2022-2022学年度上学期第一次月考高三数学试题（文科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.1.设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1<0}，则A∪B等于( )A．(－1,1)B．(－1，＋∞)C．(0,1)D．(0，＋∞)2.已知α，β均为第一象限角，那么“α＞β”是“sinα＞sinβ”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．既不充分也不必要条件D．充要条件3.下列四个命题：p1：∃x0∈(0，＋∞)，；p2：∃x0∈(0,1)，；p3：∀x∈(0，＋∞)，x＞；p4：∀x∈，x＜.其中真命题是( )A．p1，p3B．p2，p4C．p2，p3D．p1，p44.若函数y＝f(x)的定义域是[0,2018]，则函数g(x)＝的定义域是( )A．[－1,2017]B．[0,2018]C．[－1,1)∪(1,2018]D．[－1,1)∪(1,2017]5.已知函数f(x)＝且f(a)＝－3，则f(6－a)等于( )A．－B．－C．－D．－6.已知f(x)＝是(－∞，＋∞)上的减函数，则a的取值范围是( )A．(0,1)B.C.D.7.已知函数g(x)是R上的奇函数，且当x＜0时，g(x)＝－ln(1－x)，函数f(x)＝若f(2－x2)＞f(x)，则实数x的取值范围是( )A．(－∞，1)∪(2，＋∞)B．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C．(1,2)D．(－2,1)8.对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)与二次函数y＝(a－1)x2－x在同一坐标系内的图象可能是( )-7-\n9.4cos50°－tan40°等于( )A．B．C．D．2－110.已知cos31°＝a，则sin239°·tan149°的值是( )A.B.C.D．－11.在△ABC中，已知向量与满足·＝0，且·＝，则△ABC为( )A．等边三角形B．直角三角形C．等腰非等边三角形D．三边均不相等的三角形12.定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，f(0)＝0.若对任意x∈R，都有f(x)>f′(x)＋1，则使得f(x)＋ex<1成立的x的取值范围为( )A．(－1，＋∞)B．(－∞，0)C．(0，＋∞)D．(－∞，1)二、填空题（每小题5分，共20分）13.已知命题p：∀x∈R，x2－a≥0；命题p：∃x0∈R，x＋2ax0＋2－a＝0.若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围为__________．14.已知向量a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且a∥b，则m＝________.15.已知a＝，b＝log2，c＝，则a，b，c的大小关系为________．16.设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知当x∈[0,1]时，f(x)＝2x，则有①2是函数f(x)的周期；②函数f(x)在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数；③函数f(x)的最大值是1，最小值是0.其中所有正确命题的序号是________．三、解答题（共70分）17.函数f(x)＝4tanx·sin·cos－.(1)求f(x)的定义域与最小正周期；(2)讨论f(x)在区间上的单调性．-7-\n18.已知函数y＝(a，b为常数，且a>0，a≠1)在区间上有最大值3，最小值，试求a，b的值．19.已知函数f(x)＝ln.(1)求函数f(x)的定义域，并判断函数f(x)的奇偶性；(2)对于x∈[2,6]，f(x)＝ln>ln恒成立，求实数m的取值范围．20.已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝ax2＋2x(a≠0)．(1)若函数h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；(2)若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1,4]上单调递减，求a的取值范围．-7-\n21.已知函数f(x)＝lnx－ax(a∈R)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a>0时，求函数f(x)在[1,2]上的最小值．22.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(a－c)·＝c·.(1)求角B的大小；(2)若|－|＝，求△ABC面积的最大值．-7-\n高三数学答案（文科）1.B2.C3.B4.D5.D6.D7.D8.A9.C10.D11.A12.C13(－∞，－2]14－615c>a>b16①②17解 (1)f(x)的定义域为.f(x)＝4tanxcosxcos－＝4sinxcos－＝4sinx－＝2sinxcosx＋2sin2x－＝sin2x＋(1－cos2x)－＝sin2x－cos2x＝2sin.[4]所以f(x)的最小正周期T＝＝π.[5分](2)∵x∈，∴2x－∈，[7分]由y＝sinx的图象可知，当2x－∈，即x∈时，f(x)单调递减；当2x－∈，即x∈时，f(x)单调递增．[9分]所以当x∈时，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减．[10分]18 令t＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，∵x∈，∴t∈[－1,0]．①若a>1，函数f(t)＝at在[－1,0]上为增函数，∴at∈，b＋∈，依题意得解得②若0<a<1，函数f(t)＝at在[－1,0]上为减函数，∴at∈，b＋∈，依题意得解得综上知，a＝2，b＝2或a＝，b＝.19 (1)由>0，解得x<－1或x>1，∴函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，当x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，f(－x)＝ln＝ln＝ln－1＝－ln＝－f(x)，-7-\n∴f(x)＝ln是奇函数．(2)∵x∈[2,6]时，f(x)＝ln>ln恒成立，∴>>0，∵x∈[2,6]，∴0<m<(x＋1)(7－x)在[2,6]上恒成立．令g(x)＝(x＋1)(7－x)＝－(x－3)2＋16，x∈[2,6]，由二次函数的性质可知，x∈[2,3]时函数g(x)单调递增，x∈[3,6]时函数g(x)单调递减，∴当x∈[2,6]时，g(x)min＝g(6)＝7，∴0<m<7.20(1)h(x)＝lnx－ax2－2x，x∈(0，＋∞)，所以h′(x)＝－ax－2，由于h(x)在(0，＋∞)上存在单调递减区间，所以当x∈(0，＋∞)时，－ax－2<0有解，即a>－有解．设G(x)＝－，所以只要a>G(x)min即可．而G(x)＝2－1，所以G(x)min＝－1.所以a>－1.又因为a≠0，所以a的取值范围为(－1,0)∪(0，＋∞)．(2)因为h(x)在[1,4]上单调递减，所以当x∈[1,4]时，h′(x)＝－ax－2≤0恒成立，即a≥－恒成立．由(1)知G(x)＝－，所以a≥G(x)max，而G(x)＝2－1，因为x∈[1,4]，所以∈，所以G(x)max＝－(此时x＝4)，所以a≥－，又因为a≠0，所以a的取值范围是∪(0，＋∞)．21 解 (1)f′(x)＝－a(x>0)，①当a≤0时，f′(x)＝－a>0，即函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．[2分]②当a>0时，令f′(x)＝－a＝0，可得x＝，当0<x<时，f′(x)＝>0；当x>时，f′(x)＝<0，-7-\n故函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.[4分]综上可知，当a≤0时，函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；当a>0时，函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.[5分](2)①当≤1，即a≥1时，函数f(x)在区间[1,2]上是减函数，所以f(x)的最小值是f(2)＝ln2－2a.[6分]②当≥2，即0<a≤时，函数f(x)在区间[1,2]上是增函数，所以f(x)的最小值是f(1)＝－a.[7分]③当1<<2，即<a<1时，函数f(x)在上是增函数，在上是减函数．又f(2)－f(1)＝ln2－a，所以当<a<ln2时，最小值是f(1)＝－a；当ln2≤a<1时，最小值为f(2)＝ln2－2a.[11分]综上可知，当0<a<ln2时，函数f(x)的最小值是f(1)＝－a；当a≥ln2时，函数f(x)的最小值是f(2)＝ln2－2a.[12分]22解 (1)由题意得(a－c)cosB＝bcosC.根据正弦定理得(sinA－sinC)cosB＝sinBcosC，所以sinAcosB＝sin(C＋B)，即sinAcosB＝sinA，因为A∈(0，π)，所以sinA>0.所以cosB＝，又B∈(0，π)，所以B＝.(2)因为|－|＝，所以||＝.即b＝，根据余弦定理及基本不等式，得6＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝(2－)ac(当且仅当a＝c时取等号)，即ac≤3(2＋)，故△ABC的面积S＝acsinB≤，即△ABC的面积的最大值为.-7-
