长沙市周南中学2022年高二年级下学期数学科期末考试试题分量：150分时量：120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（）A．B．C．D．2．已知i为虚数单位，复数在复平面上对应的点Z位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．利用独立性检验的方法调查高中生爱好某项运动与性别是否有关，通过随机调查200名高中生是否爱好某项运动，利用列联表，计算可得，参照下表，得到的正确结论是（）0.1000.0500.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828A．有99%的高中生爱好该项运动B．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”D．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”4．函数为偶函数的一个充分条件是（）A．B．C．D．5．已知点P（x，y）在直线上的运动，则的最小值是（）A．B．C．D．6．已知椭圆C：的左右焦点分别为F1、F2，过左焦点F1，作直线交椭圆C于A、B两点，则三角形ABF2的周长为（）A．10B．15C．20D．25\n7．已知，则等于（）A．1B．C．D．8．“熵”是用来形容系统混乱程度的统计量，其计算公式为，其中i表示所有可能的微观态，表示微观态i出现的概率，为大于0的常数（称为玻尔兹曼常数）．则在以下四个系统中，混乱程度最高的是（）A．B．，C．D．，，二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知平面向量，，，则下列说法正确的是（）A．B．若，则C．D．若，，则10．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，，，则（）A．B．C．D．11．已知函数，则下列结论中正确的是（）A．的定义域是B．是偶函数C．在区间上是增函数D．的图象关于直线对称12．现有不同的红球4个，黄球5个，绿球6个，则下列说法正确的是（）A．从中选出2个球，正好一红一黄，有9种不同的选法B．若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法C．若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法D．若要不放回地依次选出2个球，有210种不同的选法三、填空题（共20分．其中13~15题每题5分；16题第1空2分，第2空3分．）13．随机变量，且，则p=________．\n14．在的展开式中，其二项式系数和为64，则所有项的系数和为________．15．记函数的导函数为．若，则________．16．已知函数，当时，函数有________个零点；记函数的最大值为，则的最小值为_________．四、解答题（共6个大题，满分70分，应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（满分10分）已知数列（）满足：当n为奇数时，；当n为偶数时，．（1）判断2023是否为数列（）中的项，并说明理由；（2）若（），记数列的前n项和为，求．18．（满分12分）已知△ABC中，∠B=60°，∠C=45°，AB=4．（1）求AC；（2）问线段BC上是否存在点D，使得AD=？如果存在，求线段BD的长；如果不存在，请说明理由．\n19．（满分12分）某校积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍甍”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，E、F、G分别是正方形的三边AB、CD、AD的中点，先沿着虚线段FG将等腰直角三角形FDG裁掉，再将剩下的五边形ABCFG沿着线段EF折起，连接AB、CG就得到了一个“刍甍”（如图2）．（1）若O是四边形EBCF对角线的交点，求证：AO∥平面GCF；（2）若二面角A−EF−B是直二面角，求点B到平面GCF的距离．20．（满分12分）“剧本杀”游戏，玩家通常在一间密闭的房间中，先由主持人讲述相关的故事背景和注意事项，不同的主题有不同的故事背景，市面上较多的为电影主题，宝藏主题，牢笼或密室逃脱主题等．甲、乙、丙三个人组成团队参加某个“剧本杀”游戏，首先要解密码锁入局，3个人依次进行，每人必须在5分钟内完成，否则派下一个人．3个人中只要有一人能解开密码锁，则该团队入局，否则出局．甲在5分钟内解开密码锁的概率为0.8，乙在5分钟内解开密码锁的概率为0.6，丙在5分钟内解开密码锁的概率为0.5，各人是否解开密码锁相互独立．（1）求该团队能入局的概率；（2）该团队以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目X的数学期望达到最小？并说明理由．\n21．（满分12分）已知F1（，0），F2（，0）为双曲线C的两个焦点，点P（2，）在双曲线C上．（1）求双曲线C的方程；（2）已知点A，B是双曲线C上异于P的两点，直线PA，PB与y轴分别相交于M，N两点，若，证明：直线AB过定点．22．（满分12分）已知曲线在处的切线方程为．其中a、b均为实数．（1）求的值；（2）若是函数的极小值点，证明：．参考数据：，，，．\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n
