兰州一中2022-2022-1学期高三月考（12月）试题数学（文科）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则为A.(0，＋) B.(1，＋) C.[2，＋) D.［1，＋)2.已知一个几何体的三视图是三个全等的边长为1的正方形(如图所示),则它的体积为俯视图正视图侧视图A.B.C.D.3.已知倾斜角为的直线与直线垂直，则的值为A.B.C.D.4.已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题中正确的是A.若B.若C.若D.若5．函数在定义域内的零点的个数为A.0B．1C．2D．36.若非零向量满足，且，则与的夹角为A.B.C.D.7.如图所示，点是函数图象的一个最高点，、是图象与轴的交点，若，则等于A.8B.C.D.138．的外接圆的圆心为O，半径为1，且，则向量在向量方向上的投影为A.B.C.D.9．已知实数满足：，，则的取值范围是A.B.C.D.10．已知函数对任意的满足(其中是函数的导函数)，则下列不等式成立的是A.B.C.D.11．已知命题p：∃x∈R，(m＋1)(x2＋1)≤0，命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立．若p∧q为假命题，则实数m的取值范围为A.m≥2B.m≤－2或m>－1C.m≤－2或m≥2D.－1＜m≤212..已知函数,n∈N*的图象与直线交于点P，若图象在点P处的切线与x轴交点的横坐标为，则＋＋…＋的值为A.－1B.1－log20222022C.-log20222022D.1第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知数列为等差数列，，，则.14.若直线过曲线的对称中心，则的最小值为.15.设三棱柱的侧棱垂直于底面，，且三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是.16.数列的通项为，前项和为，则=．13三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）设数列{an}满足：a1=1，an+1=3an,n∈N*．设Sn为数列{bn}的前n项和，已知b1≠0，2bn–b1=S1Sn，n∈N*．D（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；（Ⅱ）设cn=bnlog3an，求数列{cn}的前n项和Tn.18.（本小题满分12分）如图，在直三棱柱中，,,,分别为棱的中点．（Ⅰ）求证:∥平面；（Ⅱ）若异面直线与所成角为，求三棱锥的体积．19.（本小题满分12分）已知某班学生语文与数学的学业水平测试成绩抽样统计如下表，若抽取学生n人，成绩分为A（优秀）、B（良好）、C（及格）三个等级，设x，y分别表示语文成绩与数学成绩．例如：表中语文成绩为B等级的共有20＋18＋4＝42人．已知x与y均为B等级的概率是0.18．（Ⅰ）求抽取的学生人数；（Ⅱ）设该样本中，语文成绩优秀率是30%，求a，b值；（Ⅲ）已知求语文成绩为A等级的总人数比语文成绩为C等级的总人数少的概率.20.（本小题满分12分）已知椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线与以椭圆的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设为椭圆上一点，若过点的直线与椭圆相交于不同的两点和，满足（为坐标原点），求实数的取值范围.21.（本小题满分12分）已知函数.（Ⅰ）当时，求在区间上的最大值；（Ⅱ）若在区间（1，+∞）上，函数的图象恒在直线下方，求的取值范围．四、请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．1322．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，四边形内接于⊙，过点作⊙的切线交的延长线于，已知.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）证明：．23．（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程已知平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线方程为;的参数方程为（为参数）．（Ⅰ）写出曲线的直角坐标方程和的普通方程；（Ⅱ）设点为曲线上的任意一点，求点到曲线距离的取值范围．24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知关于的不等式，其解集为.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，均为正实数，且满足，求的最小值.13兰州一中2022-2022-1学期高三月考（12月）数学试题文科试题第Ⅰ卷（选择题共60分）一.选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则为(B)A.(0，＋) B.(1，＋) C.[2，＋) D.［1，＋)2.已知一个几何体的三视图是三个全等的边长为1的正方形，如图所示，则它的体积为(D)俯视图正视图侧视图A.B.C.D.3.已知倾斜角为的直线与直线垂直，则的值为(B)A.B.C.D.4.已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题中正确的是（C）A.若B.若C.若D.若5．函数在定义域内的零点的个数为（C）A.0B．1C．2D．36.若非零向量满足，且，则与的夹角为(A)A.B.C.D.7.如图所示，点是函数图象的最高点，、是图象与轴的交点，若，则等于(C)A.B.C.D.138．的外接圆的圆心为O，半径为1，且，则向量在向量方向上的投影为(A)A.B.C.D.9．已知实数满足：，，则的取值范围是（B）A.B.C.D.10．已知函数对任意的满足(其中是函数的导函数)，则下列不等式成立的是(A)A.B.C.D.11．已知命题p：∃x∈R，(m＋1)(x2＋1)≤0，命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立．若p∧q为假命题，则实数m的取值范围为(B)A．m≥2B．m≤－2或m>－1C．m≤－2或m≥2D．－1＜m≤212..已知函数,n∈N*的图象与直线交于点P，若图象在点P处的切线与x轴交点的横坐标为，则＋＋…＋的值为（ A）A.－1B.1－log20222022C.-log20222022 D.1第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分。第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答。二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知数列为等差数列，，，则214.若直线过曲线的对称中心，则的最小值为________.15．设三棱柱的侧棱垂直于底面，，且三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是.16．数列的通项为，前项和为，则=200．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．1317．（本小题满分12分）设数列{an}满足：a1=1，an+1=3an,n∈N*．设Sn为数列{bn}的前n项和，已知b1≠0，2bn–b1=S1Sn，n∈N*．（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）设cn=bnlog3an，求数列{cn}的前n项和Tn；解：（1）∵an+1=3an，∴{an}是公比为3，首项a1=1的等比数列，∴通项公式为an=3n–1．………………2分∵2bn–b1=S1•Sn，∴当n=1时，2b1–b1=S1•S1，∵S1=b1，b1≠0，∴b1=1．∴当n＞1时，bn=Sn–Sn–1=2bn–2bn–1，∴bn=2bn–1，∴{bn}是公比为2，首项a1=1的等比数列，∴通项公式为bn=2n–1．…………6分（2）cn=bn•log3an=2n–1log33n–1=(n–1)2n–1，Tn=0•20+1•21+2•22+…+(n–2)2n–2+(n–1)2n–1①2Tn=0•21+1•22+2•23+……+(n–2)2n–1+(n–1)2n②①–②得：–Tn=0•20+21+22+23+……+2n–1–(n–1)2n=2n–2–(n–1)2n=–2–(n–2)2n∴Tn=(n–2)2n+2．…………12分D18.（本小题满分12分）．如图，在直三棱柱中，,,,分别为棱的中点．（1）求证:∥平面；（2）若异面直线与所成角为，求三棱锥的体积．解：（1）证明：取的中点,连接,因为分别为棱的中点，所以∥,∥,,平面,平面,所以平面∥平面，又平面,所以∥平面.……………………………………134分（2）由（Ⅰ）知异面直线与所成角,所以,……………6分因为三棱柱为直三棱柱，所以平面,所以平面,,,,由,平面,……………………10分所以.……………………12分19.（本小题满分12分）．已知某班学生语文与数学的学业水平测试成绩抽样统计如下表，若抽取学生n人，成绩分为A（优秀）、B（良好）、C（及格）三个等级，设x，y分别表示语文成绩与数学成绩．例如：表中语文成绩为B等级的共有20＋18＋4＝42人．已知x与y均为B等级的概率是0.18．（1）求抽取的学生人数；（2）设该样本中，语文成绩优秀率是30%，求a，b值；（3）已知求语文成绩为A等级的总人数比语文成绩为C等级的总人数少的概率.解：（1）由题意可知＝0.18，得.故抽取的学生人数是.…………..2分（2）由（Ⅰ）知，，故，…………..4分而，故.…………..6分（3）设“语文成绩为等级的总人数比语文成绩为等级的总人数少”为事件，由（2）易知，且满足条件的有共有组，其中的有组，…………..11分则所求概率为.…………..12分20.（本小题满分12分）已知椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰13直角三角形，直线与以椭圆的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切.（1）求椭圆的方程；（2）设为椭圆上一点，若过点的直线与椭圆相交于不同的两点和，满足（为坐标原点），求实数的取值范围.解：（1）由题意，以椭圆的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为，∴圆心到直线的距离（*）………………………………1分∵椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，∴,，代入（*）式得，∴，故所求椭圆方程为……………………………………………………4分（2）由题意知直线的斜率存在，设直线方程为，设，将直线方程代入椭圆方程得：，∴，∴.设,，则，…………………6分由，当,直线为轴，点在椭圆上适合题意；…………………………………7分当，得∴将上式代入椭圆方程得：，整理得：，由知，，13所以，……………………………………………………………11分综上可得.……………………………………………………………12分21.（本小题满分12分）已知函数.（1）当时，求在区间上的最大值；（2）若在区间（1，+∞）上，函数的图象恒在直线下方，求的取值范围．解：（1）当时……………1分当,有；当，有，在区间上是增函数，在上为减函数，……………3分又……………4分（2）令，则的定义域为在区间上，函数的图象恒在直线下方等价于在区间上恒成立.……………………5分①①若，令，得极值点当，即时，在（，1)上有，在上有，在上有，此时在区间上是增函数，并且在该区间上有不合题意；当，即时，同理可知，在区间上，有13，也不合题意；……………………8分②若，则有，此时在区间上恒有，从而在区间上是减函数；要使在此区间上恒成立，只须满足，由此求得的范围是。……………………11分综合①②可知，当时，函数的图象恒在直线下方.……………12分四、请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，四边形内接于⊙，过点作⊙的切线交的延长线于，已知.证明：（Ⅰ）；（Ⅱ）．解：（Ⅰ）∵与⊙相切于点，∴.…………………2分又，∴，∴.…………………………5分（Ⅱ）∵四边形内接于⊙，∴，……………………………………………………………6分又，∴∽.∴，即，∴.………………………10分23．（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程已知平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，13曲线方程为．的参数方程为（为参数）．（I）写出曲线的直角坐标方程和的普通方程；（II）设点为曲线上的任意一点，求点到曲线距离的取值范围．解：（I）的直角坐标方程：，的普通方程：．………………4分（II）由（I）知，为以为圆心，为半径的圆，的圆心到的距离为，则与相交，到曲线距离最小值为0，最大值为，则点到曲线距离的取值范围为．………………10分24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知关于的不等式，其解集为.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，均为正实数，且满足，求的最小值.24.（本小题满分10分）解：（Ⅰ）不等式可化为，∴，即,……………………………………2分∵其解集为，∴，.………………………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，（方法一：利用基本不等式）∵，∴，∴当且仅当时，取最小值为13.……………10分.（方法二：利用柯西不等式）∵，∴，∴当且仅当时，取最小值为.……………10分（方法三：消元法求二次函数的最值）∵，∴，∴，∴当且仅当时，取最小值为.………………………………10分13
