浙江省舟山市舟山中学2021年12月高三数学月考试卷参考公式：如果事件A，B互斥，那么如果事件A，B相互独立，那么如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率台体的体积公式其中分别表示台体的上、下底面积，表示台体的高柱体的体积公式其中表示柱体的底面积，表示柱体的高锥体的体积公式其中表示锥体的底面积，表示锥体的高球的表面积公式球的体积公式其中表示球的半径第I卷（选择题）评卷人得分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合，.则（）A．B．C．D．2．已知是虚数单位，若复数，则（）A．-0.5B．C．0.5D．3．已知平面向量，，，满足，与的夹角为，且，则的最小值为（）A．B．1C．D．4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）16
A．B．C．D．25．已知圆，圆，M，N分别是圆上的动点，P为x轴上的动点，则以的最小值为（）A．B．C．D．6．如图，在长方体中，，，，是的中点，求到面的距离为（）A．B．C．D．7．若为奇函数，且是的一个零点，则一定是下列哪个函数的零点（）A．B．C．D．8．已知直线与圆相切，则满足条件的直线有（）A．1条B．2条C．3条D．4条9．函数的图象可能是（）A．B．C．D．16
10．如图，，分别是双曲线的左、右焦点，点是双曲线与圆在第二象限的一个交点，点在双曲线上，且，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．第II卷（非选择题）评卷人得分二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11．已知函数若是函数的最小值，则实数的取值范围为__________．12．按如图所示的程序框图运算，若输出，则输入的取值范围是_____________．13．已知中，，，，则边长为_______，16
的面积是_____.14．已知数列满足，则___________；若，则数列的前项和___________.15．如图，O为边长为2的正方形的中心，以O为圆心的两段圆弧，与，组成环形道，P，Q是环形道上的两点，，则的取值范围是______________．16．设，则______，______．15题图17题图17．如图，已知，为椭圆：()的两焦点，为坐标原点，，分别，在的切线上的射影，则点的轨迹方程是_______________________________；若有且仅有2条使得的面积最大，则离心率的最大值是___________.评卷人得分三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．在锐角中，角、、的对边分别为、、，若，．（1）求角的大小和边长的值；（2）求面积的最大值．16
19．如图，在四棱锥中，平面BCE，平面BCE，，．（1）证明：平面平面DAE；（2）若点为线段上一点，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围．20．已知数列满足，（）.（1）求的通项公式；（2）已知数列满足（），设的前n项和为，若对任意，恒成立，求的取值范围.21．已知椭圆：离心率为，过右焦点的直线交椭圆于椭圆，两点.16
（1）若有，求直线的方程；（2）若线段的中点为，延长交椭圆于另一个交点，求面积的最大值.22．已知函数．（1）求函数的最小值；（2）若有三个零点，①求的取值范围；②求证：．16
参考答案一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分。请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分）题号12345678910答案CDDBABACBB二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11．12．13．214．15．16．641517．【分析】延长至，使得,取切点，连，，作，由椭圆的光学性质得，所以，在直角中,分别求出16
,从而可得到，从而点的轨迹方程，，有且仅有两个点使得最接近，从而得出答案.【详解】如图，延长至，使得.因为，故，，三点共线因为为斜边上的中线，故取切点，连，，作，由椭圆的光学性质得，所以，在直角中,可得，同理可得，，即点的轨迹方程是；由上分析可得，要使有且仅有2条使得的面积最大，即有且仅有两个点使得最接近，即，故所以离心率的最大值是.故答案为：（1）（2）16
三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（1），；（2）.【分析】（1）根据得出，然后根据角是锐角得出，最后根据正弦定理与余弦定理对进行转化，即可得出结果；（2）由正弦定理得出、，然后根据得出，再然后根据解三角形面积公式得出，并将其转化为，最后根据正弦函数的性质即可求出最值.【详解】（1）因为，所以，，因为角是锐角，所以，因为，所以由正弦定理与余弦定理易知，，整理得，解得.（2）因为，所以，，因为，，，所以，则，16
因为，所以，则，，故，面积的最大值为.【点睛】方法点睛：解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.19．（1）证明见解析（2）【分析】（1）分别取取、的中点、，证得，进而结合线面垂直的判定定理证得平面，即可证得平面平面.（2）以为原点，以分别为轴、轴和轴建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量和，得到，进而求得直线与平面所成角的正弦值的取值范围．（1）证明：分别取取、的中点、，连接，可得且，因为平面，平面，所以且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，因为，所以，又因为平面，且平面，可得，因为，所以平面，所以平面，又由平面，所以平面平面.（2）16
解：以为原点，以分别为轴、轴和轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，则，设平面的一个法向量为，则，即，取，可得，所以，设直线与平面所成的角为，令，（其中），则，所以，因为，可得，所以直线与平面所成角的正弦值的取值范围．20．（1）（2）【分析】（1）由已知式时用代换的等式，相除可得从16
开始的递推关系式，由已知再求出，然后变形得出从第二项开始是等比数列，从而得通项公式（注意是分段函数形式）；（2）求出，计算，得递增，计算，得递减，从而可得．（1）（）（1）当时，，即（）（2）得∴，∴（）∴从第二项开始是等比数列，∵，∴∴，∴（）∴（2）由（1）得，对任意，∴单调递增∴恒成立对任意，∴单调递减∴恒成立∴21．16
（1）（2）【分析】(1)由条件求出椭圆方程，设，，直线方程为，联立方程组化简可得，，根据列方程求，由此可得直线的方程；(2)利用点差法求得直线的斜率，联立方程组求出点的坐标，由(1)求，再求面积表达式并求其最值.（1）∵椭圆的离心率为，右焦点为，∴，，，∴，，∴椭圆的方程为，再令直线方程：，，联立消去得，由韦达定理知，若有，则，，，消去得：，解得，所以直线的方程：，即：（2）由已知，，∴，，16
所以直线的方程是由（1）知联立，消去得，所以有，所以点到直线的距离，所以面积令，则，有令，则当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，∴时，取最大值，∴，即时，面积最大，最大值是.【点睛】此题考查直线与椭圆的位置关系，联立方程组求出交点坐标与系数的关系，由此表示出三角形的面积函数解析式，再利用换元法和导数求其最值.22．（1）（2）①；②证明见解析【分析】16
（1）令，求出，然后判断单调性即可求解；（2）①：由（1）知，时，，在单调递增，不合题意；由函数零点存在定理可得在和内分别有唯一的零点记为，，则，在上单增，在上单减，在上单增，又由函数零点存在定理即可得有三个零点，符合题意；②：记的三个零点大小为，即，又，则当时，成立，所以，即，化简，得，进而即可证明.（1）解：，令，则，当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增，所以的最小值为，即函数的最小值为；（2）解：①：由（1）知，时，，在单调递增，不合题意；当时，，，，所以在和内分别有唯一的零点记为，，则，所以在上单增，在上单减，在上单增．易知，1为的一个零点，，，又，，16
所以有三个零点，符合题意．综上，．②证明：不妨记的三个零点大小为，即．又，即．所以当时，成立．即当，则，且，又在有且只有一个零点，所以，即．化简，得，所以．即．16
