广东省汕头市澄海区2022年初中毕业生数学学业考试一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请将所选选项的字母填涂在答题卷中对应题号的方格内）1．（4分）（2022•毕节地区）下列四个数中，无理数是（ ） A．B．C．0D．π考点：无理数．分析：利用无理数是无限不循环小数分析求解即可求得答案，注意掌握排除法在解选择题中的应用．解答：解：A、=2，是有理数，故选项错误；B、，是分数，故是有理数，故选项错误；C、0是整数，故是有理数，故选项错误；D、π是无理数．故选D．点评：此题主要考查了无理数的定义．无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式，注意带根号的要开不尽方才是无理数， 2．（4分）（2022•澄海区模拟）计算（﹣5a3）2的结果是（ ） A．﹣25a5B．25a6C．10a6D．﹣10a5考点：幂的乘方与积的乘方．分析：根据积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．（ab）n=anbn（n是正整数）计算即可．解答：解：（﹣5a3）2=25a6．故选B．点评：考查了积的乘方，注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果． 3．（4分）（2022•仙桃）如图所示，该几何体的俯视图是（ ） A．B．C．D．考点：简单组合体的三视图．分析：根据俯视图是从上面看到的图形判定则可．解答：解：从上面看，是中间一个正方形，两边两个矩形．故选A．点评：本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图． 134．（4分）（2022•呼和浩特）有一个正方体，6个面上分别标有1～6这6个整数，投掷这个正方体一次，则出现向上一面的数字为偶数的概率是（ ） A．B．C．D．考点：概率公式．专题：压轴题．分析：投掷这个正方体会出现1到6共6个数字，每个数字出现的机会相同，即有6个可能结果，而这6个数中有2，4，6三个偶数，则有3种可能．解答：解：根据概率公式：P（出现向上一面的数字为偶数）=．故选C．点评：用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． 5．（4分）（2022•澄海区模拟）如图，AB∥CD，AD和BC相交于点O，∠A=30°，∠COD=80°，则∠C=（ ） A．50°B．60°C．70°D．80°考点：平行线的性质；三角形内角和定理．专题：探究型．分析：先根据平行线的性质求出∠D的度数，再由三角形内角和定理即可得出结论．解答：解：∵AB∥CD，∴∠D=∠A=30°，∵∠COD=80°，∴∠C=180°﹣∠D﹣∠COD=180°﹣30°﹣80°=70°．故选C．点评：本题考查的是平行线的性质，解答此类问题时往往用到三角形的内角和是180°这一隐藏条件． 6．（4分）（2022•毕节地区）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将△ABO扩大到原来的2倍，得到△A′B′O．若点A的坐标是（1，2），则点A′的坐标是（ ） A．（2，4）B．（﹣1，﹣2）C．（﹣2，﹣4）D．（﹣2，﹣1）13考点：位似变换；坐标与图形性质．分析：根据以原点O为位似中心，将△ABO扩大到原来的2倍，即可得出对应点的坐标应乘以﹣2，即可得出点A′的坐标．解答：解：根据以原点O为位似中心，图形的坐标特点得出，对应点的坐标应乘以﹣2，故点A的坐标是（1，2），则点A′的坐标是（﹣2，﹣4），故选：C．点评：此题主要考查了关于原点对称的位似图形的性质，得出对应点的坐标乘以k或﹣k是解题关键． 7．（4分）（2022•咸宁）不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A．B．C．D．考点：在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组．分析：分别求出各不等式的解集，并求出其公共解集，在数轴上表示出来即可．解答：解：，由①得，x＞1；由②得，x＜2，故此不等式组的解集为：1＜x≤2．在数轴上表示为：故选C．点评：本题考查的是在数轴上表示不等式的解集及解一元一次不等式组，熟知实心圆点与空心圆点的区别是解答此题的关键． 8．（4分）（2022•澄海区模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C是半圆的中点，动点P在弦BC上，则∠PAB可能为（ ） A．90°B．50°C．46°D．26°考点：圆周角定理；等腰直角三角形．分析：首先连接AC，由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠ACB=90°，又由点C是半圆的中点，可得∠CAB=45°，继而可得0°≤∠PAB≤45°．解答：解：连接AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，13∵点C是半圆的中点，∴AC=BC，∴∠CAB=∠B=45°，∴0°≤∠PAB≤45°．故选D．点评：此题考查了圆周角定理以及等腰直角三角形性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，请将下列各题的正确答案填写在答题卷相应的位置上）9．（4分）（2022•澄海区模拟）光的传播速度为300000km/s，该数用科学记数法表示为 3×105 km/s．考点：科学记数法—表示较大的数．专题：常规题型．分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于300000有6位，所以可以确定n=6﹣1=5．解答：解：300000=3×105．故答案为：3×105．点评：此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定n值是关键． 10．（4分）（2022•澄海区模拟）使二次根式有意义的最小整数m是 1 ．考点：二次根式有意义的条件．分析：根据被开方数大于等于0列式求出m的取值范围，再写出最小整数值即可．解答：解：根据题意得，m﹣1≥0，解得m≥1，所以，最小整数m是1．故答案为：1．点评：本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数． 11．（4分）（2022•澄海区模拟）如图，平地上A、B两点被池塘隔开，测量员在岸边选一点C，并分别找到AC和BC的中点M、N，经量得MN=24米，则AB= 48 米．13考点：三角形中位线定理．专题：应用题．分析：根据三角形中位线的定义推知MN是三角形ABC的中位线，然后利用三角形中位线定理求得AB的长度即可．解答：解：∵点M、N是分别是AC和BC的中点，∴MN是△ABC的中位线，MN=24米，∴MN=AB=24米，∴AB=48米．故答案是：48．点评：此题考查的是三角形中位线定理，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半． 12．（4分）（2022•盐城）分解因式：a2﹣4b2= （a+2b）（a﹣2b） ．考点：因式分解-运用公式法．分析：直接用平方差公式进行分解．平方差公式：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．解答：解：a2﹣4b2=（a+2b）（a﹣2b）．点评：本题考查运用平方差公式进行因式分解，熟记公式结构是解题的关键． 13．（4分）（2022•澄海区模拟）如图，以BC为直径的⊙O与△ABC的另两边分别相交于点D、E．若∠A=60°，BC=2，则图中阴影部分的面积为 ．考点：扇形面积的计算．分析：先根据三角形内角和定理得出∠ABC+∠ACB的度数，再由△OBD、△OCE是等腰三角形得出∠BDO+∠CEO的度数，由三角形内角和定理即可得出∠BOD+∠COD的度数，再根据扇形的面积公式即可得出结论．解答：解：∵△ABC中，∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣60°=120°，∵△OBD、△OCE是等腰三角形，∴∠BDO+∠CEO=∠ABC+∠ACB=120°，∴∠BOD+∠COE=360°﹣（∠BDO+∠CEO）﹣（∠ABC+∠ACB）=360°﹣120°﹣120°=120°，∵BC=2，∴OB=OC=1，∴S阴影==π．故答案为：．13点评：本题考查的是扇形面积的计算，解答此类问题时往往用到三角形的内角和是180°这一隐藏条件． 三、解答题（一）（本大题共5小题，每小题7分，共35分）14．（7分）（2022•澄海区模拟）计算：．考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．分析：先分别根据绝对值的性质、0指数幂的计算法则、负整数指数幂的计算法则及特殊角的三角函数值计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．解答：解：原式=﹣1+2×﹣=﹣1．点评：本题考查的是实数的运算，熟知绝对值的性质、0指数幂的计算法则、负整数指数幂的计算法则及特殊角的三角函数值是解答此题的关键． 15．（7分）（2022•澄海区模拟）解分式方程：．考点：解分式方程．专题：计算题．分析：分式方程变形后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．解答：解：方程两边都乘以（x﹣2）得，3﹣x=x﹣2，移项合并得：2x=5，解得：x=，经检验x=是原方程的解，∴原分式方程的解是x=．点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 16．（7分）（2000•东城区）已知：如图，矩形ABCD中，E、F是AB上的两点，且AF=BE．求证：∠ADE=∠BCF．考点：矩形的性质；全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：根据矩形的性质可知AD=BC，∠A=∠B=90°．又AF=BE可证AE=BF，SAS可先得出△ADE﹣≌△BCF，再根据全等三角形的性质得出结论．解答：证明：∵四边形ABCD是矩形，13∴AD=BC，∠A=∠B=90°．∵AF=BE，∴AF﹣EF=BE﹣EF．即AE=BF．（2分）在△ADE和△BCF中，，∴△ADE﹣≌△BCF．（4分）∴∠ADE=∠BCF．（5分）点评：本题重点考查了矩形的性质及三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目． 17．（7分）（2022•澄海区模拟）如图，在△ABC中，AB=AC=8cm，BC=6cm．（1）用尺规作图作腰AC的垂直平分线l（保留作图痕迹，不要求写作法、证明）；（2）若直线l与AB交于点D，连结CD，求△BCD的周长．考点：作图—复杂作图．分析：（1）根据垂直平分线的作法，直接作出AC的垂直平分线即可；（2）根据垂直平分线的性质得出AD=CD，进而根据CD+BD+BC=AD+BD+BC求出即可．解答：解：（1）如图，直线l为所求的图形；（2）∵l为AC的垂直平分线，∴AD=CD，∵AB=8cm，BC=6cm，∴△BCD的周长为：CD+BD+BC=AD+BD+BC=AB+BC=14（cm）．点评：此题主要考查了复杂作图以及垂直平分线的作法和性质等知识，根据垂直平分线的性质得出AD=DC是解题关键． 18．（7分）（2022•河池）某校为了解九年级学生体育测试情况，以九年级（1）班学生的体育测试成绩为样本，按A，B，C，D四个等级进行统计，并将统计结果绘制成如下的统计图，请你结合图中所给信息解答下列问题：（说明：A级：90分～100分；B级：75分～89分；C级：60分～74分；D级：60分以下）（1）请把条形统计图补充完整；（2）样本中D级的学生人数占全班学生人数的百分比是 ；（3）扇形统计图中A级所在的扇形的圆心角度数是 ；13（4）若该校九年级有500名学生，请你用此样本估计体育测试中A级和B级的学生人数约为 人．考点：扇形统计图；用样本估计总体；条形统计图．专题：图表型．分析：（1）利用A类有10人，占总体的20%，求出总人数，再求出D级的学生人数；（2）利用各部分占总体的百分比之和为1，即可求出D级的学生人数占全班学生人数的百分比；（3）利用A级所占的百分比即可求出A级所在的扇形的圆心角度数；（4）用样本估计总体，利用样本中A、B级所占的百分比及可求出A级和B级的学生人数．解答：解：（1）读图可得：A类有10人，占总体的20%，所以总人数为10÷20%=50人，则D级的学生人数为50﹣10﹣23﹣12=5人．据此可补全条形图；（2分）（2）在扇形统计图中，因为各部分占总体的百分比之和为1，所以D级的学生人数占全班学生人数的百分比是1﹣46%﹣24%﹣20%=10%；（4分）（3）读扇形图可得：A级占20%，所在的扇形的圆心角为360°×20%=72°；（6分）（4）读扇形图可得：A级和B级的学生占46%+20%=66%；故九年级有500名学生时，体育测试中A级和B级的学生人数约为500×66%=330人．（8分）点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图中各部分占总体的百分比之和为1，并且扇形统计图能直接反映部分占总体的百分比大小． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）19．（9分）（2022•澄海区模拟）平面直角坐标系xOy中，反比例函数（k＞0）的图象经过点A（2，m），过点A作AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为1．（1）求m和k的值；（2）若过点A的直线与y轴交于点C，且∠ACO=45°，直接写出点C的坐标．考点：反比例函数综合题．专题：计算题．分析：（1）把（2m）代入反比例函数，可得k=2m，且m＞0，再根据△AOB的面积为1可得13，解可得m，进而可求k；（2）据图可得点C有两个，坐标分别是（0，3）和（0，﹣1）．解答：解：（1）∵反比例函数y=的图象经过点A（2，m），∴2m=k，且m＞0，∵AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为1，∴，解得m=1，∴点A的坐标为（2，1），∴k=2m=2，（2）点C的坐标为（0，3）或（0，﹣1）．点评：本题考查了反比例函数的知识，解题的关键是理解点和函数的关系，并能依题意画图，要考虑两种情况． 20．（9分）（2022•澄海区模拟）钓鱼岛自古就是中国的领土，中国有关部门已对钓鱼岛及其附属岛屿开展常态化监视监测．一日，中国一艘海监船从A点沿正北方向巡航，其航线距钓鱼岛（设M，N为该岛的东西两端点）最近距离为12海里（即MC=12海里）．在A点测得岛屿的西端点M在点A的东北方向；航行4海里后到达B点，测得岛屿的东端点N在点B的北偏东60°方向，（其中N，M，C在同一条直线上），求钓鱼岛东西两端点MN之间的距离．考点：解直角三角形的应用-方向角问题．专题：压轴题．分析：在直角△ACM，∠CAM=45度，则△ACM是等腰直角三角形，即可求得AC的长，则BC可以求得，然后在直角△BCN中，利用三角函数求得AN，根据MN=CN﹣CM即可求解．解答：解：在直角△ACM，∠CAM=45度，则△ACM是等腰直角三角形，13则AC=CM=12（海里），∴BC=AC﹣AB=12﹣4=8（海里），直角△BCN中，CN=BC•tan∠CBN=BC=8（海里），∴MN=CN﹣CM=8﹣12（海里）．答：钓鱼岛东西两端点MN之间的距离是8﹣12海里．点评：本题考查了三角函数，正确求得BC的长度是关键． 21．（9分）（2022•澄海区模拟）“友谊商场”某种商品平均每天可销售100件，每件盈利20元．“五一”期间，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件该商品每降价1元，商场平均每天可多售出10件．设每件商品降价x元．据此规律，请回答：（1）降价后每件商品盈利 （20﹣x） 元，商场日销售量增加 10x 件（用含x的代数式表示）；（2）在上述条件不变的情况下，求每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2240元？考点：一元二次方程的应用．专题：销售问题．分析：（1）降价1元，可多售出10件，降价x元，可多售出10x件，盈利的钱数=原来的盈利﹣降低的钱数；（2）等量关系为：每件商品的盈利×可卖出商品的件数=2240，把相关数值代入计算得到合适的解即可．解答：解：（1）（20﹣x），10x（2）根据题意得：（20﹣x）（100+10x）=2240，整理得，x2﹣10x+24=0，解得x1=4，x2=6答：每件商品降价4或6元时，商场日盈利可达到2240元．点评：考查一元二次方程的应用；得到可卖出商品数量是解决本题的易错点；得到总盈利2240的等量关系是解决本题的关键． 五、解答题（三）（本大题共3小题，每小题12分，共36分）22．（12分）（2022•澄海区模拟）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10…，这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16…，这样的数称为“正方形数”．（1）第5个三角形数是 15 ，第n个“三角形数”是 ，第5个“正方形数”是 25 ，第n个正方形数是 n2 ；（2）经探究我们发现：任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．例如：①4=1+3，②9=3+6，③16=6+10，④ 25=10+15 ，⑤ 36=15+21 ，…．请写出上面第4个和第5个等式；（3）在（2）中，请探究第n个等式，并证明你的结论．考点：整式的混合运算；规律型：数字的变化类．分析：（1）观察发现，第5个三角形数等于第4个三角形数加上5，即为15，第n个“三角形数”等于第（n﹣1）个“三角形数”加上n，即为1+2+3+…+n，计算即可；第5个“正方形数”是52，第n个正方形数是n2；（2）根据①4=1+3，②9=3+6，③16=6+10即可得出第4个等式为第5个三角形数等于第4个三角形数加上第5个三角形数，第5个等式为第6个三角形数等于第5个三角形数加上第6个三角形数；（3）第n个等式为第（n+1）个“三角形数”等于第n个“三角形数”加上第（n+1）个“三角形数”．13解答：解：（1）15，，25，n2；（2）25=10+15，36=15+21；（3），∵右边===n2+2n+1=（n+1）2=左边，∴原等式成立．故答案为15，，25，n2；25=10+15，36=15+21．点评：本题考查了整式的混合运算及规律型：数字的变化类，首先要观察出“三角形数”和“正方形数”的变化规律，再根据规律解题． 23．（12分）（2022•澄海区模拟）已知Rt△AOB，其中∠AOB=90°，OA=6，OB=8．将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB交于点C，与边AB交于点D．（1）如图（1），若折叠后使点B与点O重合，则点D的坐标为 （3，4） ；（2）如图（2），若折叠后使点B与点A重合，求点C的坐标；（3）如图（3），若折叠后点B落在边OA上的点为B′，是否存在点B′，使得四边形BCB′D是菱形？若存在，请说明理由并求出菱形的边长；若不存在，请说明理由．考点：一次函数综合题．分析：（1）A是直线AB的中点，则D的坐标即可求解；（2）折叠后使点B与点A重合，则C在AB的中垂线上，Rt△AOC中利用勾股定理即可得到方程，求得C的坐标；（3）当B'C∥AB（或B'D∥BO）时，四边形BCB'D是菱形，则△OB'C∽△OAB，依据相似三角形的对应边的比相等即可求得B′C的长度，然后根据△AB'D∽△AOB，即可求得B′D的长．从而证得B'C=BC=B'D=BD．解答：解：（1）∵OA=6，OB=8∴A的坐标是（6，0），B的坐标是（0，8），D是AB的中点，则坐标是：（3，4）；（2）设C（0，m），（m＞0），则CO=m，BC=AC=（8﹣m），在Rt△AOC中，有（8﹣m）2﹣m2=36，13整理得，16m=28，∴，∴C（0，）；（3）存在，当B'C∥AB（或B'D∥BO）时，四边形BCB'D是菱形，∵∠AOB=90°，OA=6，OB=8，∴AB=10，∵B'C∥AB，∴△OB'C∽△OAB，∴，设B'C=BC=x，则，解得，，∵B'C∥AB，∴∠CBD+∠BCB'=180°，又∵∠CBD=∠CB'D，∴∠CB'D+∠BCB'=180°，∴B'D∥BO，∴△AB'D∽△AOB，∴，设B'D=BD=y，∴，解得：，∴B'C=BC=B'D=BD，∴四边形BCB'D是菱形，∴存在点B'，使得四边形BCB'D是菱形，此时菱形的边长为．点评：本题是勾股定理、相似三角形的判定与性质、菱形的性质的综合应用． 24．（12分）（2022•澄海区模拟）如图，已知在平面直角坐标系中，二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C．（1）求这个抛物线的对称轴及顶点坐标；（2）若在x轴下方且平行于x轴的直线与该抛物线交于点M、N，若以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆的半径；（3）在抛物线的对称轴l上是否存在点P，使△PAC为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．13考点：二次函数综合题．专题：综合题．分析：（1）配方后即可确定其顶点坐标和对称轴；（2）设出圆的半径表示出点N的坐标，然后根据N点在抛物线上求得圆的半径即可；（3）分PA=PC、PA=AC和PC=AC三种情况分类讨论即可得到结论．解答：解：（1）∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的对称轴为x=1，顶点坐标为（1，﹣4）；（2）设所求圆的半径为r（r＞0），M在N的左侧，由题意可知所求圆的圆心在抛物线的对称轴x=1上，作NG⊥x轴于点G，∵所求圆与x轴相切，MN∥x轴，且圆心在x轴下方，∴N（r+1，﹣r），∵N（r+1，﹣r）在抛物线y=x2﹣2x﹣3上，∴﹣r=（r+1）2﹣2（r+1）﹣3，解得，（负值舍去）∴．（3）∵抛物线的对称轴为x=1，设P（1，m），在Rt△AOC中，AC2=1+32=10，在Rt△APE中，PA2=m2+4，在Rt△PCF中，PC2=（m+3）2+1=m2+6m+10，①若PA=PC，则PA2=PC2，得：m2+4=m2+6m+10，解得：m=﹣1；②若PA=AC，则PA2=AC2，得：m2+4=10，解得：m=；③若PC=AC，则PC2=AC2，得：m2+6m+10=10，解得：m=0或m=﹣6；当m=﹣6时，P、A、C三点共线，不合题意，舍去，∴符合条件的P点的坐标分别为：P1（1，）、P2（1，）、P3（1，﹣1），P4（1，0）．13点评：本题考查了二次函数的综合知识，特别是顶点坐标、对称轴的确定是进一步解题的依据，比较重要． 13
