永昌县第一高级中学2022-2022-2期中考试卷高二数学（理科）（时间120分钟，分值150分）说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案涂在答题卡上)。1．复数2＝( )（A）－3－4i （B）－3＋4i（C）3－4i（D）3＋4i2．函数的导数为（）（A）（B）（C）（D）3．设函数f(x)＝ax＋2，若f′(1)＝3，则a＝( )（A）2（B）－2（C）3（D）－34．用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是（）（A）假设至少有一个钝角 （B）假设至少有两个钝角 （Ｃ）假设没有一个钝角 （Ｄ）假设没有一个钝角或至少有两个钝角5．i是虚数单位，若＝a＋bi(a，b∈R)，则a＋b的值是( )（A）0（B）（C）1（D）26．函数y＝x4－2x2＋5的单调减区间为( )（A）(－∞，－1]和[0,1]（B）[－1,0]和[1，＋∞)（C）[－1,1]（D）(－∞，－1]和[1，＋∞)7．函数在处有极值10,则点为（ ）（A）（B）或（C）（D）不存在8．曲线，和直线围成的图形面积是（ ）(A)(B)(C)(D)9．用数学归纳法证明不等式“”时的过程中，由7\n到时，不等式的左边（）（A）增加了一项（B）增加了两项（C）增加了两项，又减少了；（D）增加了一项，又减少了一项；10、如图是导函数的图象，那么函数在下面哪个区间是减函数（）（A）（B）（C）（D）11．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为，则其表面积最小时，底面边长为（）（Ａ） （Ｂ）（Ｃ） （D）12．点是曲线上任意一点,则点到直线的距离的最小值是（ ）(A)１ (B) (C)２ (D)第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应题中横线上）。13.设复数z的模为17,虚部为-8,则复数z=_________；7\n14.曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程为____________；15.设，当时，恒成立，则实数的取值范围为______；16．____________。三、解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。把答案写在答题卡相应题目的位置，写错位置的不给分）17．（本小题10分）已知复数z＝m(m－1)＋(m2＋2m－3)i；当实数m取什么值时，复数z是：（1）零；(2)纯虚数．18.（本小题12分）求函数y=2x3-6x2+7的单调增区间。19.（本小题12分）已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点x＝1处的切线为l：3x－y＋1＝0，若x＝时，y＝f(x)有极值．(1)求a，b，c的值；(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值和最小值．20.（本小题12分）已知数列的前项和．7\n（1）计算，，，；（2）猜想的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．21.（本小题12分）已知函数f(x)＝x3－3ax－1，a≠0.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．22.（本小题12分）已知函数f(x)＝xlnx.(1)求函数f(x)的极值点；(2)设函数g(x)＝f(x)－a(x－1)，其中a∈R，求函数g(x)在区间[1，e]上的最小值．(其中e为自然对数的底数)7\n答案ABCBCACDCACD高二数学(理科)答案13.14.y=2x15.16.1017.解析 (1)由得m＝1，即当m＝1时，z＝0.(2)由得m＝0.即当m＝0时，z是纯虚数．18.(-∞,0),(2,+∞)19.解析：(1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，得f′(x)＝3x2＋2ax＋b，当x＝1时，切线l的斜率为3，可得2a＋b＝0.①当x＝时，y＝f(x)有极值，则f′＝0，可得4a＋3b＋4＝0.②由①②解得a＝2，b＝－4.由于切点的横坐标为x＝1，∴f(1)＝4，∴1＋a＋b＋c＝4，∴c＝5.∴a＝2，b＝－4，c＝5.(2)由(1)可得f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，∴f′(x)＝3x2＋4x－4，令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝.当x变化时，y、y′的取值及变化如下表：x－3(－3，－2)－21y′＋0－0＋y8单调递增↗13单调递减↘单调递增↗47\n∴y＝f(x)在[－3,1]上的最大值为13，最小值为.20.解：（1）依题设可得，，，；（2）猜想：．证明：①当时，猜想显然成立．②假设时，猜想成立，即．那么，当时，，即．又，所以，从而．即时，猜想也成立．故由①和②，可知猜想成立．21.解 (1)f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)．当a<0时，对x∈R，有f′(x)>0，∴当a<0时，f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)．当a>0时，由f′(x)>0，解得x<－或x>；由f′(x)<0，解得－<x<，∴当a>0时，f(x)的单调增区间为(－∞，－)，(，＋∞)，f(x)的单调减区间为(－，)．(2)∵f(x)在x＝－1处取得极值，∴f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0，∴a＝1.∴f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3.由f′(x)＝0解得x1＝－1，x2＝1.由(1)中f(x)的单调性可知，f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，在x＝1处取得极小值f(1)＝－3.∵直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点，∴结合f(x)的单调性可知，m的取值范围是(－3,1)．22.解 (1)f′(x)＝lnx＋1，x>0，由f′(x)＝0得x＝，7\n所以，f(x)在区间(0，)上单调递减，在区间(，＋∞)上单调递增．所以，x＝是函数f(x)的极小值点，极大值点不存在．(2)g(x)＝xlnx－a(x－1)，则g′(x)＝lnx＋1－a，由g′(x)＝0，得x＝ea－1，所以，在区间(0，ea－1)上，g(x)为减函数，在区间(ea－1，＋∞)上，g(x)为增函数，所以x＝ea－1是极小值点．以下对极小值点是否在[1，e]上作分类讨论．当ea－1≤1，即a≤1时，在区间[1，e]上，g(x)为增函数，所以g(x)的最小值为g(1)＝0.当1<ea－1<e，即1<a<2时，g(x)的最小值为g(ea－1)＝a－ea－1.当ea－1≥e，即a≥2时，在区间[1，e]上，g(x)为减函数，g(x)的最小值为g(e)＝a＋e－ae.综上，当a≤1时，g(x)的最小值为0；当1<a<2时，g(x)的最小值为a－ea－1；当a≥2时，g(x)的最小值为a＋e－ae.7
