福建师大附中2022-2022学年第一学期高三期中考试卷数学(理科)本试卷共4页．满分150分，考试时间120分钟．注意事项：试卷分第I卷和第II卷两部分，将答案填写在答卷纸上，考试结束后只交答案卷.第I卷共60分一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.设集合A＝{x|x2－3x＋2≥0}，B={x|2x＜4}，则A∪B＝(****)A.RB.∅C.{x|x≤1}D.{x|x＞2}2.若复数()是纯虚数,则复数在复平面内对应的点在(****)A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知命题：“，都有成立”，则命题为（****）A．，有成立B．，有成立C．，有成立D．，有成立4．利用数学归纳法证明“(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)，n∈N*”时，从“n＝k”变到“n＝k＋1”时，左边应增乘的因式是(****)A．2k＋1B．2(2k＋1)C．D．5.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（****）A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏6.设，则的大小关系为（****）A．B．C.D．7.记不等式组解集为,若,则实数的最小值是(****)8\nA．0B．1C．2D．48.如图，在平面四边形中，，，，.若点为边上的动点，则的最小值为（****）A．B．C．D．9.已知函数（其中为自然对数的底数），则的大致图象大致为(****)A.B.C.D10.如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角的始边为射线，终边为射线，过点作直线的垂线，垂足为，将点到直线的距离表示为的函数，则=在[0,]上的图像大致为（****）11.已知函数若方程在上有且只有四个实数根，则实数的取值范围为（****）A.B.C.D.12.已知关于的方程有唯一实数解，则实数的值为（****）8\nA．B．C．或D．或第Ⅱ卷共90分二：填空题：本大题有4小题，每小题5分.13.已知向量，的夹角为，，，则__****__.14．已知满足约束条件若目标函数的最大值为7，则的最小值为__****__.15．甲和乙玩一个猜数游戏，规则如下：已知五张纸牌上分别写有（）五个数字，现甲、乙两人分别从中各自随机抽取一张，然后根据自己手中的数推测谁手上的数更大．甲看了看自己手中的数，想了想说：我不知道谁手中的数更大；乙听了甲的判断后，思索了一下说：我也不知道谁手中的数更大．假设甲、乙所作出的推理都是正确的，那么乙手中的数是_***__.16．在数列中，若存在一个确定的正整数T，对任意满足，则称是周期数列，T叫做它的周期.已知数列满足，，若数列的周期为3，则的前100项的和为****.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）如图，在中,,,点在边上,,,为垂足.(Ⅰ)若的面积为,求的长;(Ⅱ)若,求的大小.18.(本小题满分12分）已知数列的前和为，若，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若，求数列的前项和．8\n19.（本小题满分12分）在直角坐标系中，曲线,曲线为参数)，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系.（Ⅰ）求曲线的极坐标方程；（Ⅱ）已知射线与曲线分别交于点（异于原点），当时，求的取值范围.20.（本小题满分12分）已知函数（）.（Ⅰ）当时，解不等式；（Ⅱ）若，求的取值范围．21.（本小题满分12分）函数，在一个周期内的图象如图所示,为图象的最高点,、为图象与轴的交点,且为正三角形.（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）将的图象上每个点的横坐标缩小为原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位得到函数，若设图象在轴右侧第一个最高点为，试问图象上是否存在点，使得，若存在请求出满足条件的点的个数，若不存在，说明理由.22.（本小题满分12分）已知函数．（Ⅰ）当时，讨论的极值情况；（Ⅱ）若，求的值．8\n福建师大附中2022-2022学年第一学期高三期中考试卷解答数学(理科)一、选择题：ABDBB;DCADB,BA二：填空题：本大题有4小题，每小题5分.13.,14．715．16．67三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）(Ⅰ)由已知得，又，得……………3分在中，由余弦定理得，所以的长为……………6分(Ⅱ)因为……………8分在中，由正弦定理得，又,……………10分得，……………11分解得,所以即为所求.……………12分18.(本小题满分12分）解:（Ⅰ），．………………………………1分当时，，得．………………………………2分当时，，，………………………………3分，即，．………………………………4分数列是等差数列，且首项为，公差为2，………………………………5分．………………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，，——①………………………………7分，——②………………………………8分①–②得………………………………9分，………………………………10分8\n化简得．…………………12分19.（本小题满分12分）解：(1)因为，所以曲线的普通方程为：，由，得曲线的极坐标方程，对于曲线,,则曲线的极坐标方程为(2)由(1)得,，因为，则20.（本小题满分12分）解：（1）f(x)＝2|x－1|＋|x－2|＝所以，f(x)在（－∞,1]上递减，在[1，＋∞）上递增，又f(0)＝f()＝4，故f(x)≤4的解集为{x|0≤x≤}.....................................6分（2）①若a＞1，f(x)＝(a－1)|x－1|＋|x－1|＋|x－a|≥a－1，当且仅当x＝1时，取等号，故只需a－1≥1，得a≥2..................................7分②若a＝1，f(x)＝2|x－1|，f(1)＝0＜1，不合题意....................…9分③若0＜a＜1，f(x)＝a|x－1|＋a|x－a|＋(1－a)|x－a|≥a(1－a)，当且仅当x＝a时，取等号，故只需a(1－a)≥1，这与0＜a＜1矛盾..............11分综上所述，a的取值范围是[2，＋∞).…...................12分21.（本小题满分12分）由已知得:………2分∵为图象的最高点，∴的纵坐标为,又∵为正三角形，所以…………3分∴可得,即得…………4分,∴…………5分,（Ⅱ）由题意可得,…………7分法一：作出如右下图象，由图象可知满足条件的点是存在的，而且有两个………8分注：以上方法虽然能够得到答案，但其理由可信度不高，故无法给满分.8\n法二：由得，即，即，由此作出函数及图象，由图象可知满足条件的点有两个.………10分(注：数形结合是我们解题中常用的方法，但就其严密性而言，仍有欠缺和不足.)法三：由得，即，即，问题转化为研讨函数零点个数。∵，，当时，恒成立，从而说明函数在中是单调递增函数………10分，又，，故存在，使得从而函数在区间单调递减，在区间单调递增………11分又，，，由零点存在定理得:函数在区间和区间上各有一个零点…12分22.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）1分．因为，由得，或．①当时，，单调递增，故无极值．2分②当时，．,,的关系如下表：+0－0+单调递增极大值单调递减极小值单调递增故有极大值，极小值．4分③当时，．,,的关系如下表：8\n+0－0+单调递增极大值单调递减极小值单调递增故有极大值，极小值．5分综上：当时，有极大值，极小值；当时，无极值；当时，有极大值，极小值．6分（Ⅱ）令，则．（i）当时，，所以当时，，单调递减，所以，此时，不满足题意．8分（ii）由于与有相同的单调性，因此，由（Ⅰ）知：①当时，在上单调递增，又，所以当时，；当时，．故当时，恒有，满足题意．9分②当时，在单调递减，所以当时，，此时，不满足题意．10分③当时，在单调递减，所以当时，，此时，不满足题意．11分综上所述：．12分8
