2022-2022学年度西宁十四中高二数学期中考试卷一、选择题（每题4分,共40分）1．若，是异面直线，直线∥，则与的位置关系是（）A．相交B．异面C．平行D．异面或相交2．设正方体的棱长为，则它的外接球的表面积为（）A．B．2πC．4πD．3．过点且与直线平行的直线方程是（）．A．B．C．D．4．已知为直线，为平面，下列结论正确的是（）A．B．C．D．5．长方体中，，则异面直线所成角的余弦值为（）A．B．C．D．6．有一个几何体的正视、侧视、俯视图分别如下，则该几何体的表面积为（）A．B．C．D．7．已知直线平行，则它们之间的距离是（）-13-\nA.1B.2C.D.48．已知直线经过，两点，直线倾斜角为，那么与（）A．垂直B．平行C．重合D．相交但不垂直9．点是直线：上的动点，点，则的长的最小值是（）（A）（B）（C）（D）10．在四面体中，，，且，为中点，则与平面所成角的正弦值为（）A．B．C．D．二、填空题（每题4分,共16分）11．直线的斜率，则直线的倾斜角的范围为．12．已知直线，和平面且，给出下列四个命题：①②③④其中真命题的有________(请填写全部正确命题的序号)13．已知两条直线y=ax-2和y=(a+2)x+1互相垂直,则a等于________.14．如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是棱C1D1，C1C的中点．给出以下四个结论：①直线AM与直线C1C相交；②直线AM与直线DD1异面；③直线AM与直线BN平行；④直线BN与直线MB1异面．其中正确结论的序号为（填入所有正确结论的序号）．-13-\n三、解答题15(10分)．求经过点并且和轴的正半轴、轴的正半轴所围成的三角形的面积是的直线方程.16(10分)．解答下列问题：（1）求平行于直线3x+4y2=0,且与它的距离是1的直线方程；（2）求垂直于直线x+3y5=0且与点P(1,0)的距离是的直线方程.-13-\n17(12分)．如图，已知四棱锥，底面为菱形，平面，，分别是的中点．PBECDFA（1）证明：；（2）若,求二面角的余弦值．-13-\n18(12分)．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB＝CD＝CF=1，（1）求证：BD⊥平面AED；（2）求B到平面FDC的距离．-13-\n参考答案1．D【解析】试题分析：因为，是异面直线，直线∥，可知与的位置关系是异面或相交，故选择D考点：异面直线2．C【解析】试题分析：由题意知正方体的体对角线长度是，故可得外接球的半径为1，所以球的表面积为，故选择C考点：正方体的外接球以及球的表面积公式3．A【解析】试题分析：因为所求直线与直线平行，所以设所求直线为，又过点，代入求出，所以所求直线为，故选A。考点：两直线的平行4．D【解析】试题分析：若，那么或与相交，错；若，那么或或与相交，错；若，那么与可以是共面，也可能是异面，错；．考点：空间中直线、平面的位置关系．5．B【解析】试题分析：连接，易证得∥，所以或其补角即为异面直线-13-\n所成角．由题意可得在中，所以．故B正确．考点：异面直线所成的角．6．B【解析】试题分析：由三视图可得该几何体为一个圆锥，底面半径为3，母线长为5，所以侧面展开图面积为，底面积为，所以其表面积为，故选择B考点：1．三视图；2．几何体表面积公式7．B【解析】试题分析：将直线方程化为：与平行，所以，所以所求两条平行直线间的距离为：，故答案为B.考点：1.两条直线平行；2.两条平行直线间的距离.8．A【解析】试题分析：因为直线经过，两点，所以直线的斜率；因为直线倾斜角为，所以直线的斜率为，所以所以，故选A．考点：两直线垂直的证明9．C【解析】试题分析：由点到直线的距离公式求得，点及直线的距离是-13-\n，则的最小值是．考点：点到直线的距离10．D【解析】试题分析：如图所示，取BD中点O，连接CO,MO，由已知条件BC=CD=1，所以BD⊥CO，由平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD=BD，所以CO⊥平面ABD，则CMO即为直线CM与平面ABD所成的角，由AB⊥AD，所以BD=，则得到：BC⊥CD，所以CO=BD=，MO=AD=，所以在COM中，,所以．OMDCBA考点：1．平面与平面垂直；2．直线与平面所成的角．11．【解析】试题分析：因为，所以，即，又，所以直线的倾斜角的范围为．考点：1．直线的倾斜角与斜率关系；2．正切函数；12．①③【解析】试题分析：在①中由得,又,故;在②中可在平面内任意转动,故与关系不确定;在③中,由,得,又因为,故;在④中,平面可绕转动,故与关系不确定.-13-\n考点：空间直线与平面的位置关系.13．-1【解析】因为两条直线垂直,所以a(a+2)=-1,即a2+2a+1=0,所以a=-1.14．②④【解析】试题分析：由异面直线判定定理知：①直线AM与直线C1C异面；②直线AM与直线DD1异面；④直线BN与直线MB1异面，因为直线BN与直线AE平行,（E为DD1中点），所以③直线AM与直线BN异面．考点：异面直线判定定理15．直线方程为【解析】试题分析：先根据已知设直线方程为，又因为，解得：（舍去），，所以直线方程为.试题解析：因为直线的斜率存在，所以设直线方程为，即2分令6分由8分因为，解得：10分因为11分所以直线方程为12分考点：直线方程、三角形面积公式.-13-\n16．（1）3x+4y+3=0或3x+4y7=0(2)3xy+9=0或3xy3=0【解析】试题分析：（1）将平行线的距离转化为点到线的距离，用点到直线的距离公式求解；（2）由相互垂直设出所求直线方程，然后由点到直线的距离求解.试题解析：解：（1）设所求直线上任意一点P（x，y），由题意可得点P到直线的距离等于1，即，∴3x+4y2=±5，即3x+4y+3=0或3x+4y7=0．（2）所求直线方程为，由题意可得点P到直线的距离等于，即，∴或，即3xy+9=0或3xy3=0．考点：1.两条平行直线间的距离公式；2.两直线的平行与垂直关系17．（1）证明：见解析；（2）二面角的余弦值为．【解析】试题分析：（1）首先可得为正三角形．根据为的中点，得到．进一步有．由平面，证得．平面．即得．（2）思路一：利用几何方法.遵循“一作，二证，三计算”，过作于，有平面，过作于，连接，即得为二面角的平面角，在中，.思路二：利用“向量法”：由（1）知两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，确定平面的一法向量及为平面的一法向量．-13-\n计算．试题解析：（1）证明：由四边形为菱形，，可得为正三角形．因为为的中点，所以．又，因此．因为平面，平面，所以．而平面，平面且，所以平面．又平面，所以．（7分）（2）解法一：因为平面，平面，所以平面平面．过作于，则平面，过作于，连接，则为二面角的平面角，在中，，，又是的中点，在中，，又，在中，，-13-\n即所求二面角的余弦值为．（14分）解法二：由（1）知两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又分别为的中点，所以PBECDFAyzx，，所以．设平面的一法向量为，则因此取，则，因为，，，所以平面，故为平面的一法向量．又，所以．因为二面角为锐角，-13-\n所以所求二面角的余弦值为．考点：1.垂直关系；2.空间的角；3.空间向量方法.18．（1）证明详见解析；（2）.【解析】试题分析：本题主要考查线线垂直、线面垂直、锥体的体积、三角形的面积公式等基础知识，考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力.第一问，在等腰梯形中，通过角的转化，得到，即，再利用线面垂直的判定证明平面AED；第二问，设出点B到平面FDC的距离，利用等体积转化法将转化为，利用锥体的体积公式计算，解方程求出h.试题解析：（1）证明：在等腰梯形中，,,即（2）令点到平面的距离为则，解得考点：线线垂直、线面垂直、锥体的体积、三角形的面积公式.-13-
