福州八中2022—2022学年高三毕业班第一次质量检查数学(理)试题考试时间：120分钟试卷满分：150分2022.8.28第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡的相应位置。1.下列四组函数中，表示同一函数的是A.y＝x－1与y＝B.y＝与y＝C.y＝4lgx与y＝2lgx2D.y＝lgx－2与y＝lg2.设集合，则A∩B的子集的个数是A.1B.2C.3D.43．若集合A＝{x|2<x<3}，b＝{x|(x＋2)(x－a)<0}，则“a＝1”是“a∩b＝∅”的a．充分不必要条件b．必要不充分条件c．充要条件d．既不充分也不必要条件4.已知p：∃x0∈r，mx＋1≤0，q：∀x∈r，x2＋mx＋1>0.若p∨q为假命题，则实数m的取值范围为A．m≤－2B．m≥2C．m≤－2或m≥2D．－2≤m≤25.某高三学生希望报名参加某6所高校中的3所学校的自主招生考试，由于其中两所学校的考试时间相同，因此该学生不能同时报考这两所学校，则该学生不同的报考方法种数是A．16B．24C．36D．486.若的展开式中的系数是80，则实数a的值为A．-2B．C．D．27.不等式组的解集为D,有下面四个命题：，，，其中真命题的是A.B．C．D．8．已知f（x）=32x﹣（k+1）3x+2，当x∈R时，f（x）恒为正值，则k的取值范围是A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣∞，2﹣1）C．（﹣1，2﹣1）D．（﹣2﹣1，2﹣1）9.已知抛物线的焦点为，关于原点的对称点为P．过作轴的垂线交抛物线于、两点．有下列四个命题：①必为直角三角形；②不一定为直角三角形；③直线必与抛物线相切；④直线不一定与抛物线相切．其中正确的命题是A．①③B．①④C．②③D．②④-7-10.如图，在△ABC中，AD=2DB，AE=3EC，CD与BE交于F，设为A．B．C．D．11.已知定义在上的函数，当时不等式成立，若，，，则，，的大小关系是A.B.C.D.12．已知定义在R上的函数满足：且，，则方程在区间[-5，1]上的所有实根之和为A．-7B．-6C．-5D．-4第II卷二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.）13．已知集合M＝{x|<0}，N＝{y|y＝3x2＋1，x∈R}，则M∩N=________．14.已知是等差数列，，，则过点P(3，)，Q（4，）的直线的斜率为_________.15．在区间内任取两个数，则这两个数的平方和也在内的概率为 ．16．给出下列三个结论：①命题“∃x∈R，x2－x>0”的否定是“∀x∈R，x2－x<0”；②函数f(x)＝x－sinx(x∈R)有3个零点；③对于任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且x>0时，f′(x)<0，g′(x)<0，则x<0时，f′(x)<g′(x)；④设随机变量～,若，则．其中正确结论的序号是_____________．(填写所有正确结论的序号)三、解答题:（本大题有6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.设a、b∈r,且a≠2,若奇函数f(x)=lg在区间(－b,b)上有定义.(1)求a的值；(2)求b的取值范围；(3)判断函数f(x)在区间(－b,b)上的单调性,并说明理由.18.某加工厂需定期购买原材料，已知每公斤原材料的价格为1.5元，每次购买原材料需支付运费600元．每公斤原材料每天的保管费用为0.03元，该厂每天需消耗原材料400公斤，每次购买的原材料当天即开始使用(即有400公斤不需要保管)．-7-(1)设该厂每x天购买一次原材料，试写出每次购买的原材料在x天内总的保管费用y1(元)关于x的函数关系式；(2)求该厂多少天购买一次原材料才能使平均每天支付的总费用y(元)最少，并求出这个最小值．19.如图所示，直线l：y＝x＋b与抛物线c：x2＝4y相切于点a.(1)求实数b的值；(2)求以点a为圆心，且与抛物线c的准线相切的圆的方程．20.设向量a＝，b＝，θ为锐角．(1)若a·b＝，求sinθ＋cosθ的值；(2)若a∥b，求sin(2θ＋)的值．21.已知函数f(x)＝xlnx，g(x)＝－.(1)求函数f(x)在区间[1，3]上的最小值；(2)证明：对任意m，n∈(0，＋∞)，都有f(m)≥g(n)成立．22．选考题：从以下2题中选择1题做答，每题10分，若2题全做，则按第1题给分.(a)（选修4—4参数方程与极坐标）在直角坐标系xoy中，以o为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆c1，直线c2的极坐标方程分别为ρ＝4sinθ，ρcos＝2.(1)求c1与c2交点的极坐标；(2)设p为c1的圆心，q为c1与c2交点连线的中点．已知直线pq的参数方程为(t∈r为参数)，求a，b的值．(b)（选修4—5不等式证明选讲）已知函数f(x)＝m－|x－2|，m∈r，且f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]．(1)求m的值；(2)若a，b，c∈r，且＋＋＝m，求证：a＋2b＋3c≥9.稿纸福州八中2022—2022学年高三毕业班第一次质量检查数学(理)试卷参考答案及评分标准-7-1．d>0恒成立，则有m≥0；当q是假命题时，则有Δ＝m2－4≥0，解得m≤－2或m≥2.由p，q均为假命题得m≥2.5.A6.D[解析]的展开式中含的项为，由题意得，所以.7.C8．B9.10.B[解析]，同理向量还可以表示为，对应相等可得，所以。11.C[解析]函数在R上单调递减，又12．A[解析]记，，则方程在区间上的根与方程在区间上的根相同.高三数学（理）第一次月考试卷答案第1页共4页高三数学（理）第一次月考试卷答案第2页共4页令，则有，当时，，方程，即，，在同一坐标系下画出函数，的图象与，的图象，结合图象不难得知，它们的图象共有三个不同的交点，设这些交点的横坐标自左向右依次为、、，则有，，，，因此方程在区间上的根的和等于.13.答案：[1,2)14.答案：4[解析]依题意，∵是等差数列，，，∴-7-，设公差为d，则d=4，又15.答案：16.答案：③④[解析]对于②,由y＝x与y＝sinx的图像可知，函数f(x)＝x－sinx(x∈R)有1个零点，②不正确；对于③，由题设知f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，又奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反，∴x<0时，f′(x)<0，g′(x)>0.∴f′(x)<g′(x)，③正确．17.解：(1)f(－x)=－f(x),即lg,即,整理得：1－a2x2=1－4x2,∴a=±2.又a≠2,故a=－2.…………5分(2)f(x)=lg的定义域是(－，)，∴0<b≤.…………8分(3)f(x)=∴函数在定义域内是单调递减的.………………12分18.解:(1)每次购买原材料后，当天用掉的400公斤原材料不需要保管，第二天用掉的400公斤原材料需保管1天，第三天用掉的400公斤原材料需保管2天，第四天用掉的400公斤原材料需保管3天，…，第x天(也就是下次购买原材料的前一天)用掉最后的400公斤原材料需保管x－1天．∴每次购买的原材料在x天内的保管费用为y1＝400×0.03[1＋2＋3＋…＋(x－1)]＝6x2－6x,x…………6分(2)由(1)可知，购买一次原材料的总的费用为6x2－6x＋600＋1.5×400x＝6x2＋594x＋600(元)，∴购买一次原材料平均每天支付的总费用为y＝＋6x＋594≥2＋594＝714.当且仅当＝6x，即x＝10时，取得等号．…………11分∴该厂10天购买一次原材料可以使平均每天支付的总费用最少，最少费用为714元．………12分19．解：(1)由得x2－4x－4b＝0(*)．因为直线l与抛物线c相切，所以δ＝(－4)2－4×(－4b)＝0，解得b＝－1.…………………………5分(2)由(1)可知b＝－1，故方程(*)为x2－4x＋4＝0，解得x＝2.将其代入x2＝4y，得y＝1，故点a(2，1)．…………8分因为圆a与抛物线c的准线相切，所以圆a的半径r等于圆心a到抛物线的准线y＝－1的距离，即r＝|1－(－1)|＝2……11分所以圆a的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.…………………………12分20.解：（1）因为a·b＝2＋sinθcosθ＝，所以sinθcosθ＝．…………3分-7-所以(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ＝．又因为θ为锐角，所以sinθ＋cosθ＝．………………6分（2）解法一因为a∥b，所以tanθ＝2．>0，f(x)单调递增．高三数学（理）第一次月考试卷答案第3页共4页高三数学（理）第一次月考试卷答案第4页共4页所以函数f(x)在区间[1，3]上单调递增，又f(1)＝0，所以函数f(x)在区间[1，3]上的最小值为0.………………4分(2)证明：由(1)可知f(x)＝xlnx(x∈(0，＋∞))在x＝时取得最小值，又f()＝－，所以f(m)≥－.………………6分由g(x)＝－，可得g′(x)＝.所以当x∈(0，1)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，当x∈(1，＋∞)时，g′(x)<0，g(x)单调递减．所以函数g(x)(x>0)在x＝1处取得最大值，又g(1)＝－，所以g(n)≤－.………………11分因为f(m)≥－≥g(n)，所以对任意m，n∈(0，＋∞)，都有f(m)≥g(n)成立．………………12分22.(A)（选修4—4参数方程与极坐标）解：(1)圆C1的直角坐标方程为x2＋(y－2)2＝4，直线C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.解得所以C1与C2交点的极坐标为，.………………5分-7-（注：极坐标系下点的表示不唯一）(2)由(1)可得，P点与Q点的直角坐标分别为(0，2)，(1，3)，故直线PQ的直角坐标方程为x－y＋2＝0.由参数方程可得y＝x－＋1，所以解得a＝－1，b＝2………………10分(B)（选修4—5不等式证明选讲）解：(1)因为f(x＋2)＝m－|x|，f(x＋2)≥0等价于|x|≤m，由|x|≤m有解，得m≥0，且其解集为{x|－m≤x≤m}．又f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]，故m＝1.………………5分(2)由(1)知＋＋＝1，又a，b，c∈R，由柯西不等式得a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)≥2＝9.…………………10分-7-</g′(x)，③正确．17.解：(1)f(－x)=－f(x),即lg,即,整理得：1－a2x2=1－4x2,∴a=±2.又a≠2,故a=－2.…………5分(2)f(x)=lg的定义域是(－，)，∴0<b≤.…………8分(3)f(x)=∴函数在定义域内是单调递减的.………………12分18.解:(1)每次购买原材料后，当天用掉的400公斤原材料不需要保管，第二天用掉的400公斤原材料需保管1天，第三天用掉的400公斤原材料需保管2天，第四天用掉的400公斤原材料需保管3天，…，第x天(也就是下次购买原材料的前一天)用掉最后的400公斤原材料需保管x－1天．∴每次购买的原材料在x天内的保管费用为y1＝400×0.03[1＋2＋3＋…＋(x－1)]＝6x2－6x,x…………6分(2)由(1)可知，购买一次原材料的总的费用为6x2－6x＋600＋1.5×400x＝6x2＋594x＋600(元)，∴购买一次原材料平均每天支付的总费用为y＝＋6x＋594≥2＋594＝714.当且仅当＝6x，即x＝10时，取得等号．…………11分∴该厂10天购买一次原材料可以使平均每天支付的总费用最少，最少费用为714元．………12分19．解：(1)由得x2－4x－4b＝0(*)．因为直线l与抛物线c相切，所以δ＝(－4)2－4×(－4b)＝0，解得b＝－1.…………………………5分(2)由(1)可知b＝－1，故方程(*)为x2－4x＋4＝0，解得x＝2.将其代入x2＝4y，得y＝1，故点a(2，1)．…………8分因为圆a与抛物线c的准线相切，所以圆a的半径r等于圆心a到抛物线的准线y＝－1的距离，即r＝|1－(－1)|＝2……11分所以圆a的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.…………………………12分20.解：（1）因为a·b＝2＋sinθcosθ＝，所以sinθcosθ＝．…………3分-7-所以(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ＝．又因为θ为锐角，所以sinθ＋cosθ＝．………………6分（2）解法一因为a∥b，所以tanθ＝2．></g′(x)；④设随机变量～,若，则．其中正确结论的序号是_____________．(填写所有正确结论的序号)三、解答题:（本大题有6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.设a、b∈r,且a≠2,若奇函数f(x)=lg在区间(－b,b)上有定义.(1)求a的值；(2)求b的取值范围；(3)判断函数f(x)在区间(－b,b)上的单调性,并说明理由.18.某加工厂需定期购买原材料，已知每公斤原材料的价格为1.5元，每次购买原材料需支付运费600元．每公斤原材料每天的保管费用为0.03元，该厂每天需消耗原材料400公斤，每次购买的原材料当天即开始使用(即有400公斤不需要保管)．-7-(1)设该厂每x天购买一次原材料，试写出每次购买的原材料在x天内总的保管费用y1(元)关于x的函数关系式；(2)求该厂多少天购买一次原材料才能使平均每天支付的总费用y(元)最少，并求出这个最小值．19.如图所示，直线l：y＝x＋b与抛物线c：x2＝4y相切于点a.(1)求实数b的值；(2)求以点a为圆心，且与抛物线c的准线相切的圆的方程．20.设向量a＝，b＝，θ为锐角．(1)若a·b＝，求sinθ＋cosθ的值；(2)若a∥b，求sin(2θ＋)的值．21.已知函数f(x)＝xlnx，g(x)＝－.(1)求函数f(x)在区间[1，3]上的最小值；(2)证明：对任意m，n∈(0，＋∞)，都有f(m)≥g(n)成立．22．选考题：从以下2题中选择1题做答，每题10分，若2题全做，则按第1题给分.(a)（选修4—4参数方程与极坐标）在直角坐标系xoy中，以o为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆c1，直线c2的极坐标方程分别为ρ＝4sinθ，ρcos＝2.(1)求c1与c2交点的极坐标；(2)设p为c1的圆心，q为c1与c2交点连线的中点．已知直线pq的参数方程为(t∈r为参数)，求a，b的值．(b)（选修4—5不等式证明选讲）已知函数f(x)＝m－|x－2|，m∈r，且f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]．(1)求m的值；(2)若a，b，c∈r，且＋＋＝m，求证：a＋2b＋3c≥9.稿纸福州八中2022—2022学年高三毕业班第一次质量检查数学(理)试卷参考答案及评分标准-7-1．d></x<3}，b＝{x|(x＋2)(x－a)<0}，则“a＝1”是“a∩b＝∅”的a．充分不必要条件b．必要不充分条件c．充要条件d．既不充分也不必要条件4.已知p：∃x0∈r，mx＋1≤0，q：∀x∈r，x2＋mx＋1>
