甘肃省武威第十八中学2022学年高二数学下学期期中试题理

甘肃省武威第十八中学2022-2022学年高二数学下学期期中试题理一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若是虚数单位，则复数的虚部是（）A．0B．C．1D．2.已知，，，，依照以上各式的规律，得到一般性的等式为()A．B．C．D．3.已知为三次函数的导函数，则它们的图象可能是（）4．曲线与围成的封闭区域的面积是（）A．1B．C．D．5．在用数学归纳法证明的过程中，假设时不等式成立，则需要证明成立时，比增加的值为（）A、B、C、D、6．在复平面内，复数对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限7．函数在区间上的最小值为（）-12-\nA．B．C．D．8．若点P在曲线上移动，经过点P的切线的倾斜角为，则角的取值范围是()A.B.C.D.8．=()A．B．2C．D．9.在平面几何中有如下结论：正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则＝，推广到空间可以得到类似结论；已知正四面体P－ABC的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则＝()A.B.C.D.10.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，则f(2)等于()A．11或18B．11C．18D．17或1811．已知函数有两个极值点,则实数的取值范围是（）A．B．C．D．12．已知定义在R上的奇函数f(x)，设其导函数为，当x∈(－∞，0]时，恒有，令F(x)＝xf(x)，则满足F(3)>F(2x－1)的实数x的取值范围是（）A．(－2,1)B．C．D．(－1,2)二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13.观察下列不等式：①；②；③；…则第个不等式为．14.若复数满足，则的虚部为-12-\n15.已知函数，其导函数记为，则.16.若函数f(x)=2x2-lnx在定义域的一个子区间(k-1,k+1)内不是单调函数,则实数k的取值范围是三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．(本题满分10分)数列{an}满足Sn＝2n－an(n∈N*)．(1)计算a1，a2，a3，a4；(2)猜想通项公式an，并用数学归纳法证明．18.(本题满分12分)点P是曲线x2－y－2ln＝0上任意一点，求点P到直线y＝x－2的最短距离．19.(本题满分12分)设f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1的导数为f′(x)，若函数y＝f′(x)的图像关于直线x＝－对称，且f′(1)＝0.(1)求实数a，b的值；(2)求函数f(x)的极值．20.(本题满分12分)已知f(n)＝1＋＋＋＋…＋，g(n)＝－，n∈N*.(1)当n＝1,2,3时，试比较f(n)与g(n)的大小关系；(2)猜想f(n)与g(n)的大小关系，并给出证明．21.(本题满分12分)已知函数f(x)＝lnx－ax＋－1(a∈R)．(1)当a＝－1时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)当时，讨论f(x)的单调性．22.(本题满分12分)-12-\n定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝·e2x－2＋x2－2f(0)·x，g(x)＝f－x2＋(1－a)x＋a.(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数g(x)的单调区间；(3)如果s、t、r满足|s－r|≤|t－r|，那么称s比t更靠近r.当a≥2且x≥1时，试比较和ex－1＋a哪个更靠近lnx，并说明理由．-12-\n高二期中数学试题（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若是虚数单位，则复数的虚部是（B）A．0B．C．1D．2.已知，，，，依照以上各式的规律，得到一般性的等式为(　A　)A．B．C．D．3.已知为三次函数的导函数，则它们的图象可能是（D）4．曲线与围成的封闭区域的面积是（　C　）A．1B．C．D．5．在用数学归纳法证明的过程中，假设时不等式成立，则需要证明成立时，比增加的值为（B）A、B、C、D、6．在复平面内，复数对应的点位于(D)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限7．函数在区间上的最小值为（D）-12-\nA．B．C．D．8．=(D)A．B．2C．D．9.在平面几何中有如下结论：正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则＝，推广到空间可以得到类似结论；已知正四面体P－ABC的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则＝(D　)A.B.C.D.10.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，则f(2)等于(　C　)A．11或18B．11C．18D．17或1811．已知函数有两个极值点,则实数的取值范围是（　B　）A．B．C．D．12．已知定义在R上的奇函数f(x)，设其导函数为，当x∈(－∞，0]时，恒有，令F(x)＝xf(x)，则满足F(3)>F(2x－1)的实数x的取值范围是（D）A．(－2,1)B．C．D．(－1,2)二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13.观察下列不等式：①；②；③；…则第个不等式为．14.若复数满足，则的虚部为115.已知函数，其导函数记为，则.2-12-\n16.若函数f(x)=2x2-lnx在定义域的一个子区间(k-1,k+1)内不是单调函数,则实数k的取值范围是三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．(本题满分10分)数列{an}满足Sn＝2n－an(n∈N*)．(1)计算a1，a2，a3，a4；(2)猜想通项公式an，并用数学归纳法证明．解：(1)当n＝1时，a1＝S1＝2－a1，∴a1＝1.当n＝2时，a1＋a2＝S2＝2×2－a2，∴a2＝.当n＝3时，a1＋a2＋a3＝S3＝2×3－a3，∴a3＝.当n＝4时，a1＋a2＋a3＋a4＝S4＝2×4－a4，∴a4＝.由此猜想an＝(n∈N*)．(2)证明：①当n＝1时，左边＝a1＝1，右边＝＝1，左边＝右边，结论成立．②假设n＝k(k≥1且k∈N*)时，结论成立，即ak＝，那么n＝k＋1时，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝2(k＋1)－ak＋1－2k＋ak＝2＋ak－ak＋1，∴2ak＋1＝2＋ak，∴ak＋1＝＝＝，这表明n＝k＋1时，结论成立，-12-\n由①②知猜想an＝(n∈N*)成立．18.(本题满分12分)点P是曲线x2－y－2ln＝0上任意一点，求点P到直线y＝x－2的最短距离．解析　y＝x2－2ln＝x2－lnx(x>0)，y′＝2x－，令y′＝1，即2x－＝1，解得x＝1或x＝－(舍去)，故过点(1,1)且斜率为1的切线为y＝x，其到直线y＝x－2的距离即为所求．19.(本题满分12分)设f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1的导数为f′(x)，若函数y＝f′(x)的图像关于直线x＝－对称，且f′(1)＝0.(1)求实数a，b的值；(2)求函数f(x)的极值．解：(1)因为f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1，故f′(x)＝6x2＋2ax＋b，从而f′(x)＝62＋b－，即y＝f′(x)关于直线x＝－对称．从而由题设条件知－＝－，即a＝3.又由于f′(1)＝0，即6＋2a＋b＝0，得b＝－12.(2)由(1)知f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1，所以f′(x)＝6x2＋6x－12＝6(x－1)(x＋2)，令f′(x)＝0，即6(x－1)(x＋2)＝0，解得x＝－2或x＝1，当x∈(－∞，－2)时，f′(x)>0，即f(x)在(－∞，－2)上单调递增；-12-\n当x∈(－2,1)时，f′(x)<0，即f(x)在(－2,1)上单调递减；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，即f(x)在(1，＋∞)上单调递增．从而函数f(x)在x＝－2处取得极大值f(－2)＝21，在x＝1处取得极小值f(1)＝－6.20.(本题满分12分)已知f(n)＝1＋＋＋＋…＋，g(n)＝－，n∈N*.(1)当n＝1,2,3时，试比较f(n)与g(n)的大小关系；(2)猜想f(n)与g(n)的大小关系，并给出证明．解：(1)当n＝1时，f(1)＝1，g(1)＝1，所以f(1)＝g(1)；当n＝2时，f(2)＝，g(2)＝，所以f(2)<g(2)；当n＝3时，f(3)＝，g(3)＝，所以f(3)<g(3)．(2)由(1)猜想f(n)≤g(n)，下面用数学归纳法给出证明．①当n＝1,2,3时，不等式显然成立．②假设当n＝k(k≥3，k∈N*)时不等式成立．即1＋＋＋＋…＋<－，那么，当n＝k＋1时，f(k＋1)＝f(k)＋<－＋，因为－＝－＝<0，所以f(k＋1)<－＝g(k＋1)．由①、②可知，对一切n∈N*，都有f(n)≤g(n)成立．21.(本题满分12分)已知函数f(x)＝lnx－ax＋－1(a∈R)．(1)当a＝－1时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)当时，讨论f(x)的单调性．-12-\n解析　(1)当a＝－1时，f(x)＝lnx＋x＋－1，x∈(0，＋∞)．∴f′(x)＝＋1－，∴f(2)＝ln2＋2，f′(2)＝1.∴曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝x＋ln2.(2)因为f(x)＝lnx－ax＋－1，所以f′(x)＝－a＋＝－，x∈(0，＋∞)．令g(x)＝ax2－x＋1－a，x∈(0，＋∞)，①当a＝0时，g(x)＝－x＋1，x∈(0，＋∞)．所以当x∈(0,1)时g(x)>0，此时f′(x)<0，函数f(x)单调递减，当x∈(1，＋∞)时g(x)<0，此时f′(x)>0，函数f(x)单调递增．②当a≠0时，由f′(x)＝0，解得x1＝1，x2＝－1.当a<0时，由于－1<0，由f′(x)<0，得0<x<1，∴x∈(0,1)时，函数f(x)递减；x∈(1，＋∞)时，函数f(x)递增．综上所述：当a≤0时，函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增；22.(本题满分12分)定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝·e2x－2＋x2－2f(0)·x，g(x)＝f－x2＋(1－a)x＋a.(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数g(x)的单调区间；(3)如果s、t、r满足|s－r|≤|t－r|，那么称s比t更靠近r.当a≥2且x≥1时，试比较和ex－1＋a哪个更靠近lnx，并说明理由．解：(1)f′(x)＝f′(1)e2x－2＋2x－2f(0)，所以f′(1)＝f′(1)＋2－2f(0)，即f(0)＝1.又f(0)＝·e－2，所以f′(1)＝2e2，所以f(x)＝e2x＋x2－2x.(2)∵f(x)＝e2x－2x＋x2，-12-\n∴g(x)＝f－x2＋(1－a)x＋a＝ex＋x2－x－x2＋(1－a)x＋a＝ex－a(x－1)，∴g′(x)＝ex－a.①当a≤0时，g′(x)>0，函数f(x)在R上单调递增；②当a>0时，由g′(x)＝ex－a＝0得x＝lna，∴x∈(－∞，lna)时，g′(x)<0，g(x)单调递减；x∈(lna，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增．综上，当a≤0时，函数g(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)；当a>0时，函数g(x)的单调递增区间为(lna，＋∞)，单调递减区间为(－∞，lna)．(3)设p(x)＝－lnx，q(x)＝ex－1＋a－lnx，∵p′(x)＝－－<0，∴p(x)在x∈[1，＋∞)上为减函数，又p(e)＝0，∴当1≤x≤e时，p(x)≥0，当x>e时，p(x)<0.∵q′(x)＝ex－1－，q″(x)＝ex－1＋>0，∴q′(x)在x∈[1，＋∞)上为增函数，又q′(1)＝0，∴x∈[1，＋∞)时，q′(x)≥0，∴q(x)在x∈[1，＋∞)上为增函数，∴q(x)≥q(1)＝a＋1>0.①当1≤x≤e时，|p(x)|－|q(x)|＝p(x)－q(x)＝－ex－1－a，设m(x)＝－ex－1－a，则m′(x)＝－－ex－1<0，∴m(x)在x∈[1，＋∞)上为减函数，∴m(x)≤m(1)＝e－1－a，∵a≥2，∴m(x)<0，∴|p(x)|<|q(x)|，∴比ex－1＋a更靠近lnx.②当x>e时，|p(x)|－|q(x)|＝－p(x)－q(x)＝－＋2lnx－ex－1－a<2lnx－ex－1－a，设n(x)＝2lnx－ex－1－a，则n′(x)＝－ex－1，n″(x)＝－－ex－1<0，-12-\n∴n′(x)在x>e时为减函数，∴n′(x)<n′(e)＝－ee－1<0，∴n(x)在x>e时为减函数，∴n(x)<n(e)＝2－a－ee－1<0，∴|p(x)|<|q(x)|，∴比ex－1＋a更靠近lnx.综上在a≥2，x≥1时，比ex－1＋a更靠近lnx.-12-