锦州市2022届高三下学期第四次模拟考试数学（理）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合A={1,2,3,4},B={y|y=,xA},则AB=()A.{1,2,3,4}B.{1,2}C.{1,3}D.{2,4}2．设m、n是两条不同的直线，、β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是()A．若m∥n，m∥，则n∥B．若⊥β，m∥，则m⊥βC．若⊥β，m⊥β，则m∥D．若m⊥n，m⊥，n⊥β，则⊥β3．右边程序运行结果为()A．7B．6C．5D．44．函数f（x）=的最大值是()A．B．C．D．5．已知直线不经过第二象限，且，则()A．B．C．D．6．函数的零点的个数是()A．0B．1C．2D．37．两个正数a、b的等差中项是，一个等比中项是，且则椭圆的离心率e等于()A．B．C．D．11\n8．已知双曲线的焦点为F1、F2，点M在双曲线上且则点M到x轴的距离为()A．B．C．D．9．下列命题正确的是()A．函数在区间内单调递增B．函数的最小正周期为C．函数的图像是关于点成中心对称的图形BOAxy1C(，)1D．函数的图像是关于直线成轴对称的图形10．如图，目标函数z＝ax－y的可行域为四边形OACB（含边界），若是该目标函数z＝ax－y的最优解，则a的取值范围是()A．B．C．D．11．将一骰子抛掷两次，所得向上点数分别为和，则函数在上为增函数的概率是()A．B．C．D．12．已知O是正三角形内部一点，，则的面积与的面积之比是()A．B．C．D．第Ⅱ卷11\n本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。将答案填在答题卷相应位置上）13．抛物线的顶点在原点，对称轴是坐标轴，且焦点在直线上，则此抛物线方程为__________________.14．我校在上次摸考中约有1000人参加考试，数学考试的成绩（，试卷满分150分），统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的，则此次数学考试成绩不低于110分的学生约有人。ACBB1C1A1FE15．如图ABC-A1B1C1是直三棱柱,∠BCA=90°,点E、F分别是A1B1、A1C1的中点,若BC=CA=AA1,则BE与AF所成角的余弦值为__________。16．某公司计划在北京、上海、兰州、银川四个候选城市投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过2个,则该公司不同的投资方案种数是(用数字作答)．三、解答题：本大题共5小题，满分60分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤17．（本小题满分12分）在数列中，，，．（1）证明数列是等比数列；（2）设数列的前项和，求的最大值。18．（本小题满分12分）某单位为加强普法宣传力度，增强法律意识，举办了“普法知识竞赛”，现有甲、乙、丙三人同时回答一道有关法律知识的问题，已知甲回答对这道题的概率是，甲、丙两人都回答错误的概率是，乙、丙两人都回答对的概率是.（1）求乙、丙两人各自回答对这道题的概率。（2）求甲、乙、丙三人中恰有两人回答对该题的概率。19．（本小题满分12分）11\n如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点。（1）求证：AB1⊥面A1BD；（2）求二面角A－A1D－B的正弦值；20.（本小题满分12分）设、分别是椭圆的左、右焦点.（1）若是该椭圆上的一个动点，求的取值范围;（2）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点M、N，且∠为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围.(3)设是它的两个顶点，直线与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点．求四边形面积的最大值．21．（本小题满分12分）设、是函数的两个极值点。（1）若，求函数的解析式；（2）若，求的最大值。（3）若，且，，求证：。四、选考题：（本小题满分10分）请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．11\nBACFDOE22．选修4－1：几何证明选讲如图，BA是⊙O的直径，AD是切线，BF、BD是割线，求证：BE•BF=BC•BDyxABO23．选修4－4：坐标系与参数方程在抛物线y2=4a(x+a)(a>0)，设有过原点O作一直线分别交抛物线于A、B两点，如图所示，试求|OA|•|OB|的最小值。24．选修4—5；不等式选讲设|a|<1，函数f(x)=ax2+x-a(-1≤x≤1),证明：|f(x)|≤锦州市2022届高三下学期第四次模拟考试数学（理）参考答案题号123456789101112答案BDCDDCBCCBDB13．或14.20015.16.6017.证明：（Ⅰ）由题设，得，．又，所以数列是首项为，且公比为的等比数列．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，于是数列的通项公式为．所以数列的前项和．=故n=1，最大0.18．解：（I）记“甲回答对这道题”、“乙回答对这道题”、“丙回答对这道题”11\n分别为事件A、B、C，则，且有即（Ⅱ）由（I）“甲、乙、丙三人中恰有两人回答对该题”记为事件：，其中概率为PABCDOF19.解答：解法一：（1）取中点，连结．为正三角形，．正三棱柱中，平面平面，平面．连结，在正方形中，分别为的中点，，．在正方形中，，平面．（2）设与交于点，在平面中，作于，连结，由（Ⅰ）得平面．，为二面角的平面角．在中，由等面积法可求得，又，．所以二面角的大小11\n解法二：（1）取中点，连结．为正三角形，．在正三棱柱中，平面平面，平面．取中点，以为原点，，，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，，，．，，，．平面．xzABCDOFy（2）设平面的法向量为．，．，，令得为平面的一个法向量．由（1）知平面，为平面的法向量．，．二面角的正弦大小为11\n20.(1）解法一：易知所以，设，则故-21（2）显然直线不满足题设条件，可设直线，联立，消去，整理得：∴由得：或又0°<∠MON<90°cos∠MON>0>0∴又∵，即∴故由①、②得或（3）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点到的距离分别为，11\n．又，所以四边形的面积为，当，即当时，上式取等号．所以的最大值为．解法二：由题设，，．设，，由①得，，故四边形的面积为，当时，上式取等号．所以的最大值为．21．解：（1）∵是函数的两个极值点，∴，。∴，，解得。∴。（2）∵是函数的两个极值点，∴。∴是方程的两根。∵，∴对一切恒成立。，，∵，∴。∴。由得，∴。11\n∵，∴，∴。令，则。当时，，∴在（0，4）内是增函数；当时，，∴在（4，6）内是减函数。∴当时，有极大值为96，∴在上的最大值是96，∴的最大值是。(3)∵是方程的两根，∴，∵，，∴。∴∵，。22.证法一：连接CE，过B作⊙O的切线BG，则BG∥AD∴∠GBC=∠FDB，又∠GBC=∠CEB∴∠CEB=∠FDB又∠CBE是△BCE和△BDF的公共角∴△BCE∽△BDF∴，即BE•BF=BC•BD证法二：连续AC、AE，∵AB是直径，AC是切线∴AB⊥AD，AC⊥BD，AE⊥BF由射线定理有AB2=BC•BD，AB2=BE•BF∴BE•BF=BC•BD23．解：法一，(极坐标)sin2-4asin-4a2=0∴|OA||OB|=≤4a2法二：(参数方程)代入y2=4a(x+a)中得：t2sin2-4atcos-4a2=0|OA||OB|=|t1t2|=≤4a211\n24．证：|f(x)|=|a(x2-1)+x|≤|a(x2-1)｜+｜x|≤|x2-1|+|x|=1-x2+|x|=-(|x|-)2+≤∴|f(x)|≤11
