铁人中学2020级高二学年下学期期中考试数学试题试题说明：1、本试题满分150分，答题时间120分钟。2、请将答案填写在答题卡上，考试结束后只交答题卡。第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知集合，则以下结论正确的是（）A．B.C.D．2.（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3.已知随机变量，，那么（）A．0.2B．0.6C．0.4D．0.84.某种产品的投入x（单位：万元）与收入y（单位：万元）之间的关系如表：x24568y3040605070若已知y与x的线性回归方程为＝6.5x+17.5，那么当投入为4万元时，收入的随机误差为（ ）万元．A．﹣4.5B．4.5C．3.5D．﹣3.55.将个相同的小球放入编号为，，，的四个盒子中，恰好有两个空盒的方法数（）A.B.C.D.6.10张奖券中有4张“中奖”奖券，甲乙两人先后参加抽奖活动，每人从中不放回抽取一张奖券，甲先抽，乙后抽，在甲中奖条件下，乙没有中奖的概率为（ ）A．B．C．D．7.甲、乙两所学校举行了某次联考，甲校成绩的优秀率为30%，乙校成绩的优秀率为35%，现将两所学校的成绩放到一起，已知甲校参加考试的人数占总数的40%，乙校参加考试的人数占总数的60%，现从中任取一个学生成绩，则取到优秀成绩的概率为（）A．0.165B．0.16C．0.32D．0.338.在的展开式中，的系数为（）A.B.C.D.9.甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为，各局比赛结果相互独立且没有平局，则甲获得冠军的概率为（）\nA.B.C.D.10.从1,3,5,7中任取2个数字,从0,2,4,6中任取2个数字,一共可以组成没有重复数字的四位偶数的个数是（）A.360B.396C.432D.75611.（多选）已知的展开式中第项与第项的二项数系数相等，且展开式的各项系数之和为，则下列说法正确的是（）A.展开式中有理项有6项B.展开式中第项的系数最大C.展开式中奇数项的二项式系数和为D.展开式中含项的系数为12.（多选）甲罐中有个红球，个白球和个黑球，乙罐中有个红球，个白球和个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（）A.B.C.D.，，是两两互斥的事件第II卷（非选择题、共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.设随机变量，若，则_________。14.某教育局安排4名骨干教师分别到3所农村学校支教，若每所学校至少安排1名教师，且每名教师只能去一所学校，则不同的安排方案有___________种。(用数字作答)15.若y均为正实数，且；则的最小值为________。16.下列命题中结论正确的是________________。(1)对两个变量进行回归分析，若所有样本点都在直线y=-2x+1上,则r=1;(2)对两个变量进行回归分析，以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则，的值分别是和；(3)某人投篮一次命中的概率为，某次练习他进行了20次投篮，每次投篮命中与否没有影响，\n设本次练习他投篮命中的次数为随机变量，则当P(X=k)（k=1,2,…,20）取得最大值时，。(4)已知，则三、解答题：(共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)17.（本小题满分10分）随着我国老龄化进程不断加快，养老将会是未来每个人要面对的问题，而如何养老则是我国逐渐进入老龄化社会后，整个社会需要回答的问题．为了调查某地区老年人是否愿意参加养老机构，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老人，结果如下：是否愿意参加男女不愿意5050愿意150250（1）若把频率作为概率，估计该地区男性老年人中，愿意参加养老机构男性老年人的概率；（2）依据小概率值的独立性检验，能否认为该地区的老年人是否愿意参加养老机构与性别有关？附：．0.050.0250.010.0050.0013.8415.0246.6357.87910.82818.（本小题满分12分）从某居民区随机抽取10个家庭,获得第个家庭的月收入(单位:千元)与月储蓄(单位:千元)的数据资料,算得（1）求家庭的月储蓄对月收入的线性回归方程;（2）利用（1）中的回归方程，预测当该居民区某家庭月收入为7千元,该家庭的月储蓄额.附:线性回归方程系数公式.中,,,其中,为样本平均值.19.（本小题满分12分）袋中装有黑色球和白色球共7个，从中任取2个球都是白色球的概率为.现有甲、乙两人从袋中轮流摸出1个球，甲先摸，乙后摸，然后甲再摸，……，摸后均不放回，直到有一人摸到白色球后终止．每个球在每一次被摸出的机会都是等可能的，用X表示摸球终止时所需摸球的次数．\n（1）求随机变量X的分布列和均值E(X)；（2）求甲摸到白色球的概率．20.（本小题满分12分）已知函数，．（1）当时，求的最小值；（2）当时，若存在，使得对任意的，恒成立，求的取值范围．21.（本小题满分12分）某商场举行有奖促销活动，顾客消费每满400元，均可抽奖一次．抽奖箱里有3个红球和3个白球，这些球除颜色外完全相同．抽奖方案有如下两种，顾客自行选择其中的一种．方案一：从抽奖箱中，有放回地每次摸取1个球，连摸2次，每摸到1次红球，获现金100元．方案二：从抽奖箱中，一次性摸出2个球，若摸出2个红球，则获现金200元；若摸出1个红球，则获现金100元；若没摸出红球，则不获得钱．（1）若顾客消费满400元，且选择抽奖方案一，求他所获奖金X的分布列和期望；（2）若顾客消费满800元，且选择抽奖方案二，求他恰好获得200元奖金的概率；（3）写出抽奖一次两种方案所获奖金期望的大小关系．（直接写出结果）22.（本小题满分12分）\n铁人中学2020级高二学年下学期期中考试数学试题答案一．选择题：ABBDACDCCB(ABD)(BCD)二．填空题：4；36；；(2)(4)17(1)由统计数据可知，愿意参加养老机构的男性老年人为150，调查的男性老年人的总人数为200，故男性老年人中愿意参加养老机构的频率为．根据频率稳定于概率的原理，估计该地区男性老年人中，愿意参加养老机构的男性老年人的概率为．(2)设零假设：该地区的老年人是否愿意参加养老机构与性别无关．根据列联表中的数据，经计算可得，根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为该地区的老年人是否愿意参加养老机构与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.025．18.解：(1)由题意知n＝10，，则，所以所求回归方程为＝0.3x－0.4.(2)将x＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为＝0.3×7－0.4＝1.7(千元).19.解：设袋中白色球共有x个，x∈N*且x≥2，则依题意知＝，所以，即x2－x－6＝0，解得x＝3(x＝－2舍去)．(1)袋中的7个球，3白4黑，随机变量X的所有可能取值是1,2,3,4,5.P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，P(X＝5)＝＝.\n随机变量X的分布列为X12345P所以E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝2.(2)记事件A为“甲摸到白色球”，则事件A包括以下三个互斥事件：A1＝“甲第1次摸球时摸出白色球”；A2＝“甲第2次摸球时摸出白色球”；A3＝“甲第3次摸球时摸出白色球”．依题意知，P(A1)＝＝，P(A2)＝＝，P(A3)＝＝，所以甲摸到白色球的概率为P(A)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝＋＋＝.20.解：的定义域为，，当时，，，为增函数，所以；当时，，，为减函数，，，为增函数，所以；当时，，，为减函数，所以；综上，当时，；当时，；当时，；存在，使得对任意的，恒成立，即，当时，由可知，，为增函数，，，\n当时，为减函数，，，，．21.解：（1）顾客消费满400元，获得一次抽奖机会，由方案一的规则，每次摸到红球的概率是，所以X的可能取值为0，100，200，则P（X＝0）=＝，P（X＝100）＝＝，P（X＝200）＝＝，故X的分布列为：X0100200P所以E（X）＝0×+100×+200×＝100；（2）因为顾客消费满800元，所以他可以抽奖2次，他恰好获得200元奖励有两种可能：一次200元、一次0元或者两次各得100元，所以他恰好获得200元奖金的概率为＝；（3）若选择方案一：由（1）可知，所获奖金X的期望为100元，若选择方案二：设所获奖金为随机变量Y，则Y的可能取值为0，100，200，所以P（Y＝0）＝＝，P（Y＝100）＝＝，P（Y＝200）＝＝，所以E（Y）＝0×+100×+200×＝100，所以两种方案所获得奖金的数学期望相等．22.解：（1）a＝1时，，由m＞0，得＞0，故＞1\n又对任意x≥e都有f（x）≥e＝ln，即f（x）≥f（）恒成立，由f′（x）＝lnx+1，易知在（，+∞）上单调递增，又＞1故x≥，可得lnx≥，即xlnx≥m对任意x≥e恒成立，而当x≥e时，f（x）=xln的最小值是f（e）＝e，故m的最大值是e；（2）证明：要证x1x2＞e2，只需证明ln（x1x2）＞2即可，由题意x1，x2是方程axlnx+x2＝0的两个不相等的实数根，∵x＞0，∴，消去a，整理得：ln（x1x2）＝ln•，不妨设x1＞x2，令t＝，则t＞1，故只需证明当t＞1时，lnt•＞2，即证明lnt＞，设h（t）＝lnt﹣，则h′（t）＝﹣2＝＞0，于是h（t）在（1，+∞）单调递增，从而h（t）＞h（1）＝0，故lnt＞，故x1x2＞e2
