永昌县第一高级中学2022-2022-1期末考试卷高一数学第I卷一、选择题（每小题5分，共125=60分）1．直线l过点(－1,2)且与直线2x－3y＋4＝0平行，则l的方程为( )A．3x＋2y+8＝0B．2x＋3y－1＝0C．3x＋2y＋1＝0D．2x－3y－1＝02．直线y－2＝－(x＋1)的倾斜角及在y轴上的截距分别为( )A．60°，2B．120°，2－C．60°，2－D．120°，23．设α、β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是( )A．若l⊥α，α⊥β，则l⊂βB．若l∥α，α∥β，则l⊂βC．若l⊥α，α∥β，则l⊥βD．若l∥α，α⊥β，则l⊥β4．如果方程x2＋y2＋x＋y＋k＝0表示一个圆，则k的取值范围是()A．k＞B．k＜C．0＜k＜D．k≤5．经过点M(1,1)且在两坐标轴上截距相等的直线是( )A．x＋y＝2B．x＋y＝1C．x＝1或y＝1D．x＋y＝2或x＝y6．若圆x2＋y2－2x－4y＝0的圆心到直线x－y＋a＝0的距离为，则a的值为( )A．－2或2B．或C．2或0D．－2或07．如图，已知四棱锥的侧棱长与底面边长都是2，且SO⊥平面ABCD，O为底面的中心，则侧棱与底面所成的角为( )A．75°B．60°C．45°D．30°8．已知直线m、n与平面α、β，给出下列三个命题：①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若m∥α，n⊥α，则n⊥m；③若m⊥α，m∥β，则α⊥β．其中正确命题的个数是( )A．0B．1C．2D．39．已知直线l1：ax＋4y－2＝0与直线l2：2x－5y＋b＝0互相垂直，垂足为(1，c)，则a＋b＋c的值为( )A．－4B．20C．0D．2410．实数x，y满足方程x＋y－4＝0，则x2＋y2的最小值为( )A．4B．6C．8D．1211．三视图如图所示的几何体的全面积是( )A．2＋B．1＋C．2＋D．1＋12．一个三棱锥S－ABC的三条侧棱SA、SB、SC两两互相垂直，且长度分别为1，，3，已知该三棱锥的四个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为( )4\nA．16πB．32πC．36πD．64π二、填题（每小题5分，共45=20分）13．如果一条直线a和一个平面α都垂直于另一个平面β，那么该直线与该平面的位置关系是________14．各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是________15．圆x2＋y2＋x－6y＋3＝0关于直线kx－y＋4＝0对称，则k＝______16．若O(0,0)，A(4，－1)两点到直线ax＋a2y＋6＝0的距离相等，则实数a＝________三、解答题（共70分）17(10分)．如图所示，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2，AD＝2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积．18．(12分)求经过点P(6，－4)且被定圆O：x2＋y2＝20截得的弦长为6的直线AB的方程．19．(12分)△ABC的三个顶点是A(－1,4)，B(－2，－1)，C(2，3)．(1)求BC边的高所在直线的方程；(2)求△ABC的面积S.20．(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点．已知AB＝2，AD＝2，PA＝2.求：(1)三角形PCD的面积；(2)异面直线BC与AE所成的角的大小．21．(12分)圆x2＋y2＝8内有一点P(－1,2)，AB为过点P且倾斜角为α的弦．(1)当α＝时，求AB的长；(2)当弦AB被点P平分时，写出直线AB的方程22．(12分)如图所示，在棱锥A－BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB的中点，D为PB的中点，且△PMB为正三角形．求证：(1)DM∥平面APC；(2)平面ABC⊥平面APC．4\n高一数学答案一、选择题1.D2.C3.B4.B5.D6.C7.C8.C9.A10.C11. A12.A二、填空题二、填空题13．a⊂α或a∥α14.24π15.216．－三、解答题17．解 由三视图可知：该几何体的下半部分是棱长为2m的正方体，上半部分是半径为1m的半球．(1)几何体的表面积为S＝×4π×12＋6×22－π×12＝24＋π(m2)．(2)几何体的体积为V＝23＋××π×13＝8＋(m3)．18．解 由题意知，直线AB的斜率存在，且|AB|＝6，OA＝2，作OC⊥AB于C．在Rt△OAC中，|OC|＝＝．设所求直线的斜率为k，则直线的方程为y＋4＝k(x－6)，即kx－y－6k－4＝0．∵圆心到直线的距离为，∴＝，即17k2＋24k＋7＝0，∴k＝－1或k＝－．故所求直线的方程为x＋y－2＝0或7x＋17y＋26＝019．解 (1)设BC边的高所在直线为l，由题意知kBC＝＝1，则kl＝＝－1，又点A(－1,4)在直线l上，所以直线l的方程为y－4＝－1×(x＋1)，即x＋y－3＝0.(2)BC所在直线方程为y＋1＝1×(x＋2)，即x－y＋1＝0，点A(－1,4)到BC的距离d＝＝2，又|BC|＝＝4，则S△ABC＝·|BC|·d＝×4×2＝8.．20．解 (1)因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD.又AD⊥CD，所以CD⊥平面PAD，从而CD⊥PD.因为PD＝＝2，CD＝2，4\n所以三角形PCD的面积为×2×2＝2.(2)如图，取PB中点F，连接EF、AF，则EF∥BC，从而∠AEF(或其补角)是异面直线BC与AE所成的角．在△AEF中，由EF＝，AF＝，AE＝2知△AEF是等腰直角三角形，所以∠AEF＝45°.因此，异面直线BC与AE所成的角的大小是45°.21．解 (1)∵α＝，k＝tan＝－1，AB过点P，∴AB的方程为y＝－x＋1．代入x2＋y2＝8，得2x2－2x－7＝0，|AB|＝＝．(2)∵P为AB中点，∴OP⊥AB．∵kOP＝－2，∴kAB＝．∴AB的方程为x－2y＋5＝0．22．证明 (1)∵M为AB的中点，D为PB中点，∴DM∥AP．又∵DM⊄平面APC，AP⊂平面APC，∴DM∥平面APC．(2)∵△PMB为正三角形，D为PB中点，∴DM⊥PB．又∵DM∥AP，∴AP⊥PB．又∵AP⊥PC，PC∩PB＝P，∴AP⊥平面PBC．∵BC⊂平面PBC，∴AP⊥BC．又∵AC⊥BC，且AC∩AP＝A，∴BC⊥平面APC．又∵BC⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面APC．4
