河南省豫北名校联盟高三第三次模拟考试理科数学试题（考试时间：120分钟试卷满分150分）注意事项：1．答题前，务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。2．答题时使用0.5毫米黑色签字笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．考生作答时，请将答案写在答题卡上，在本试卷上答题无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。请按题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。4．请保持卡面清洁，不折叠，无破损。一、选择题:本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数，则复数的虚部是2.设全集，则右图阴影部分表示的集合为，3.已知是平面内的两条直线，则“直线且”是“”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件的4.党的十八大以来，我们在脱贫攻坚领域取得了前所未有的成就，农村贫困人口大幅减少，解决困扰中华民族几千年的贫困问题，取得历史性成就.同时为全球减贫事业作出了重要贡献.2020年为脱贫攻坚收官之年，下图为2013年至2019年每年我国农村减贫人数的条形图.根据该条形图分析，下述结论中正确的个数为①平均每年减贫人数超过1300万;②每年减贫人数均保持在1100万以上:③打破了以往随着脱贫工作深入推进,难度越来越大,脱贫人数逐年递减的规律;④历年减贫人数的中位数是1240（万人）.A.1B.2C.3D.45．已知5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中抽取一道题，抽出的题不再放回.在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为\n6.已知为等差数列的前项和，若，则A.24B.26C.28D.307.已知直线将圆平分，且与直线垂直，则的方程为8.四边形中，,则9.现有如下信息:（1）黄金分割比（简称:黄金比）是指把一条线段分割为两部分，较短部分与较长部分的长度之比等于较长部分与整体长度之比，其比值为.（2）黄金三角形被誉为最美三角形，是较短边与较长边之比为黄金比的等腰三角形.（3）有一个内角为36°的等腰三角形为黄金三角形.由上述信息可求得10.已知抛物线上一点，为焦点，直线交抛物线的准线于点，满足，则抛物线方程为11.已知函数的部分图象如图所示，关于此函数的下列描述:①;②;③若，则;④若，则.其中正确的命题是A.②③B.①④C.①③D.①②12.已知函数与函数的图象交点分别为：，\n，则二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知命题“存在，使”是假命题，则实数的取值范围是_____.14.函数的图象与轴所围成的封闭图形的面积为_________.15.在中，，的面积为，为边的中点，当中线的长度最短时，边长等于________.16.若为双曲线的左焦点，过原点的直线与双曲线的左、右两支各交于两点，则的取值范围是________.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题：共60分。17．（本小题满分12分）已知数列的前项和为，且、、成等差数列，。⑴证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；⑵若数列中去掉数列的项后余下的项按原顺序组成数列，求的值.18．（本小题满分12分）已知函数的部分图像如图所示.(1)求函数的解析式；(2)在中，角的对边分别是，\n若，求的取值范围.19．（本小题满分12分）如图，扇形ADB的半径为2，圆心角∠AOB＝120°．PO⊥平面AOB，PO=，点C为弧AB上一点，点M在线段PB上，BM＝2MP，且PA∥平面MOC，AB与OC相交于点N．（1）求证：平面MOC⊥平面POB；（2）求平面POA与平面MOC所成二面角的正弦值．20．（本小题满分12分）设为椭圆上任一点，F1，F2为椭圆的左右两焦点，短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，（1）求椭圆的离心率；（2）直线:与椭圆交于、两点，直线,,的斜率依次成等比数列，且的面积等于，求椭圆的标准方程．21．（本小题满分12分）已知函数的极大值为，其中e＝2.71828…为自然对数的底数．（1）求实数k的值；（2）若函数，对任意x∈（0，+∞），g（x）≥af（x）恒成立．求实数a的取值范围；(二)选考题：共10分。请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做．则按所做的第一题记分。22．[选修4－4：坐标系与参数方程]已知极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点，极轴与轴的非负半轴重合．曲线的极坐标方程是，直线的极坐标方程是．（1）求曲线和直线的直角坐标方程；（2）设点，直线与曲线相交于点、，求的值．23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）设函数.\n（1）解不等式；（2）若对一切实数均成立，求的取值范围.理科数学答案1.【试题解析】D复数的虚部为，故选D.2.【试题解析】A易知阴影部分为集合，故选A.3.【试题解析】B 若与不相交，则“直线且”不能推出“”；反之，如果“”，无论与是否相交，都能推出“直线且”，故“直线且”是“”的必要不充分条件，故选B.4.【试题解析】C由图易知①②③正确，④中位数应为1289（万），④错，故选C.5.【试题解析】C 设事件“第1次抽到代数题”，事件“第2次抽到几何题”，则，故选C.6.【试题解析】C 由题意，所以，故选C.7.【试题解析】D 由题意知，直线过点，斜率为，所以直线，故选D.8.【试题解析】B由题意知，所以，故选B9.【试题解析】D由题意，设为的黄金三角形，有，所以，所以，另外，，也可获得此结果，故选D.10.【试题解析】C由知为线段上靠近的三等分点，所以，有，故选C.11.【试题解析】C由图知，，，故①正确，②错误；③中，而直线是函数的对称轴，故③正确，④错误，故选C.12.【试题解析】D由题意化简，，可知的图象与的图象都关于点对称，又，所以在上单调递减，由可知，在上单调递减，在上单调递增，由图象可知，与的图象有四个交点，且都关于点对称，所以所求和为4，故选D.\n13.14．1215．16．17．（本小题满分12分）【解析】⑴证明：因为n，，成等差数列，所以，①所以.②①－②，得，所以.又当时，，所以，所以，故数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以，即.（2）根据（1）求解知，，，所以，所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列.又因为，，，，，，，，，，，所以.18．（本小题满分12分）【解】（Ⅰ）由图像知，，∴，由图像可知，，∴，∴，∴，又∵，∴，∴.（Ⅱ）依题设，，∴，即，∴，又，∴.∴.由（Ⅰ）知，，又∵，∴，∴，∴的取值范围是.19．（本小题满分12分）【分析】（1）利用余弦定理可求得AB，BN，ON的长度，进而得到OB⊥ON，又PO⊥ON，由此得到ON⊥平面POB，再利用面面垂直的判定得证；（2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量公式得解．【解答】解：（1）证明：∵PA∥平面MOC，PA在平面PAB内，平面PAB∩平面MOC＝MN，∴PA∥MN，\n∵BM＝2MP，∴BN＝2AN，在△AOB中，由余弦定理有，＝，∴，又在△OBN中，∠OBN＝30°，由余弦定理有，＝，∴OB2+ON2＝BN2，故OB⊥ON，又PO⊥平面ABC，ON在平面ABC内，∴PO⊥ON，又PO∩OB＝O，且PO，OB都在平面POB内，∴ON⊥平面POB，又ON在平面MOC内，∴平面MOC⊥平面POB；（2）以点O为坐标原点，OC，OB，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，则，，设平面POA的一个法向量为，则，可取；设平面MOC的一个法向量为，则，可取，∴，∴平面POA与平面MOC所成二面角的正弦值为．20．（本小题满分12分）【解析】(Ⅰ)由题意可知，所以；4分（Ⅱ）设点，，则由，消,得，因为直线与椭圆交于不同的两点，所以，由韦达定理得，，由题意知，，即，\n所以，即，8分设点到直线的距离为，则，==，所以，解得即椭圆标准方程为12分21．（本小题满分12分）（12分）【解答】解：（1）f'（x）＝，x＞0，当x∈（0，e）时，f'（x）＞0，f（x）递增；当x∈（e，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）递减；所以f（x）的极大值为f（e）＝，故k＝1；（2）根据题意，任意x∈（0，+∞），g（x）≥af（x），即，化简得xex﹣alnx﹣ax﹣a≥0，令h（x）＝xex﹣alnx﹣ax﹣a，x＞0，h（x）＝elnxex﹣alnx﹣ax﹣a＝elnx+x﹣a（lnx+x）﹣a，令lnx+x＝t，t∈R，设H（t）＝et﹣at﹣a，H'（t）＝et﹣a，只需H（t）≥0，t∈R，当a＜0时，当t＜0时，H（t）＜1﹣at﹣a，所以H（）＜1﹣a（﹣1）﹣a＝0，不成立；当a＝0时，H（t）≥0显然成立；当a＞0时，由H'（t）＝et﹣a，当t∈（﹣∞，lna），H（t）递减，t∈（lna，+∞），H（t）递增，H（t）的最小值为H（lna）＝a﹣alna﹣a＝﹣alna，由H（lna）＝﹣alna≥0，得0＜a≤1，综上0≤a≤1；22．（本小题满分10分）【详解】（1）曲线化为：，将代入上式，即，整理得曲线的直角坐标方程.由，得，将代入上式，化简得，所以直线的直角坐标方程.（2）由（1）知，点在直线上，可设直线的参数方程为（为参数），\n即（为参数），代入曲线的直角坐标方程，得，整理，得，所以，，由题意知，.23．（本小题满分10分）解：（1）当时，，原不等式即为，解得；当时，，原不等式即为，解得；当时，，原不等式即为，解得；综上，原不等式的解集为或.┄┄┄┄┄┄┄┄┄5分（2）.当时，等号成立.的最小值为，要使成立，故，解得的取值范围是：.┄┄┄┄┄┄┄┄┄10分
