福州八中2022—2022学年高三毕业班第一次质量检查数学(文)试题考试时间：120分钟试卷满分：150分2022.8.28一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、设全集，集合，则A.B.C.D.2、已知命题p:已知实数，则是且的必要不充分条件，命题:在曲线上存在斜率为的切线，则下列判断正确的是A．是假命题B．是真命题C．是真命题D．是真命题3、从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为A.B.C.D.4、已知向量m=(λ+1,1),n=(λ+2,2),若(m+n)⊥(m-n),则λ=A.-4B.-3C.-2D.-15、函数的值域是A．(0，–2]B．[–2，+∞)C．(–∞，–2]D．[2，+∞)6、若将函数f(x)＝sin2x＋cos2x的图像向右平移φ个单位，所得图像关于y轴对称，则φ的最小正值是A.B.C.D.7、若是不相同的空间直线，是不重合的平面，则下列命题正确的是A.B.C.D.8、已知数列{an}满足3an+1+an=0,a2=,则{an}的前10项和等于A.-6(1-3-10)B.(1-310)C.3(1-3-10)D.3(1+3-10)9、已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为A.4x2–12y2=1B.4x2–y2=1C.12x2–4y2=1D.10、已知，不等式在上恒成立，则实数的取值范围是-7-A.B.C.D.11、如图是函数f（x）=x2+ax+b的部分图象，则函数g（x）=lnx+f′（x）的零点所在的区间是A．（）B．（1，2）C．（，1）D．（2，3）12、已知函数，若|f(x)|≥ax,则a的取值范围是A.(-∞,0]B.(-∞,1]C.[-2,1]D.[-2,0]二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。13、已知函数的定义域为[-1，1]，则的定义域为．14、如图，在正方体中，给出以下四个结论：①∥平面；②与平面相交；③AD⊥平面；④平面⊥平面．其中正确结论的序号是．15、已知一扇形的圆心角为，所在圆的半径为R，若扇形的周长是一定值C，该扇形的最大面积为．16、分别是定义在上的奇函数和偶函数，当时，，且，则不等式的解集是.三、解答题：本大题共6小题，共76分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17、(本小题满分12分)设p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a≠0，q：实数x满足(1)若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；(2)若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．18、(本小题满分12分)已知函数，（1）若，求在区间上的最小值；（2）若在区间上有最大值，求实数的值．19.(本小题满分12分)已知（1）若，求的值；-7-（2）求函数的最小正周期，并求当时，的取值范围．20、(本小题满分12分)如图所示的长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，O为AC与BD的交点，BB1=，M是线段B1D1的中点．（1）求证：BM∥平面D1AC；（2）求三棱锥D1﹣AB1C的体积．21、(本小题满分12分)设分别为椭圆的左、右两个焦点，若椭圆C上的点A(1,)到F1，F2两点的距离之和等于4.⑴写出椭圆C的方程和焦点坐标；⑵过点P（1，）的直线与椭圆交于两点D、E，若DP=PE，求直线DE的方程;⑶过点Q（1，0）的直线与椭圆交于两点M、N，若△OMN面积取得最大，求直线MN的方程.22、(本小题满分14分)已知函数f（x）=x3+2ax﹣（2a+3）x+a2，（a∈R）．（Ⅰ）当时，求f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（1，+∞）上有极小值，求实数a的取值范围；（Ⅲ）当x∈[﹣1，1]时，恒有f（x）＞0成立，求实数a的取值范围．稿纸福州八中2022—2022学年高三毕业班第一次质量检查-7-数学(文)试卷参考答案及评分标准一.DCBBBCCCDACD二、13、；14、①④；15、；16、三、17、解：(1)由x2－4ax＋3a2<0，得(x－3a)(x－a)<0，当a＝1时，解得1<x<3，即p为真时实数x的取值范围是1<x<3.由，得2<x≤3，即q为真时实数x的取值范围是2<x≤3.若p∧q为真，则p真且q真，所以实数x的取值范围是2<x<3.……………………6分(2)p是q的必要不充分条件，即q⇒p且pq，设a＝{x|p(x)}，b＝{x|q(x)}，则ab，又b＝(2,3]，当a>0时，A＝(a,3a)；a<0时，A＝(3a，a)．所以当a>0时，有解得1<a≤2；当a<0时，显然a∩b＝∅，不合题意．综上所述，实数a的取值范围是1<a≤2.……………………12分18、解：（1）若，则函数图像开口向下函数的对称轴为，所以函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，有又，……………………5分（2）由题意得：函数的对称轴为当时，函数在在区间上是减少的，则，即；当时，函数在区间上是增加的，在区间上是减少加的，则高三数学（文）第一次月考试卷答案第1页共4页高三数学（文）第一次月考试卷答案第2页共4页，解得，不符合；当时，函数在区间上是增加的，则，解得；所以或．……………………12分19、解：（1）-7-……………………6分（2）∴的的最小正周期为……………………9分∴的取值范围是……………………12分20、（ⅰ）连接d1o，如图，∵o、m分别是bd、b1d1的中点，bd1d1b是矩形，∴四边形d1obm是平行四边形，∴d1o∥bm．∵d1o平面d1ac，bm？平面d1ac，∴bm∥平面d1ac．……………………5分（ⅱ）连接ob1，∵正方形abcd的边长为2，，∴，ob1=2，d1o=2，则ob12+d1o2=b1d12，∴ob1⊥d1o．又∵在长方体abcd﹣a1b1c1d1中，ac⊥bd，ac⊥d1d，且bd∩d1d=d，∴ac⊥平面bdd1b1，又d1o平面bdd1b1，∴ac⊥d1o，又ac∩ob1=o，∴d1o⊥平面ab1c，即d1o为三棱锥d1﹣ab1c的高．∵，d1o=2∴．……………………12分-7-21、解⑴椭圆c的焦点在x轴上，由椭圆上的点a到f1、f2两点的距离之和是4，得2a=4，即a=2.；又点a(1,)在椭圆上，因此得b2=1，于是c2=3；所以椭圆c的方程为，……………………3分⑵∵p在椭圆内，∴直线de与椭圆相交，∴设d(x1,y1),e(x2,y2)，代入椭圆c的方程得x12+4y12-4=0,x22+4y22-4=0,相减得2(x1-x2)+4×2×(y1-y2)=0,∴斜率为k=-1∴de方程为y-1=-1(x-),即4x+4y=5;……………………7分(3)直线mn不与y轴垂直，∴设mn方程为my=x-1，代入椭圆c的方程得（m2+4)y2+2my-3=0,设m(x1,y1),n(x2,y2),则y1+y2=-,y1y2=-,且△>0成立.又S△OMN=|y1-y2|=×=，设t=≥,则S△OMN=,(t+)′=1-t-2>0对t≥恒成立，∴t=时t+取得最小，S△OMN最大，高三数学（文）第一次月考试卷答案第3页共4页高三数学（文）第一次月考试卷答案第4页共4页此时m=0,∴MN方程为x=1……………………12分22.解（Ⅰ）当时，，∴f′（x）=3x2+x﹣4，∴f′（0）=﹣4，又f（0）=，∴切线方程为；……………………4分（Ⅱ）f′（x）=3x2+2ax﹣（2a+3）=（3x+2a+3）（x﹣1）令f′（x）=0，得x=1或，要使函数f（x）在区间（1，+∞）上有极小值点，必须有，解得a＜﹣3；……………………8分（Ⅲ）由题意知，即使x∈[﹣1，1]时，（f（x））min＞0．讨论①当，即a≤﹣3时，f（x）在x∈[﹣1，1]上单调递增，，得a＞﹣1或a＜﹣2，由此得：a≤﹣3；②当，即﹣3＜a＜0，-7-f（x）在为增函数，在上为减函数，所以（f（x））min=min{f（﹣1），f（1）}，得解得a＞2或a＜﹣2，由此得﹣3＜a＜﹣2；③当，即a≥0，f（x）在x∈[﹣1，1]上为减函数，所以得a＞2或a＜﹣1，由此得a＞2；由①②③得实数a的取值范围为a＞2……………………14分-7-</a≤2；当a<0时，显然a∩b＝∅，不合题意．综上所述，实数a的取值范围是1<a≤2.……………………12分18、解：（1）若，则函数图像开口向下函数的对称轴为，所以函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，有又，……………………5分（2）由题意得：函数的对称轴为当时，函数在在区间上是减少的，则，即；当时，函数在区间上是增加的，在区间上是减少加的，则高三数学（文）第一次月考试卷答案第1页共4页高三数学（文）第一次月考试卷答案第2页共4页，解得，不符合；当时，函数在区间上是增加的，则，解得；所以或．……………………12分19、解：（1）-7-……………………6分（2）∴的的最小正周期为……………………9分∴的取值范围是……………………12分20、（ⅰ）连接d1o，如图，∵o、m分别是bd、b1d1的中点，bd1d1b是矩形，∴四边形d1obm是平行四边形，∴d1o∥bm．∵d1o平面d1ac，bm？平面d1ac，∴bm∥平面d1ac．……………………5分（ⅱ）连接ob1，∵正方形abcd的边长为2，，∴，ob1=2，d1o=2，则ob12+d1o2=b1d12，∴ob1⊥d1o．又∵在长方体abcd﹣a1b1c1d1中，ac⊥bd，ac⊥d1d，且bd∩d1d=d，∴ac⊥平面bdd1b1，又d1o平面bdd1b1，∴ac⊥d1o，又ac∩ob1=o，∴d1o⊥平面ab1c，即d1o为三棱锥d1﹣ab1c的高．∵，d1o=2∴．……………………12分-7-21、解⑴椭圆c的焦点在x轴上，由椭圆上的点a到f1、f2两点的距离之和是4，得2a=4，即a=2.；又点a(1,)在椭圆上，因此得b2=1，于是c2=3；所以椭圆c的方程为，……………………3分⑵∵p在椭圆内，∴直线de与椭圆相交，∴设d(x1,y1),e(x2,y2)，代入椭圆c的方程得x12+4y12-4=0,x22+4y22-4=0,相减得2(x1-x2)+4×2×(y1-y2)=0,∴斜率为k=-1∴de方程为y-1=-1(x-),即4x+4y=5;……………………7分(3)直线mn不与y轴垂直，∴设mn方程为my=x-1，代入椭圆c的方程得（m2+4)y2+2my-3=0,设m(x1,y1),n(x2,y2),则y1+y2=-,y1y2=-,且△></x<3，即p为真时实数x的取值范围是1<x<3.由，得2<x≤3，即q为真时实数x的取值范围是2<x≤3.若p∧q为真，则p真且q真，所以实数x的取值范围是2<x<3.……………………6分(2)p是q的必要不充分条件，即q⇒p且pq，设a＝{x|p(x)}，b＝{x|q(x)}，则ab，又b＝(2,3]，当a>
