甘肃省武威第十八中学2022-2022学年高二数学下学期期中试题文一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若是虚数单位，则复数的虚部是（）A．0B．C．1D．2.已知，，，，依照以上各式的规律，得到一般性的等式为()A．B．C．D．3.函数的递增区间是（）A．B．C．D．4.,若，则的值等于（）A．B．C．D．5.函数的导数为（）A.B.C.D.6.已知为三次函数的导函数，则它们的图象可能是（）7．给出下面类比推理(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)：①“若a，b∈R，则a－b＝0⇒a＝b”类比推出“a，c∈C，则a－c＝0⇒a＝c”；②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋bi＝c＋di⇒a＝c，b＝d”类比推出“a，b，c，d∈Q-10-\n，则a＋b＝c＋d⇒a＝c，b＝d”；③“a，b∈R，则a－b＞0⇒a＞b”类比推出“若a，b∈C，则a－b＞0⇒a＞b”；④“若x∈R，则|x|＜1⇒－1＜x＜1”类比推出“若z∈C，则|z|＜1⇒－1＜z＜1”．其中类比结论正确的个数为()A．1B．2C．3D．48．函数有（）A.极小值，极大值1B.极小值，极大值3C.极小值，极大值2D.极小值，极大值39．在复平面内，复数对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限10．函数在区间上的最小值为（）A．B．C．D．11．若点P在曲线上移动，经过点P的切线的倾斜角为，则角的取值范围是()A.B.C.D.12．已知函数有两个极值点,则实数的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13.观察下列不等式：①；②；③；…则第个不等式为．14.若复数满足，则的虚部为15.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，则f(2)等于16.若函数f(x)=2x2-lnx在定义域的一个子区间(k-1,k+1)内不是单调函数,则实数k的取值范围是-10-\n三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．(本题满分10分)求垂直于直线并且与曲线相切的直线方程。18.(本题满分12分)已知z是复数，z＋2i，均为实数(i为虚数单位)，且复数(z＋ai)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．19．为了解学生喜欢数学是否与性别有关，对50个学生进行了问卷调查得到了如下的列联表：喜欢数学不喜欢数学合计男生5女生10合计50已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜欢数学的学生的概率为．（1）请将列联表补充完整(不用写计算过程)；（2）是否有99.5％的把握认为喜欢数学与性别有关？说明你的理由；下面的临界值表供参考：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828(参考公式：，其中)20.(本题满分12分)设f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1的导数为f′(x)，若函数y＝f′(x)的图像关于直线x＝－对称，且-10-\nf′(1)＝0.(1)求实数a，b的值；(2)求函数f(x)的极值．21.(本题满分12分)已知函数f(x)＝lnx－ax＋－1(a∈R)．(1)当a＝－1时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)当时，讨论f(x)的单调性．22.(本题满分12分)已知函数f(x)＝lnx＋ax(a∈R)．(1)求f(x)的单调区间；(2)设g(x)＝x2－4x＋2，若对任意x1∈(0，＋∞)，均存在x2∈[0,1]，使得f(x1)<g(x2)，求a的取值范围．-10-\n高二期中数学试题（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若是虚数单位，则复数的虚部是（B）A．0B．C．1D．2.已知，，，，依照以上各式的规律，得到一般性的等式为( A )A．B．C．D．3.函数的递增区间是（C）A．B．C．D．4.,若，则的值等于（D）A．B．C．D．5.函数的导数为（B）A.B.C.D.6.已知为三次函数的导函数，则它们的图象可能是（D）7．给出下面类比推理(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)：①“若a，b∈R，则a－b＝0⇒a＝b”类比推出“a，c∈C，则a－c＝0⇒a＝c”；②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋bi＝c＋di⇒a＝c，b＝d”类比推出“a，b，c，d∈Q-10-\n，则a＋b＝c＋d⇒a＝c，b＝d”；③“a，b∈R，则a－b＞0⇒a＞b”类比推出“若a，b∈C，则a－b＞0⇒a＞b”；④“若x∈R，则|x|＜1⇒－1＜x＜1”类比推出“若z∈C，则|z|＜1⇒－1＜z＜1”．其中类比结论正确的个数为( B )A．1 B．2C．3D．48．函数有（D）A.极小值，极大值1B.极小值，极大值3C.极小值，极大值2D.极小值，极大值39．在复平面内，复数对应的点位于(D)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限10．函数在区间上的最小值为（D）A．B．C．D．11．若点P在曲线上移动，经过点P的切线的倾斜角为，则角的取值范围是(B)A.B.C.D.12．已知函数有两个极值点,则实数的取值范围是（ B ）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13.观察下列不等式：①；②；③；…则第个不等式为．14.若复数满足，则的虚部为115.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，则f(2)等于1816.若函数f(x)=2x2-10-\n-lnx在定义域的一个子区间(k-1,k+1)内不是单调函数,则实数k的取值范围是三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．(本题满分10分)求垂直于直线并且与曲线相切的直线方程。解：设切点为，函数的导数为切线的斜率，得，代入到得，即，所求切线方程为。18.(本题满分12分)已知z是复数，z＋2i，均为实数(i为虚数单位)，且复数(z＋ai)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．解：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则z＋2i＝x＋(y＋2)i，由题意得y＝－2.∵＝＝(x－2i)(2＋i)＝(2x＋2)＋(x－4)i.由题意得x＝4，∴z＝4－2i.∴(z＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i.由于(z＋ai)2在复平面上对应的点在第一象限，∴解得2<a<6.∴实数a的取值范围是(2,6)．19．为了解学生喜欢数学是否与性别有关，对50个学生进行了问卷调查得到了如下的列联表：喜欢数学不喜欢数学合计男生5女生10合计50-10-\n已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜欢数学的学生的概率为．（1）请将列联表补充完整(不用写计算过程)；（2）是否有99.5％的把握认为喜欢数学与性别有关？说明你的理由；下面的临界值表供参考：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828(参考公式：，其中).解:(1)列联表补充如下：喜爱数学不喜爱数学合计男生20525女生101525合计302050（2）∵∴有99.5％的把握认为喜爱数学与性别有关.20.(本题满分12分)设f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1的导数为f′(x)，若函数y＝f′(x)的图像关于直线x＝－对称，且f′(1)＝0.(1)求实数a，b的值；(2)求函数f(x)的极值．解：(1)因为f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1，故f′(x)＝6x2＋2ax＋b，从而f′(x)＝62＋b－，即y＝f′(x)关于直线x＝－对称．从而由题设条件知－＝－，即a＝3.-10-\n又由于f′(1)＝0，即6＋2a＋b＝0，得b＝－12.(2)由(1)知f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1，所以f′(x)＝6x2＋6x－12＝6(x－1)(x＋2)，令f′(x)＝0，即6(x－1)(x＋2)＝0，解得x＝－2或x＝1，当x∈(－∞，－2)时，f′(x)>0，即f(x)在(－∞，－2)上单调递增；当x∈(－2,1)时，f′(x)<0，即f(x)在(－2,1)上单调递减；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，即f(x)在(1，＋∞)上单调递增．从而函数f(x)在x＝－2处取得极大值f(－2)＝21，在x＝1处取得极小值f(1)＝－6.21.(本题满分12分)已知函数f(x)＝lnx－ax＋－1(a∈R)．(1)当a＝－1时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)当时，讨论f(x)的单调性．解析 (1)当a＝－1时，f(x)＝lnx＋x＋－1，x∈(0，＋∞)．∴f′(x)＝＋1－，∴f(2)＝ln2＋2，f′(2)＝1.∴曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝x＋ln2.(2)因为f(x)＝lnx－ax＋－1，所以f′(x)＝－a＋＝－，x∈(0，＋∞)．令g(x)＝ax2－x＋1－a，x∈(0，＋∞)，①当a＝0时，g(x)＝－x＋1，x∈(0，＋∞)．所以当x∈(0,1)时g(x)>0，此时f′(x)<0，函数f(x)单调递减，当x∈(1，＋∞)时g(x)<0，此时f′(x)>0，函数f(x)单调递增．②当a≠0时，由f′(x)＝0，解得x1＝1，x2＝－1.-10-\n当a<0时，由于－1<0，由f′(x)<0，得0<x<1，∴x∈(0,1)时，函数f(x)递减；x∈(1，＋∞)时，函数f(x)递增．综上所述：当a≤0时，函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增；22.(本题满分12分)已知函数f(x)＝lnx＋ax(a∈R)．(1)求f(x)的单调区间；(2)设g(x)＝x2－4x＋2，若对任意x1∈(0，＋∞)，均存在x2∈[0,1]，使得f(x1)<g(x2)，求a的取值范围．解：(1)f′(x)＝a＋＝(x>0)．①当a≥0时，由于x>0，故ax＋1>0，f′(x)>0，所以f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．②当a<0时，由f′(x)＝0，得x＝－.在区间上，f′(x)>0，在区间上，f′(x)<0，所以函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.综上所述，当a≥0时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，当a<0时，f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.(2)由题意得f(x)max<g(x)max，而g(x)max＝2，由(1)知，当a≥0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，值域为R，故不符合题意．当a<0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减，故f(x)的极大值即为最大值，f＝－1＋ln＝－1－ln(－a)，所以2>－1－ln(－a)，解得a<－.故a的取值范围为.-10-
