湖南省衡阳市衡阳县第四中学2022-2022学年高二数学12月学科联赛试题理一、选择题（本大题共10个小题；每小题5分，共50分．）1．在中，若，则最大角的余弦是（）A．B．C．D．2．数列{3n2－28n}中，各项中最小的项是()A．第4项B．第5项C．第6项D．第7项3．在中，(，，分别为角,,的对边)，则的形状为()A．正三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形4．若a，b均为非零向量，则a·b＝|a||b|是a与b共线的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．在等差数列{an}中，a10＝30，a20＝50，则a40等于()A．40B．70C．80D．906．如图目标函数z＝ax－y的可行域为四边形OAPB(含边界)，若P(2,2)是该目标函数z＝ax－y的唯一最优解，则实数a的取值范围是()A．(－2，－1)B.CD（-1，.）7．已知空间四个点A(1,1,1)，B(－4,0,2)，C(－3，－1，0)，D(－1,0,4)，则直线AD与平面ABC所成的角为()A．30°B．45°C．60°D．90°8．直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x只有一个公共点，则k的值为()-9-A．1B．0C．1或0D．1或39．已知函数f(x)＝4－x2，g(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，当x>0时，g(x)＝log2x，则函数y＝f(x)·g(x)的大致图象为__________．A①B②C③D④10.已知集合,.若存在实数使得成立,称点为“￡”点，则“￡”点在平面区域内的个数是()A.0B.1C.2D.无数个二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置．)11、直线是曲线的一条切线，则实数b＝．-9-12、已知,且成等比数列，则的最小值是．13．设F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为________．14．已知△为等腰直角三角形，，点为边的三等分点，则▲．15、已知函数是偶函数，直线与函数的图像自左向右依次交于四个不同点．若，则实数的值为▲．-9-三、解答题：(本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)16(12分)命题p：关于x的不等式x2＋2ax＋4>0对一切x∈R恒成立，命题q：函数f(x)＝(3－2a)x是增函数，若p∨q为真，p∧q为假，求实数a的取值范围.17.在中，，，分别为角,,的对边，且满足.(1)求角的大小；(2)若，，求的面积．18如图,AB是圆的直径,PA垂直圆所在的平面,C是圆上的点.(I)求证:(II)-9-19、已知等差数列的公差为,且,（1）求数列的通项公式与前项和；（2）将数列的前项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列的前3项,记的前项和为,若存在,使对任意总有恒成立,求实数的取值范围.20.(本小题满分13分）某车间有50名工人,要完成150件产品的生产任务,每件产品由3个A型零件和1个B型零件配套组成,每个工人每小时能加工5个A型零件或者3个B型零件,现在把这些工人分成两组同时工作(分组后人数不再进行调整),每组加工同一种型号的零件.设加工A型零件的工人数为名.(Ⅰ)设完成型零件加工所需的时间分别为小时,写出与的解析式;(Ⅱ)当取何值时,完成全部生产任务的时间最短?21．（本小题满分13分）已知椭圆的离心率为，且过点.（1）求椭圆的方程；（2）若过点C（-1，0）且斜率为的直线与椭圆相交于不同的两点，试问在轴上是否存在点，使是与无关的常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.-9-参考答案17解：(1)由正弦定理得a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，代入(2a－c)cosB＝bcosC，整理，得2sinAcosB＝sinBcosC＋sinCcosB，即2sinAcosB＝sin(B＋C)＝sinA.又sinA>0，∴2cosB＝1，由B∈(0，π)，得B＝(2)由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac·cosB＝(a＋c)2－2ac－2accosB.将b＝，a＋c＝4，B＝代入整理，得ac＝3.∴△ABC的面积为S＝acsinB＝sin60°＝.18、解：(1)是圆的直径，因此,又面,所以.又,所以面，又在面内，所以面面。（2）法一：过点C作CD⊥AB,则面,连接则在面上的射影图形是.设二面角为，则-9-.所以所求的二面角的余弦值为。法三：坐标法略19、解：(1)由得，所以----------------------4分，从而----------------------------------6分(2)由题意知---------------------------------------------8分设等比数列的公比为，则，随递减，为递增数列，得------------------------------------------------10分又，故，--------------------------------------------------------11分-9-若存在,使对任意总有则，得-----------------------------------------------------------13分所以……………………………………………7分21解：（1）∵椭圆离心率为，.……………………1分又椭圆过点（，1），代入椭圆方程，得.……………………2分所以.……………………………………………………………………4分∴椭圆方程为，即.…………………………………………5分（2）在x轴上存在点M，使是与K无关的常数.……6分证明：假设在x轴上存在点M（m,0）,使是与k无关的常数，∵直线L过点C（-1，0）且斜率为K,∴L方程为，-9-由得.………………7分设，则……………8分∵∴……………………9分…………………………………………………………………………………………10分设常数为t，则.……………………………………11分整理得对任意的k恒成立，解得，……………………………………………………12分即在x轴上存在点M（），使是与K无关的常数.……………13分-9-
