思南中学2022—2022学年度第一学期半期考试高二年级数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )A．“至少有1个白球”和“都是红球”B．“至少有1个白球”和“至多有1个红球”C．“恰有1个白球”和“恰有2个白球”D．“至多有1个白球”和“都是红球”2、（）A0.1B0.2C0.3D0.43、执行如图所示的程序框图，则输出S的值为( )A．2022B．2C.D．－14.根据如下样本数据x345678y4.02.5-0.50.5-2.0-3.0 得到的回归方程为,则( ).A.a>0,b<0 B.a>0,b>0C.a<0,b<0D.a<0,b>05．设样本数据x1，x2，…，x10的均值和方差分别为1和4，若yi＝xi＋a(a为非零常数，i-10-\n＝1,2，…，10)，则y1，y2，…，y10的均值和方差分别为( )A．1,4＋aB．1＋a,4＋aC．1,4D．1＋a,46、直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B两点，则“k=1”是“△OAB的面积为”的（ ）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件7.甲、乙、丙三名毕业生参加某公司人力资源部安排的面试，三人依次进行，每次一人，其中甲、乙两人相邻的概率为（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．8、下列说法正确的是( )A.函数y＝2sin(2x－)的图象的一条对称轴是直线x＝B.若命题p：“存在x∈R，x2－x－1＞0”，则命题p的否定为：“对任意x∈R，x2－x－1≤0”C.若x≠0，则x＋≥2D.“a＝1”是“直线x－ay＝0与直线x＋ay＝0互相垂直”的充要条件9、“不等式x2－x＋m>0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是( )A．m>B．0<m<1C．m>0D．m>110.将参加夏令营的600名学生按001,002，…，600进行编号．采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分别住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为( )A．26,16,8B．25,16,9C．25,17,8D．24,17,911、集合A={（x，y）|y},集合B={(x,y)|y},先后掷两颗骰子，掷第一颗骰子的点数为a,掷第二颗骰子的点数为b,则（a,b）的概率为（）A.B.C.D.-10-\n二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.答案须填在横线上13、甲、乙两人约定于6时到7时之间在某地会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即可离去，求两人会面的概率14、给出下列四个命题：①“若xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题；②“四边相等的四边形是正方形”的否命题；③“若a>b，则a2>b2”的逆否命题；④“若x≤－3，则x2－x－6>0”的否命题；其中真命题的个数为________．15、以A={2,4,6,7,8,11,12,13}中任意两个元素分别为分子与分母构成分数，则这分数是可约分数的概率是16、设p：|4x－3|≤1；q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，求实数a的取值范围．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）、已知m∈R，对p：x1和x2是方程x2－ax－2＝0的两个根，不等式|m－5|≤|x1－x2|对任意实数a∈[1,2]恒成立；q：函数f(x)＝3x2＋2mx＋m＋有两个不同的零点.求使“p且q”为真命题的实数m的取值范围.18（12分）．设数列{an}的前n项和为Sn，对任意的正整数n，都有Sn＝2an＋n－3成立．(1)求证：数列{an－1}为等比数列；(2)求数列{nan}的前n项和Tn.-10-\n19（12分）．由某种设备的使用年限xi(年)与所支出的维修费yi(万元)的数据资料算得如下结果.(1)求所支出的维修费y对使用年限x的线性回归方程＝x＋；(2)①判断变量x与y之间是正相关还是负相关；②当使用年限为8年时，试估计支出的维修费是多少．20(12分)．如图，在底面是正三角形的直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AB＝2，D是BC的中点．(1)求证：A1C∥平面AB1D；(2)求点A1到平面AB1D的距离．21（12分）.某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60人,将其数学成绩(均为整数)分成六组[90,100),[100,110),…,[140,150]后得到如下部分频率分布直方图,观察图形的信息,回答下列问题:-10-\n(1)求分数在[120,130)内的频率;(2)若在同一组数据中,将该组区间的中点值(如:区间[100,110)的中点值为)作为这组数据的平均分,据此估计本次考试的平均分;(3)用分层抽样的方法在分数段为[110,130)的学生中抽取一个容量为6的样本,将该样本看成一个总体,从中任取2人,求至多有1人在分数段[120,130)内的概率.22（12分）、在△ABC中，角A，B，C所对边分别是a，b，c，且cosA＝.(1)求cos2＋cos2A的值；(2)若a＝，求△ABC面积的最大值．-10-\n思南中学2022—2022学年度第一学期半期考试高二数学期中答案一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项．题号123456789101112答案CBDADADBCCDB二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.答案须填在横线上．13、14、_____2__．15、16、．三、解答题：（6大题，共计70分）17（10分）、解：由题设知x1＋x2＝a，x1x2＝－2，∴|x1－x2|＝＝.a∈[1,2]时，的最小值为3，要使|m－5|≤|x1－x2|对任意实数a∈[1,2]恒成立，只需|m－5|≤3，即2≤m≤8.由已知，得f(x)＝3x2＋2mx＋m＋＝0的判别式Δ＝4m2－12(m＋)＝4m2－12m－16＞0，得m＜－1或m＞4.，综上，要使“p且q”为真命题，只需p真q真，即解得实数m的取值范围是(4,8]18．（12分）解 (1)证明：当n＝1时，S1＝2a1＋1－3，得a1＝2，由Sn＝2an＋n－3，得Sn＋1＝2an＋1＋n＋1－3，两式相减得an＋1＝2an＋1－2an＋1，-10-\n即an＋1＝2an－1，＝＝2，而a1－1＝1，∴数列{an－1}是首项为1，公比为2的等比数列．(2)由(1)得an－1＝1·2n－1＝2n－1，即an＝2n－1＋1，nan＝n(2n－1＋1)＝n·2n－1＋n，∴Tn＝(1×20＋1)＋(2×21＋2)＋(3×22＋3)＋…＋(n·2n－1＋n)＝(1×20＋2×21＋3×22＋…＋n·2n－1)＋(1＋2＋3＋…＋n)＝(1×20＋2×21＋3×22＋…＋n·2n－1)＋.令Vn＝1×20＋2×21＋3×22＋…＋n·2n－1，则2Vn＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n·2n，两式相减得－Vn＝1＋21＋22＋…＋2n－1－n·2n＝－n·2n＝2n－1－n·2n，∴Vn＝n·2n－2n＋1＝(n－1)2n＋1，∴Tn＝(n－1)2n＋＋1.19（12分）解(1)∵＝－＝5－1.2×4＝0.2.∴线性回归方程为＝1.2x＋0.2.(2)①由(1)知＝1.2>0，∴变量x与y之间是正相关．-10-\n②由(1)知，当x＝8时，＝9.8，即使用年限为8年时，支出的维修费约是9.8万元．20．（12分）解 (1)证明：连接A1B，交AB1于点O，连接OD.∵ABC－A1B1C1是直三棱柱，∴四边形ABB1A1是平行四边形，∴O是A1B的中点．又D是BC的中点，∴OD∥A1C，∵OD⊂平面AB1D，A1C⊄平面AB1D，∴A1C∥平面AB1D.(2)由(1)知O是A1B的中点，∴点A1到平面AB1D的距离等于点B到平面AB1D的距离．∵ABC－A1B1C1是直三棱柱，∴BB1⊥平面ABC，∴平面BCC1B1⊥平面ABC.∵△ABC是正三角形，D是BC的中点，∴AD⊥BC，∴AD⊥平面BCC1B1，∴AD⊥B1D.设点B到平面AB1D的距离为d，∵VB1－ABD＝VB－AB1D，∴S△ABD·BB1＝S△AB1D·d，-10-\n∴d＝＝＝＝，∴点A1到平面AB1D的距离为.21（12分）解析：(1)分数在[120,130)内的频率为1-(0.1+0.15+0.15+0.25+0.05)=0.3.(2)估计平均分为x=95×0.1+105×0.15+115×0.15+125×0.3+135×0.25+145×0.05=121.(3)由题意知,[110,120)分数段的人数为60×0.15=9,[120,130)分数段的人数为60×0.3=18.∵用分层抽样的方法在分数段为[110,130)的学生中抽取一个容量为6的样本,∴需在[110,120)分数段内抽取2人,在[120,130)分数段内抽取4人,∴从这6人中抽取2人,至多有1人在分数段[120,130)内的概率22（12分）、解 (1)cos2＋cos2A＝＋2cos2A－1＝－＋2cos2A－1＝－×＋2×2－1＝－.(2)由余弦定理，可得()2＝b2＋c2－2bc·cosA＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc，∴bc≤，当且仅当b＝c＝时，bc有最大值，-10-\n又cosA＝，A∈(0，π)，∴sinA＝＝＝，∴(S△ABC)max＝bcsinA＝××＝.-10-
