福建师大附中2022-2022学年第一学期期中考试卷高三数学(理科)本试卷共4页．满分150分，考试时间120分钟．注意事项：试卷分第I卷和第II卷两部分，将答案填写在答卷纸上，考试结束后只交答案卷.第I卷共60分一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．设集合，，若，则（******）A．B．C．D．2．已知，，则（********）A．B．C．D．3．已知向量，且，则实数=（*******）D.4．直线在第一象限内围成的封闭图形的面积为（*******）A.B.4C.D.5．下列有关命题的说法正确的是(******)A．若且为假命题，则，均为假命题；B．“”是“”的充分不必要条件；C．命题“使得”的否定是：“均有”；D．命题“若，则”的逆否命题为真命题．-8-\n6．函数的图象大致是(*******)7．设，是平面直角坐标系(坐标原点为O)内分别与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量，且＝4＋2，＝3＋4，则△OAB的面积等于(*******)A.15B.10C.7.5D.58．要得到函数的图象,只需将函数的图象(*******)A．左移个单位B．右移个单位C．左移个单位D．右移个单位9．已知函数的图象关于点（，0)对称，则的值可以是(*****)A.B.C.D.10.已知函数，若是的导函数，且满足，则（*******）A．B．C．D．11．定义在R上的偶函数满足，且在[－3，－2]上是减函数，是钝角三角形的两个锐角，则下列不等式关系中正确的是(******)A．B．C．D．12．已知函数，且关于的方程有个不同的实数解，若最小实数解为，则的值为(*******)A．B．C．0D．2第Ⅱ卷共90分二、填空题：本大题有5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答卷的相应位置.-8-\n13．设，向量，若，则_******______.14．设是定义在R上的周期为2的函数，当时，，则_******__.15．如图在平行四边形中，已知，，则的值是_******__.16．若函数在区间是增函数，则实数的取值范是_******__.17．对于函数与和区间D，如果存在，使，则称是函数与在区间D上的“友好点”．现给出两个函数：①，； ②，；③，；④，，则在区间上存在唯一“友好点”的是_******__.(填上所有正确的序号)三、解答题：本大题有5题，共65分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．（本小题满分12分）已知矩阵A=有一个属于特征值1的特征向量.(Ⅰ)求矩阵A；(Ⅱ)若矩阵B=，求直线先在矩阵A，再在矩阵B的对应变换作用下的像的方程.19．（本小题满分14分）已知向量; 令（1）求解析式及单调递增区间；-8-\n（2）若，求函数的最大值和最小值；(3)若=，求的值。20．（本小题满分12分）已知函数，其中。（1）若是函数的极值点，求实数的值；（2）若对任意的（为自然对数的底数）都有成立，求实数的取值范围。21．(本小题满分12分)某港湾的平面示意图如图所示，，，分别是海岸线上的三个集镇，位于的正南方向6km处，位于的北偏东方向10km处．（Ⅰ）求集镇，间的距离；（Ⅱ）随着经济的发展，为缓解集镇的交通压力，拟在海岸线上分别修建码头，开辟水上航线．勘测时发现：以为圆心，3km为半径的扇形区域为浅水区，不适宜船只航行．请确定码头的位置，使得之间的直线航线最短．22．(本小题满分15分)已知函数的图象与的图象关于直线对称。(Ⅰ)若直线与的图像相切,求实数的值；(Ⅱ)判断曲线与曲线公共点的个数.(Ⅲ)设，比较与的大小,并说明理由.-8-\n福建师大附中2022-2022学年第一学期期中考试卷高三数学(理科)解答一、选择题：BCCBD,CDADD,AB二、填空题：13．14．115．2216．17．①④三、18．（1）【解析】(Ⅰ)由已知得，所以…………4分解得故A=.………………………6分(Ⅱ)BA==，因为矩阵BA所对应的线性变换将直线变成直线（或点），所以可取直线上的两点（0，1），（-1，2），……8分，，由得：（0，1），（-1，2）在矩阵A所对应的线性变换下的像是点（1，-3），（-1，-1）………………10分从而直线在矩阵BA所对应的线性变换下的像的方程为.…………12分19．……4分当，，即：时，单调递增，增区间为：，……6分（Ⅱ）由得，当时当时，……10分（3），所以。……14分20．（本小题满分12分）（1）解法1：∵，其定义域为，∴．………………1分∵是函数的极值点，∴，即．………………2分∵，∴．……4分-8-\n经检验当时，是函数的极值点，……4分∴． （2）解：对任意的都有≥成立等价于对任意的都有≥．……5分当［1，］时，．∴函数在上是增函数．∴．…7分∵，且，．1.当1≤≤时，若1≤＜，则，若＜≤，则．∴函数在上是减函数，在上是增函数．∴.由≥，得≥，又1≤≤，∴≤≤．……………9分2.当且［1，］时，，∴函数在上是减函数．∴.由≥，得≥，又，∴．……11分综上所述，的取值范围为．…12分21．(本小题满分12分)解法一：（Ⅰ）在△中，，，，……………………1分根据余弦定理得，………………3分，所以．故，两集镇间的距离为14km．………………………5分（Ⅱ）依题意得，直线必与圆相切．设切点为，连接，则．………………6分设，，，-8-\n在△中，由，得，即，………………………………8分由余弦定理得，，……………………………10分所以，解得，………………………………………11分当且仅当时，取得最小值．所以码头与集镇的距离均为km时，之间的直线航线最短，最短距离为km．…12分解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）依题意得，直线必与圆相切．设切点为，连接，则．设，则，，………………………………………6分在中，，所以，………………………7分在中，，所以，……………8分所以．………………………10分因为，所以，因此当，即时，有最大值，故有最小值，此时．所以码头与集镇的距离均为km时，之间的直线航线最短，最短距离为km．…12-8-\n22．(本小题满分15分)解：(Ⅰ)由题意知.……………1分，设直线与相切与点。∴……4分(Ⅱ)证明曲线与曲线有唯一公共点，过程如下。，∴曲线与曲线只有唯一公共点.……………8分(Ⅲ)解法一：∵……………9分令。，且∴，∴∴……………15分解法二：……………9分以为主元，并将其视为，构造函数，则，且……………10分∵且，∴在上单调递增，∴当时，∴在上单调递增，∴当时，……………14分∴……………15分-8-
