析：(1)利用单项式乘多项式法则计算可得；(2)先利用完全平方公式和平方差公式计算，再去括号、合并即可得；(3)原式利用幂的运算法则和零指数幂与负整数指数幂计算即可．本题主要考查整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握整式的混合运算顺序和运算法则及零指数幂与负整数指数幂的规定．16.答案：解：原式=5+2-1+22-2×22=4+22．解析：直接利用二次根式的性质和特殊角的三角函数值以及绝对值的性质分别化简，进而得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．17.答案：解：(a2b-2ab2-b3)÷b-(a+b)(a-b)，
=a2-2ab-b2-a2+b2，=-2ab，当a=1212，b=-1时，原式=-2×12×(-1)=1．解析：本题考查了整式的混合运算和求值的应用，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．先算乘法和除法，再合并同类项，最后代入求出即可；18.答案：解：原式=63-16×26+32×23=63-63+33=33．解析：直接化简二次根式进而合并同类二次根式得出答案．此题主要考查了二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关键．19.答案：解：∵∠1=∠D=68°，∴AB//CD，∵∠2=50°，∴∠AED=∠2=50°，∵AE//BC，∴∠C=∠AED=50°．解析：根据平行线的判定推出AB//CD，根据平行线的性质求出∠AED=∠2=50°，根据平行线的性质求出∠C=∠AED=50°即可．本题考查了平行线的性质和判定的应用，注意：平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然．20.答案：(1)120 90 70 (2)∵样本中信息技术成绩合格以上的比例为：400-40400×100%=90%，∴该市九年级学生信息技术成绩合格以上(含合格)的人数为：56000×90%=50400(人)；(3)合理，∵英语口语达到优秀的比例为：120300×100%=40%，∴该市九年级学生英语口语达到优秀的大约有：56000×40%=22400(人)．解析：解：(1)∵现抽取1000名学生成绩进行统计分析，
∴信息技术总人数为：1000×40%=400(人)，科学实验操作总人数为：1000×30%=300(人)，英语口语总人数为：1000×30%=300(人)，∴信息技术A级的人数为：400-120-120-40=120(人)，科学实验操作B级的人数为：300-100-80-30=90(人)，英语口语C级的人数为：300-120-90-20=70(人)；(2)首先求出样本中信息技术成绩合格以上的比例，进而求出该市九年级学生信息技术成绩合格以上(含合格)的人数；(3)首先求出样本中英语口语达到优秀的比例，进而求出该市九年级英语口语达到优秀的人数．此题主要考查了扇形统计图以及利用样本估计总体等知识，利用扇形图求出每个项目的人数是解题关键．21.答案：解：(1)证明：∵AB是直径，∴∠BDA=90°，∴AD⊥AC，∵AD=DC，∴BA=BC，∴∠1=∠2，∴AD=DE；(2)作CH⊥BF于H，∵∠BAE+∠ABE=∠ABE+∠CBH=90°，∴∠BAE=∠CBH，在△ABE和△CBH中，∠AEB=∠BHC=90°∠BAE=∠CBHAB=BC，∴△ABE≌△CBH(AAS)，∴BH=AE=6，∵AD=CD=CF，∴CHAB=CFAF=13，∴AB=BC=3CH，
在Rt△BHC中由勾股定理可得CH=32，∵HF=12BH=62，∴CF=CH2+HF2=32，∴AD=CF=32．解析：(1)由AB为直径，根据圆周角的性质，可得BD⊥AC，又由AD=DC，根据线段垂直平分线的性质，即可证得AB=BC，进而可得AD=DE；(2)作CH⊥BF于H，易证△ABE≌△CBH，由全等三角形的性质可得BH=AE=6，再结合已知条件可求出CH和HF的长，再利用勾股定理即可求出CF的长，进而可得AD的长．本题考查了切线的性质、全等三角形的判定和性质、圆周角定理、等腰三角形的判定和性质以及勾股定理的运用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．22.答案：(1)如图，木柜的表面展开图是两个矩形和，蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图的和；(2)蚂蚁沿着木柜表面经线段到，爬过的路径的长是=，蚂蚁沿着木柜表面经线段到，爬过的路径的长是，，最短路径的长是5。解析：(1)将长方体形的木柜展开，求出对角线的长即可；
(2)求出蚂蚁沿着木柜表面经线段到，以及蚂蚁沿着木柜表面经线段到，的距离，再进行比较即可。解：：(1)如图，木柜的表面展开图是两个矩形和，蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图的和；(2)蚂蚁沿着木柜表面经线段到，爬过的路径的长是=，蚂蚁沿着木柜表面经线段到，爬过的路径的长是，，最短路径的长是5。23.答案：2m 6m2解析：解：(1)因为a-b=m①，b-c=m②，①+②，得a-c=2m，把a-b=m，b-c=m，a-c=2m代入(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2得，(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=m2+m2+(2m)2=6m2；故答案为：2m；6m2；(2)由：(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=6m2得a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+a2-2ac+c2=6m2，整理得：2(a2+b2+c2)-2(ab+bc+ac)=6m2，
解得：ab+bc+ac=(a2+b2+c2)-3m2=2m2-3m2=-m2；(3)因为：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，=a2+b2+c2+2(ab+bc+ac)=2m2+2⋅(-m2)=0，所以：a+b+c=0．(1)①根据a-b=b-c=m可得答案，②把a-b=b-c=m，a-c=2m代入可得答案；(2)由(1)的计算变形可得答案；(3)根据完全平方公式变形可以证明．本题考查了完全平方公式及求代数式的值，能够熟练的进行整式运算是解题的关键．24.答案：(1)证明：∵AB=AC．∴∠ABC=∠ACB，∵DE//BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴∠ADE=∠AED，∴AD=AE，∴DB=EC，∵点F、G、H分别为BE、DE、BC的中点，∴FG是△EDB的中位线，FH是△BCE的中位线，∴FG=12BD，FH=12CE，∴FG=FH；(2)解：延长FG交AC于N，∵FG是△EDB的中位线，FH是△BCE的中位线，∴FH//AC，FN//AB，∵FG⊥FH，∴∠A=90°，∴当∠A=90°时，FG⊥FH．解析：(1)根据等腰三角形的性质得到∠ABC=∠ACB，根据平行线的性质、等腰三角形的判定定理得到AD=AE，得到DB=EC，根据三角形中位线定理证明结论；(2)延长FG交AC于N，根据三角形中位线定理得到FH//AC，FN//AB，根据平行线的性质解答即可．
本题考查的是三角形中位线定理的应用、等腰三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
