2021~2022年度河南省高三仿真模拟考试数学（文科）第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={三角形}，B＝{等腰三角形}，C＝{矩形}，D＝{菱形}，则（）A．B．C．D．{正方形}2．若复数，则（）A．8B．64C．10D．1003．已知向量，不共线，向量，，若O，A，B三点共线，则（）A．B．C．D．4．不等式组表示的可行域的面积为（）A．6B．7C．12D．145．设，是两个不同的平面，则“中有三个不共线的点到的距离相等”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．观察数组，，，，，…，根据规律，可得第8个数组为（）A．B．C．D．7．定义矩阵运算，则（）A．B．C．D．\n8．函数的最大值为（）A．2B．3C．4D．59．当时，函数取得最小值，则（）A．B．1C．D．210．在四面体ABCD中，BA，BC，BD两两垂直，，，则四面体ABCD内切球的半径为（）A．B．C．D．11．已知函数在上单调，且，则的可能取值（）A．只有1个B．只有2个C．只有3个D．有无数个12．已知双曲线的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与C在第一象限的交点为A，直线与C的左支交于点B，且．设C的离心率为e，则（）A．B．C．D．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13．抛物线的焦点到准线的距离为______．14．小李与小张计划周日上午到某景区游玩，他们各自从不同地方出发去往景区售票点．当天上午小李八点到达景区售票点，小张未到，他决定最多等他四十分钟，如果超过四十分钟小张未到，他就先进景区．若小张将在八点十分到九点的任意时刻到达景区售票点，则小李与小张一同进入景区的概率为______．15．已知是公比为2的等比数列，为的前n项和，且，则______，______．（本题第一空2分，第二空3分）16．已知函数为定义在R上的单调函数，且，则在\n上的值域为______．三、解答题：共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，．（1）若，求外接圆的面积；（2）若，求的周长．18．（12分）如图，在正三棱柱中，D是BC的中点．（1）证明：平面．（2）求四棱锥与三棱锥的体积之比．19．（12分）在中国文娱消费中，视听付费市场规模不断增长，从2010年到2018年在线音乐市场规模变化情况如下表所示：年份201020112012201320142015201620172018市场规模（亿元）0.50.91.62.84.710.518.829.943.7将2010年作为第1年，设第i年的市场规模为亿元．（1）与哪一个更适宜作为市场规模y关于i的回归方程？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）中的判断及表中的数据，求市场规模y关于i的回归方程．（系数精确到0.0001）\n参考数据：令，，，，，，，．附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．20．（12分）已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）讨论在区间上极值点个数．21．（12分）已知椭圆的右焦点为，且点到坐标原点的距离为．（1）求C的方程．（2）设直线与C相切于点P，且与直线相交于点Q．①若Q的纵坐标为1，直线FQ与C相交于A，B两点，求．②判断是否为定值．若是，求出该定值；若不是，说明理由．（二）选考题：共10分．请考生从第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点A的极坐标为，将点A按逆时针方向旋转得到点B，按顺时针方向转得到点C．（1）求点B和点C的极坐标，并求点B和点C的直角坐标；\n（2）设P为坐标系中的任意一点，求的最小值．23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数．（1）当，时，求不等式的解集．（2）若的最小值为6，证明：．2021~2022年度河南省高三仿真模拟考试数学参考答案（文科）1．D【解析】本题考查集合的交集和并集，考查逻辑推理的核心素养．因为既是矩形又是菱形的四边形是正方形，所以{正方形}．2．C【解析】本题考查复数的运算与复数的模，考查数学运算的核心素养．因为，所以．3．A【解析】本题考查共线向量，考查数学运算的核心素养．因为O，A，B三点共线，所以，所以，，即，又因为向量，不共线，所以，则．4．B【解析】本题考查线性规划，考查数形结合的数学思想．作出不等式组表示的可行域（图略），由图可知，可行域的面积为．5．B【解析】本题考查面面平行的判定与常用逻辑用语，考查空间想象能力与推理论证能力．如图，若中的两点B，C与点A在的两侧，且这三个点到的距离都相等，则与不平行．若，则中必有三个不共线的点到的距离都相等．故“中有三个不共线的点到的距离相等”是“”的必要不充分条件．\n6．C【解析】本题考查等差、等比数列，考查逻辑推理的核心素养．数组的第一个数成等差数列，且首项为2，公差为1；数组的第二个数成等比数列，且首项为2，公比为2．因此第8个数组为，即．7．B【解析】本题考查新定义与对数的运算，考查数学运算的核心素养．．8．B【解析】本题考查三角恒等变换，考查运算求解能力．，当时，取得最大值，且最大值为3．9．A【解析】本题考查异数的应用，考查运算求解能力．．当时，；当时，．因此当时，取得最小值．10．C【解析】本题考查三棱锥的体积与表面积，考查空间想象能力与运算求解能力．因为BA，BC，BD两两垂直，，，所以，．取CD的中点E，连接AE，则，所以，的面积为，所以四面体ABCD的表面积．又四面体ABCD的体积\n，所以四面体ABCD内切球的半径．11．C【解析】本题考查三角函数的图象及其性质，考查数学运算与逻辑推理的核心素养．设的最小正周期为T，则由题意可得，即．由在上单调，且，得的一个零点为．因为，所以有以下三种情况：①，则；②，则；③，则．故的可能取值只有3个．12．D【解析】本题考查双曲线的定义及离心率，考查直观想象与数学运算的核心素养．由双曲线定义可知，∵，∴，又，∴．∵A在以为直径的圆上，∴，∴，由，得，故．13．1【解析】本题考查抛物线的性质，考查数学运算的核心素养．在抛物线中，，即，故该抛物线的焦点到准线的距离为1．14．【解析】本题考查集合概型，考查应用意识．依题意可得，小张八点四十之前到达景区售票点，两人可一同进景区，所以所求概率为．15．0；【解析】本题考查等比数列，考查抽象概括能力与运算求解能力．因为，所以．因为是公比为2的等比数列，\n所以，所以，则．故．16．【解析】本题考查函数的综合，考查逻辑推理、数学抽象的核心素养．因为为定义在R上的单调函数，所以存在唯一的，使得，则，，即，因为函数为增函数，且，所以，．易知在上为增函数，且，，则在上的值域为．17．解：（1）因为，所以或，则（，舍去）．因为，所以．设外接圆的半径为R，由正弦定理得，设，则外接圆的面积．（2）由余弦定理可得，代入数据，得，解得或3．当时，的周长为；当时，的周长为．评分细则：【1】第（1）问未单独求C，直接根据正弦定理求得R，不扣分．【2】第（2）问未写公式，直接将数据代入求得或3，不扣分．18．（1）证明：连接，交于O，连接OD．\n因为O是的中点，D是BC的中点，所以OD是的中位线，所以．因为平面，平面，所以平面．（2）解：设，．因为D是BC的中点，所以D到AB的距离d等于C到AB的距离的一半，所以，所以．又，所以，即所求体积之比为．评分细则：【1】第（1）问中，未写面积，平面扣1分．【2】第（2）问中体积之比为2，不扣分．19．解：（1）更适宜．（2），，\n，因为系数要求精确到0.0001，所以y关于i的回归方程为．评分细则：【1】第（2）问若不利用参考数据计算，酌情给分．，，中的“^”未写，共扣1分，不重复扣分．【2】第（2）问中，若考生得到后，就对系数取近似值，，再将其代入求得，第（2）问共扣2分．最后归回方程中写为，不扣分．20．解：（1）当时，，则，所以曲线在点处的切线方程为，即．（2）因为函数，在区间上均单调递增，所以在区间上单调递增．．当，即时，在区间上存在唯一的零点m，则在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以在区间上只有1个极值，且为极小值．当，即时，对恒成立，所以在区间上单调递减，没有极值，即极值个数为0．评分细则：【1】第（1）问中线切方程还可以写为一般式．\n【2】第（2）问说明的单调性，还可以对求导，说明的导函数大于零即可．当时，在区间上只有1个极值，未说明是极小值，不扣分．21．解：（1）依题意可得解，，故C的方程为．（2）①因为Q的纵坐标为1，所以直线FQ的方程为，代入，得．设，，则，，故．②设，，由得．因为与C相切，所以，得，所以，，所以．因为与交于点Q，所以，所以，，，所以，则为定值．评分细则：【1】第（2）问①中通过求根公式得出A，B的横坐标，再求弦长，结果正确，不扣分．【2】第（2）问②中考生若用C在处的切线方程\n进行求解，最后同样得到，需扣1分．22．解：（1）由极坐标的定义可得点B和点C的极坐标分别为，，则点B和点C的直角坐标分别为，．（2）因为A的极坐标为，所以A的直角坐标为．设P的直角坐标为，则，当，时，取得最小值，且最小值为15．评分细则：【1】第（1）问中，点B和点C的极坐标分别写为，，不扣分．【2】第（2）问中，化简得到，没有配方，但写了“当，时，取得最小值，且最小值为15”，不扣分．23．（1）解：当，时，，即．当时，，则；当时，恒成立，则；当时，，则．故不等式的解集为．（2）证明：，因为的最小值为6，所以可化为，所以，\n当且仅当，时，等号成立，故．评分细则：【1】第（1）问中，也可以直接求解不等式，过程和结果正确，不扣分．【2】第（2）问未写取等条件扣1分．\n\n\n\n
