永昌一中2022-2022-1期末考试卷高二数学（理）一、选择题(每小题5分，共60分)1.设抛物线的顶点在原点,准线方程为x=-2,则抛物线的方程是 ( )A.y2=-8xB.y2=8xC.y2=-4xD.y2=4x2.下列有关命题的说法正确的是()A．“若x≠a且x≠b，则x2－（a＋b）x＋ab≠0”的否命题为：“若x＝a且x＝b，则x2－（a＋b）x＋ab＝0”．B．“”是“”的必要不充分条件．C．命题“使得”的否定是：“均有”．D．．命题“若，则”的逆否命题为真命题．3.的一个必要不充分条件是（）.A.B.C.D.4．已知椭圆＋＝1的两个焦点为F1，F2，弦AB过点F1，则△ABF2的周长为( )．A．10B．20C．2D．45.已知，且，则（）A.B.C.D.6．过点且与双曲线有相同渐近线的双曲线的方程是（D）A．B．C．D．7.如图：在平行六面体中，为与的交点。若，，则下列向量中与相等的向量是（）A．B.C.D.8．三棱锥ABCD中，AB＝AC＝AD＝2，∠BAD＝90°，∠BAC＝60°，则·等于( )A．－2B．2C．－2D．29．O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上一点，若|PF7\n|＝4，则△POF的面积为( )A．2B．2C．2D．410.在侧棱与地面垂直且底面是正三角形的三棱柱ABC-ABC中，若AB=BB,则AB与CB所成的角为（）A.60°B.90°C.45°D.75°11．已知斜率为2的直线双曲线交两点，若点是的中点，则的离心率等于()A．B．C．2D．12．如图所示，椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率e＝，左焦点为F，A，B，C为其三个顶点，直线CF与AB交于D点，则tan∠BDC的值等于( )．A．－3B．3C．D．－二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.共20分.13.命题“若，则”的逆否命题是14.若双曲线的离心率为,则其渐近线方程为_________________.15.过原点的直线与双曲线有两个交点，则直线的斜率的取值范围为16.已知矩形ABCD中，AB=1，BC=3，将矩形ABCD沿对角线AC折起，使平面ABC与平面ACD垂直，则B与D之间的距离为三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17.给定两个命题P：都有ax2＋ax＋1>0；Q：关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根．如果P∧Q为假命题，P∨Q为真命题，求实数a的取值范围．7\n18.(1)双曲线与椭圆有相同焦点，且经过点，求双曲线的方程.(2)已知F是抛物线的焦点，P是该抛物线上的动点，求线段PF中点的轨迹方程19.（本小题12分）正方体的棱长等于2，求：(1)直线所成角的正弦值；(2)二面角的余弦值；20.已知椭圆＋＝1(a>b>0)的一个顶点为A(0，1)，离心率为，过点B(0，－2)及左焦点F1的直线交椭圆于C，D两点，右焦点设为F2.(1)求椭圆的方程；(2)求△CDF2的面积．21．如图所示的多面体中，已知直角梯形和矩形所在的平面互相垂直，,,,．MBEFCDA（1）证明：平面；（2）设二面角的平面角为，求的值；（3）为的中点，在上是否存在一点，使得∥平面？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．22.在平面直角坐标系中，经过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点和．（I）求的取值范围；（II）设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为，是否存在常数，使得向量与共线？如果存在，求值；如果不存在，请说明理由．7\n高二数学（理）答案一.选择题:BDCDBDACACBA二.填空题:13.14.15.16.三.解答题:17解：，可设双曲线方程为,点在曲线上，代入得18解：命题P：都有ax2＋ax＋1>0，则“a＝0”，或“a>0且a2－4a<0”．解得0≤a<4.命题Q：关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根，则Δ＝1－4a≥0，得a≤.因为P∧Q为假命题，P∨Q为真命题，则P，Q有且仅有一个为真命题，故綈P∧Q为真命题，或P∧綈Q为真命题，则或解得a<0或<a<4.所以实数a的取值范围是(－∞，0)∪(，4)．19、解：如图建立空间直角坐，7\n∵正方体的棱长等于2，分别是的中点，∴，（1），设是平面的一个法向量，则由，取，得平面的一个法向量，设直线所成角的大小为，则∴直线所成角的正弦值是（2）设是平面的一个法向量，则由得，取得平面的一个法向量由，故二面角的余弦值是7\n20解 (1)易得椭圆方程为＋y2＝1.(2)∵F1(－1，0)，∴直线BF1的方程为y＝－2x－2，由得9x2＋16x＋6＝0.∵Δ＝162－4×9×6＝40>0，所以直线与椭圆有两个公共点，设为C(x1，y1)，D(x2，y2)，则∴|CD|＝|x1－x2|＝·＝·＝，又点F2到直线BF1的距离d＝，故S△CDF2＝|CD|·d＝.21.解:(1)略(2)(3)存在，DP=122．解：（Ⅰ）由已知条件，直线的方程为，代入椭圆方程得．整理得 ①直线与椭圆有两个不同的交点和等价于，解得或．即的取值范围为．（Ⅱ）设，则，由方程①，． ②又． ③7\n而．所以与共线等价于，将②③代入上式，解得．由（Ⅰ）知或，故没有符合题意的常数．7
