2020-2021学年长春市农安县八年级上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.已知一个数的两个平方根分别是a-3与2a+18，a的值为( )A.-5B.8C.-8D.642.在实数0.1，2，0，-3中，最小的数是( )A.-3B.2C.0D.0.13.下列运算中，计算结果正确的是( )A.a2×a3=a6B.2a+3b=5abC.a5÷a2=a3D.(a2b)2=a4b4.下列计算正确的是( )A.5-2=3B.2a2⋅3a=5a3C.x6÷x2=x4D.(a-b)2=a2-b25.随着智能手机的普及，抢微信红包成为了春节期间人们最喜欢的活动之一．某中学九年级五班班长对全班50名学生在春节期间所抢的红包金额进行统计，并绘制成了统计图．根据如图提供的信息，红包金额的众数和中位数分别是( )A.20、20B.30、20C.30、30D.20、306.下列代数式不是完全平方式的是( )A.2x2-2x+1B.x2-2xy+y2C.4x2+4x+1D.9x2+16y2-24xy7.在平面直角坐标系中有两点A(-2,2)，B(3,2)，C是坐标轴上的一点，若△ABC是直角三角形，则满足条件的点共有( )A.1个B.2个C.4个D.6个8.在△ABC和△DEF中，①AB=DE，②BC=EF，③AC=DF，④∠A=∠D，⑤∠B=∠E，⑥∠C=∠F，则下列条件组不能保证△ABC≌△DEF的是( )
A.①②③B.①②⑤C.②④⑤D.①③⑤9.2.如图，a//b，∠2=1150，则∠1=．A.B.C.D.10.如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，BC=10，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点B作BG⊥AD于G，交AC于F，连接EG，则线段EG的长为( )A.12B.1C.32D.2二、填空题（本大题共10小题，共40.0分）11.在实数4、π、169、8中，无理数有______个.12.38-3tan60°=______．13.计算：(12a2-3a)÷3a=______．14.分解因式：m3+2m2n+mn2=______．15.若-2amb2与5a4bn是同类项，则m+2n的值为______．16.如图，△ABE和△ACD是△ABC分别沿着AB、AC边翻折180°形成的，CD与BE交于点F，若∠BAC=150°，则∠EFC的度数为______．17.如图所示的是某年参加国际教育评估的15个国家学生的数学平均成绩的统计图，则平均成绩大于或等于60的国家个数是 .
18.如图，在△ABC中，CD平分∠BCA，DE⊥BC于点E，且DE=3cm，BC=8cm，AC=4cm，则△ABC的面积是______cm2．19.如图，已知线段AB、CD相交于点O，且∠A=∠B，若有△AOC≌△BOD，需补充一个条件是______．20.如图，△ABC为等边三角形，∠ADB=30°，CE⊥BD于点E，AF⊥BD于点F，BD=10，FD=2，则线段BE的长为______．三、计算题（本大题共2小题，共10.0分）21.计算：(1)[(x+2y)2-(x+y)(3x-y)-5y2]÷(2x)(2)(-12)-3+(-2)0+(-0.1)2015×(10)2016(3)10.3×9.7(用公式做)(4)(a+b-c)(a-b+c)(用公式做)22.图中是一副三角板，45°的三角板Rt△DEF的直角顶点D恰好在30°的三角板Rt△ABC斜边AB的中点处，∠A=30o，∠E= 45o，∠EDF=∠ACB=90o，DE交AC于点G．
(1)如图1，当DF经过点C时，求证：△BCD为等边三角形．(2)如图2，当DF经过点C时，作GM⊥AB于M，CN⊥AB于N，求证：AM=DN．四、解答题（本大题共6小题，共40.0分）23.在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°.点D为直线BC上一动点，以AD为直角边在AD的右侧作等腰直角三角形ADE，使∠DAE=90°，AD=AE．(1)当点D在线段BC上时，如图1，试说明：△ABD≌△ACE；(2)当点D在线段CB的延长线上时，如图2，判断CE与BC的位置关系，并说明理由．24.计算：(1)(a+b)2+a(a-2b)；(2)(2.5×1012)-2÷(2×10-2)6；(结果用科学记数法表示)(3)20+55-13×12；
(4)15÷(13+15)．25.有A，B，C，D四个城市，人口和面积如下表所示：A城市B城市C城市D城市人口(万人)300150200100面积(万平方公里)205104(1)问A城市的人口密度是每平方公里多少万人？(2)请用最恰当的统计图表示这四个城市的人口密度？26.如图所示，将断落的电话线拉直，使其中一端在电线杆点A处，另一端在地面C处，这时测得BC=6m，再把电话线沿电线杆拉直，使AD=AB，并量出电话线剩余部分(即CD)的长为2m，求电线杆AB的高．27.已知：如图，m//n，∠2=∠4=∠1.求证：∠2+∠3=180°．28.如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动(与A，C不重合)，Q是CB延长线上一点，由B向CB延长线方向运动(Q不与B重合)，连接PQ交AB于D.若两点同时出发，以相同的速度每秒1个单位运动，运动时间为t．(1)当∠PQC=30°时，求t的值；
(2)过P作PE⊥AB于E，过Q作QF⊥AB，交CB的延长线于F，请找出图中在运动过程中的一对全等三角形，加以证明；(3)在(2)的条件下，当P，Q在运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由．
参考答案及解析1.答案：A解析：解：∵一个数的两个平方根分别是a-3与2a+18，∴a-3+2a+18=0，解得a=-5，故选：A．根据一个数的两根平方根互为相反数列出关于a的方程求解即可．本题主要考查平方根，一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．2.答案：A解析：解：∵实数0.1，2，0，-3按照从小到大排列是：-3<0<0.1<2，∴最小的数是-3，故选：A．根据正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，比较各数大小即可．本题考查实数大小的比较，解答本题的关键是明确题意，可以将题目中的数据按照从小到大排列．3.答案：C解析：解：A、应为a2×a3=a5，故本选项错误；B、2a与3b不是同类项的不能合并，故本选项错误；C、a5÷a2=a3，正确；D、应为(a2b)2=a4b2，故本选项错误．故选C．根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减；积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，对各选项分析判断后利用排除法求解．本题考查同底数幂的乘法，同底数幂的除法，积的乘方，需要熟练掌握，没有同类项的一定不能合并．4.答案：C解析：解：A、5-2，不能再化简，故此选项错误；B、2a2⋅3a=6a3，故此选项错误；C、x6÷x2=x4，正确；
D、(a-b)2=a2-2ab+b2，故此选项错误；故选：C．直接利用二次根式的加减运算法则以及单项式乘以单项式和同底数幂的乘除法运算、完全平方公式分别判断得出答案．此题主要考查了二次根式的加减运算以及单项式乘以单项式和同底数幂的乘除法运算、完全平方公式，正确掌握相关运算法则是解题关键．5.答案：C解析：解：捐款30元的人数为20人，最多，则众数为30，中间两个数分别为30和30，则中位数是30，故选：C．根据众数和中位数的定义，出现次数最多的那个数就是众数，把一组数据按照大小顺序排列，中间那个数或中间两个数的平均数叫中位数．本题考查了条形统计图、众数和中位数，这是基础知识要熟练掌握．6.答案：A解析：解：A、2x2-2x+1中二次项的系数是1才是完全平方公式，故A符合题意；B、C、D、都符合完全平方式，故不能选．故选A．形如a2±2ab+b2的式子要符合完全平方公式的形式a2±2ab+b2=(a±b)2才成立，A中的式子不符合完全平方公式的形式，所以不是完全平方式．本题是完全平方公式结构特点的考查，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，熟练掌握公式结构是解题的关键．7.答案：D解析：解：∵A，B的纵坐标相等，∴AB//x轴，AB=3-(-2)=5．∵C是坐标轴上的一点，过点A向x轴引垂线，可得一点，过点B向x轴引垂线，可得一点，以AB为直径作圆可与坐标轴交于4点．∴根据直径所对的圆周角是90°，满足条件的点共有4个，为C，D，E，H.加上A、B共6个．
故选：D．因为A，B的纵坐标相等，所以AB//x轴．因为C是坐标轴上的一点，所以过点A向x轴引垂线，过点B向x轴引垂线，分别可得一点，以AB为直径做圆可与坐标轴交于4点．所以满足条件的点共有6个．用到的知识点为：若△ABC是直角三角形，则它的任意一个顶点都有可能为直角顶点．8.答案：D解析：解：A、①②③组合可利用SSS定理进行判定，故此选项不合题意；B、①②⑤组合可利用SAS定理进行判定，故此选项不合题意；C、②④⑤组合可利用AAS定理进行判定，故此选项不合题意；D、①③⑤组合不能判定三角形全等，故此选项符合题意；故选：D．分别利用三角形的判定定理进行分析即可．本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．9.答案：B解析：如图：∵a//b，∴∠3=∠2=115°，又∵∠1+∠3=180°，∴∠1=180°-∠3=180°-115°=65°，
故选B．10.答案：B解析：解：Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，BC=10，∴AC=8，∵BG⊥AD，AD平分∠BAC，∴AB=AF=6，BG=FG，∴CF=2，∵AE是△ABC的中线，∴BE=CE，∴EG=12CF=1，故选：B．根据勾股定理得到AC=8，根据等腰三角形的性质得到AB=AF=6，BG=FG，求得CF=2，根据三角形的中位线定理即可得到结论．本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．11.答案：2解析：解：在实数4、π、169、8中，无理数有π，8，一共2个，故答案为：2．无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．根据无理数的概念进行解答即可．本题考查的是无理数的定义，即其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．12.答案：-1解析：解：原式=2-3×3=2-3=-1．故答案为：-1．直接利用立方根的性质以及结合特殊角的三角函数值化简得出答案．
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．13.答案：4a-1解析：解：(12a2-3a)÷3a=4a-1，故答案为：4a-1．根据多项式除以单项式法则求出即可．本题考查了多项式除以单项式法则，能熟记法则的内容是解此题的关键．14.答案：m(m+n)2解析：解：m3+2m2n+mn2，=m(m2+2mn+n2)，=m(m+n)2．首先提取公因式m，再运用完全平方公式继续进行因式分解．本题考查了提公因式法，公式法分解因式，有公因式的首先提取公因式．掌握完全平方公式的特点：两个平方项，中间一项是两个底数的积的2倍，难点在于要进行二次因式分解．15.答案：8解析：此题考查同类项的概念及代数式的求值，关键是根据同类项的概念得出m，n的值．根据同类项的概念得出m，n的值，进而代入解答即可．解：根据题意可得：m=4，n=2，把m=4，n=2代入m+2n=8，故答案为8． 16.答案：60°解析：解：∵∠BAC=150°，∴∠ABC+∠ACB=30°，∵∠EBA=∠ABC，∠DCA=∠ACB，∴∠EBA+∠ABC+∠DCA+∠ACB=2(∠ABC+∠ACB)=60°，即∠EBC+∠DCB=60，∵∠EFC=∠EBC+∠DCB，∴∠EFC=60°．故答案为：60°．
先根据三角形内角和与翻折变换的特点求得∠EBC+∠DCB=60°，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和得∠EFC=60°．此题主要考查了折叠的性质和三角形内角和定理的综合运用，巧妙运用三角形的外角的性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”是解决问题的关键．17.答案：12解析：由图中可知：平均成绩在60-70的国家有8个，70-80的有4个，则平均成绩≥60的国家个数是8+4=12．故答案为：12．18.答案：18解析：解：过D点作DF⊥AC于F，如图，∵CD平分∠BCA，DE⊥BC，DF⊥AC，∴DF=DE=3，∴S△ABC=S△DBC+S△DAC=12×8×3+12×4×3=18(cm2).故答案为18．过D点作DF⊥AC于F，如图，根据角平分线的性质得DF=DE=3，然后根据三角形面积公式计算．本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形面积公式．19.答案：AC=BD解析：解：补充条件：AC=BD，∵在△AOC和△DOB中∠A=∠B∠AOC=∠DOBAC=BD，∴△AOC≌△BOD(AAS)．故答案为：AC=BD补充条件：AC=BD，可利用AAS定理判定△AOC≌△BOD．
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．20.答案：3解析：解：如图所示：过点C作CH⊥AB，交AB于点H，AB与CE相交于点M，∵∠ADB=30°，CE⊥BD，FD=2∴AF=DF×tan∠ADF=2×33=233，∵BD=BF+DF，BD=10，∴BF=10-2=8，在Rt△ABF中，由勾股定理得：AB=BF2+AF2=82+(233)2=1433，∵△ABC是等边三角形，CH⊥AB，∴BH=12AB=12×1433=733，在Rt△AHC中，HC=AH×tan∠HAC=733×3=7，∵∠BME=∠CMH，∠BEM=∠CHM=90°，∴∠EBM=∠HCM，又∵∠BFA=∠CHM=90°，∴△ABF∽△MCH，∴HMHC=AFBF，∴HM=AF×CHBF=233×78=7123，∵BM=BH-MH，
∴BM=733-7123=743，又∵△BEM∽△BFA，∴BEBF=BMBA，∴BE=BF×BMBA=8×7431433=3．故答案为：3．在△ADF中因∠ADB=30°，AF⊥BD，可求出AF；BD=BF+DF，BD=10，求出等边△ABC的边长AB，线段BH和HC的长；由△ABF∽△MCH求出HM，△BEM∽△BFA求出BE的长．本题考查等边三角形的性质，三角形相似的判定与性质，求解直角三角形中三角函数值和勾股定理．重点掌握两个三角形相似的判定方法，难点是作辅助线构建两个三角形相似．21.答案：解：(1)原式=(x2+4xy+4y2-3x2+xy-3xy+y2-5y2)÷(2x)=(-2x2+2xy)÷2x=-x+y；(2)原式=-8+1+(-0.1×10)2015×10=-8+1-10=-17；(3)原式=(10+0.3)×(10-0.3)=100-0.09=99.91； (4)原式=a2-(b-c)2=a2-b2+2bc-c2．解析：(1)原式括号中利用完全平方公式及平方差公式化简，去括号合并后利用多项式除以单项式法则计算即可得到结果；(2)原式第一项利用负整数指数幂法则计算，第二项利用零指数幂法则计算，第三项利用积的乘方与幂的乘方运算法则变形，计算即可得到结果；(3)原式变形后，利用平方差公式计算即可得到结果；(4)原式利用平方差公式变形，再利用完全平方公式展开即可得到结果．此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．22.答案：(1)证明：∵∠ACB=90°，D是AB的中点． ∴CD=AD=BD， 又∵∠B=90°-∠A=60°， ∴△BCD是等边三角形． (2)∵CN⊥DB，CD=CB∴DN= 12DB.
∵∠EDF=90°，△BCD是等边三角形， ∴∠ADG=30°，而∠A=30°. ∴GA=GD. ∵GM⊥AB， ∴AM= 12AD. 又∵AD=DB， ∴AM=DN. 解析：(1)由D是AB中点，∠B=６0°，可证出△BCD是等边三角形，(2)再利用等腰三角形三线合一的定理，可得出DN= 12BD，∠ADG=30°. 那么△ADG是等腰三角形，可得出AM= 12AD，所以可证出AM=DN23.答案：(1)证明：∵∠BAC=90°，∠DAE=90°，∴∠BAD=90°-∠DAC，∠CAE=90°-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE．在△ABD和△ACE中，BA=CA∠BAD=∠CAEAD=AE，∴△ABD≌△ACE (SAS)；(2)解：CE⊥BC．理由如下：∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE，∴∠BAD=∠CAE，在△DAB与△EAC中，AD=AE∠BAD=∠CAEAB=AC，
∴△DAB≌△EAC(SAS)，∴∠ABD=∠ACE，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=45°，∴∠ABD=∠ACE=135°，∴∠BCE=∠ACE-∠ACB=135°-45°=90°，即CE⊥BD；解析：(1)根据∠BAD=∠CAE，BA=CA，AD=AE，运用“SAS”证明△ABD≌△ACE；(2)先根据“SAS”证明△ABD≌△ACE，再根据全等三角形性质得出结论∠ACE=∠ABD.可得出∠BCE=90°，则结论得证．此题考查了全等三角形的判定与性质及等腰直角三角形的性质，解决问题的关键是熟练掌握全等三角形的性质．24.答案：解：(1)原式=a2+2ab+b2+a2-2ab=2a2+b2；(2)原式=2.5-2×10-24÷(26×10-12)=2.5-2×10-24×2-6×1012=5×10-15；(3)原式=205+1-13×12=2+1-2=1；(4)原式=15÷5+35×3=15×155+3=15(5-3)(5+3)(5-3)=155-1532．解析：(1)利用完全平方公式展开，然后合并即可；(2)先进行幂的乘方运算，再利用负整数指数的意义把除法运算化为乘法运算，然后根据同底数幂的乘法法则运算；(3)根据二次根式的乘法和除法法则运算；
(4)先把括号内通分，再除法运算化为乘法运算，然后分母有理化即可．本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则、零指数幂是解决问题的关键．也考查了整式的运算．25.答案：解：(1)300÷20=15(万人)；(2)150÷5=30(万人)，200÷10=20(万人)，100÷4=25(万人)，用条形统计图表示：解析：(1)A城市的人口密度=A城市的人口÷A城市的面积；(2)算出每一个城市的人口密度，再在条形统计图中表示出来．本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．26.答案：解：设电线杆的高为x米，则有AC=(x+2)米．由勾股定理，得x2+62=(x+2)2．解得：x=8，答：电线杆的高为8米．解析：根据题意得出设电线杆的高为x米，则有AC=(x+2)米，进而利用勾股定理得出即可．此题考查了勾股定理在生活中的应用．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．27.答案：证明：∵m//n，∴∠2=∠5，∵∠4=∠1，∴a//b，∴∠5+∠3=180°，∴∠2+∠3=180°．解析：利用平行线的性质和判定即可解决问题．本题考查平行线的性质和判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
28.答案：解：(1)∵△ABC是边长为6的等边三角形，∴∠ACB=60°，∵∠BQD=30°，∴∠QPC=90°，设AP=x，则PC=6-x，QB=x，∴QC=QB+BC=6+x，∵在Rt△QCP中，∠BQD=30°，∴PC=12QC，即6-x=12(6+x)，解得x=2，∴AP=2；(2)△APE≌△BQF或△EPD≌△FQD.以△APE≌△BQF为例，证明如下：连接QE，PF，又∵PE⊥AB于E，∴∠DFQ=∠AEP=90°，∵点P、Q速度相同，∴AP=BQ，∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠ABC=∠FBQ=60°，在△APE和△BQF中，∵∠AEP=∠BFQ=90°，∴∠APE=∠BQF，在△APE和△BQF中，∠AEP=∠BFQ∠A=∠FBQAP=BQ，∴△APE≌△BQF(AAS)；(3)当点P、Q同时运动且速度相同时，线段DE的长度不会改变．理由如下：由(2)知，∵△APE≌△BQF，∴AE=BF，PE=QF且PE//QF，
∴四边形PEQF是平行四边形，∴DE=12EF，∵EB+AE=BE+BF=AB，∴DE=12AB，又∵等边△ABC的边长为6，∴DE=3，∴点P、Q同时运动且速度相同时，线段DE的长度不会改变．解析：(1)由△ABC是边长为6的等边三角形，可知∠ACB=60°，再由∠BQD=30°可知∠QPC=90°，设AP=x，则PC=6-x，QB=x，在Rt△QCP中，∠BQD=30°，PC=12QC，即6-x=12(6+x)，求出x的值即可；(2)连接QE，PF，由点P、Q做匀速运动且速度相同，可知AP=BQ，再根据全等三角形的判定定理得出△APE≌△BQF；(3)由(2)中的全等三角形得到：AE=BF，PE=QF且PE//QF，可知四边形PEQF是平行四边形，进而可得出EB+AE=BE+BF=AB，DE=12AB，由等边△ABC的边长为6可得出DE=3，故当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．本题考查的是等边三角形的性质及全等三角形的判定定理、平行四边形的判定与性质，根据题意作出辅助线构造出全等三角形是解答此题的关键．
