永昌县第一高级中学2022—2022期中考试卷高二理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题共60分）和第Ⅱ卷（非选择题共90分），考试时间120分钟，满分为150分。请将第Ⅰ卷正确答案涂在机读卡上，第Ⅱ卷在答题卡上做答。一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。）1．设,则下列不等式中恒成立的是()A．B．C．D．2．已知数列中，若则等于（）A.3B.4C.5D.63．若不等式和不等式的解集相同，则、的值为（）A．=﹣8，=﹣10B．=﹣4，=﹣9C．=﹣1，=9D．=﹣1，=24．在中，若，则是（）A.等腰或直角三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰三角形5．已知，函数的最小值是（）A．5B．4C．6D．86.已知数列满足,且,则的值是（）A．B．5C．D．7．△ABC中，已知，则A的度数等于（）A．B．C．D．8．若变量x，y满足约束条件且z＝2x＋y的最大值和最小值分别为m和n，则m－n＝（）A．5B．6C．7D．87\n9.数列中，=15，（），则该数列中相邻两项的乘积是负数的是（）A．B．C．D．10．在△ABC中，如果，那么cosC等于（）11.已知数列中，前项和为，且点在一次函数的图象上，则（）A．B．C．D．12.若关于的不等式内有解，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．二．填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13．设是等差数列的前项和，若，则___________.14．设，且,则的最小值为________.15.数列的前项和，则．16．在ΔABC中，若，则角A=.．三．解答题（其中17题10分，18、19、20、21、22每题12分）17.若不等式的解集是，(1)求的值；(2)求不等式的解集.18.△ABC中，是A，B，C所对的边，S是该三角形的面积，且（1）求∠B的大小；7\n（2）若=4，，求的值。19.已知等差数列的前n项和为，，（1）求数列的通项公式；（2）设数列，求数列的前项和.20.某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由长方形的休闲区A1B1C1D1（阴影部分）和环公园人行道组成。已知休闲区A1B1C1D1的面积为4000平方米，人行道的宽分别为4米和10米。（1）若设休闲区的长米，求公园ABCD所占面积S关于的函数的解析式；（2）要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计？ABCDA1B1C1D110米10米4米4米21.如图15所示，在平面四边形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC＝.(1)求cos∠CAD的值；(2)若cos∠BAD＝－，sin∠CBA＝，求BC的长．7\n图1522.已知数列，，其中，数列的前n项和(n∈N*)，数列满足.(1)求数列，的通项公式；(2)是否存在自然数m，使得对于任意n∈N*，n≥2，有1＋＋＋…＋＜恒成立？若存在，求出m的最小值.7\n永昌县第一高级中学2022—2022—1期中考试高二数学(理科)参考答案一、选择题（每小题5分，共5×12=60分）题号123456789101112答案CABACCBBADAD二、填空题（每小题5分，共5×4=20分）13．514．1615．4816．300三、解答题（17题10分，19、20、21、22每题12分）17、（1）依题意，可知方程的两个实数根为和2，由韦达定理得：+2=解得：=－2（2）18、⑴由⑵19、（1）设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.∵a5＝5，S5＝15，∴∴∴an＝a1＋(n－1)d＝n.（2）∴=＝＝－，=20、⑴由，知7\n⑵当且仅当时取等号∴要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1的长为100米、宽为40米.21、解：(1)在△ADC中，由余弦定理，得cos∠CAD＝，故由题设知，cos∠CAD＝＝.(2)设∠BAC＝α，则α＝∠BAD－∠CAD.因为cos∠CAD＝，cos∠BAD＝－，所以sin∠CAD＝＝＝，sin∠BAD＝＝＝.于是sinα＝sin(∠BAD－∠CAD) ＝sin∠BADcos∠CAD－cos∠BADsin∠CAD ＝×－× ＝.在△ABC中，由正弦定理，得＝.故BC＝＝＝3.22、(1)因为Sn＝n2an(n∈N*)，当n≥2时，Sn－1＝(n－1)2an－1.所以an＝Sn－Sn－1＝n2an－(n－1)2an－1.所以(n＋1)an＝(n－1)an－1.即＝.又a1＝，所以an＝···…···a1＝···…···7\n＝.当n＝1时，上式也成立，故an＝.因为b1＝2，bn＋1＝2bn.所以{bn}是首项为2，公比为2的等比数列，故bn＝2n.(2)由(1)知，bn＝2n.则1＋＋＋…＋＝1＋＋＋…＋＝2－.假设存在自然数m，使得对于任意n∈N*，n≥2，有1＋＋＋…＋＜恒成立，即2－＜恒成立.由≥2，解得m≥16.所以存在自然数m，使得对于任意n∈N*，n≥2，有1＋＋＋…＋＜恒成立.此时m的最小值为16.7
